Uebung Loesungen 03 - Übung PDF

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6.2 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion I - Aufgabe

Nach Studienabschluss gründen die 4 Studenten Siggi Süd, Norbert Nord, Otto Ost und Willy West auf Grundlage einer Neuentwicklung die Navigation GmbH. Als alleiniger Anbieter unterstellen sie eine lineare Preis-Absatz-Funktion. Es gilt ein Prohibitivpreis von 500 GE, weiterhin wird aufgrund der Skepsis hinsichtlich der neuen Technologie davon ausgegangen, dass trotz eines Preises von 0 GE nicht mehr als 2000 Stück verkauft werden. Dem Unternehmen entstehen durch die Produktion des Gerätes Fixkosten in Höhe von 40.000 GE und variable Stückkosten in Höhe von 200 GE. a) Wie lautet die Preis-Absatz-Funktion? b) Wie viel Stück und zu welchem Stückverkaufspreis muss das Unternehmen verkaufen, um seinen Gewinn zu maximieren? c) Wie hoch ist der Gewinn? d) Leiten Sie die verkaufte Menge auch grafisch her!

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6.2 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion I - Lösung zu a) Preis-Absatz-Funktion Prohibitivpreis: pmax=500 GE Maximale Absatzmenge: xmax= 2.000 Stück Fixkosten: Kfix=40.000 GE Variable Kosten: kvar=200 GE/ME Preis-Absatz-Funktion:

p( x)  pmax  b  x 500  500  x 2000 1  500   x 4

p(x)

Steigung:

b

pmax

pmax xmax

xmax x

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6.2 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion I - Lösung zu b)

Umsatzfunktion:

U (x )  p ( x )  x 1  (500   x )  x 4 1  500  x   x 2 4

Kostenfunktion:

K ( x)  K fix  k var  x  40.000  200  x

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6.2 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion I - Lösung Umsatz und Kosten einsetzen in die Gewinnfunktion

1 G ( x)  500  x   x2  (40.000  200  x) 4 1  500  x   x 2  40.000  200  x 4 1    x2  300  x  40.000 4 Ableiten, Nullsetzen und nach x auflösen

1 G ( x )    x  300  0 2

Kontrolle Maximierung

!

G( x )  

1  0  max 2

1  x  300  x  600 2 Prof. Dr. A. Scholl und Dipl.-Kfm. A. von Elmbach – Übung: Einführung in die BWL – FSU Jena - WS 10/11 – 9

6.2 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion I - Lösung Menge einsetzen in Preis-Absatz-Funktion

1 p (600)  500   600 4  350 GE zu c) Gewinn Menge einsetzen in Gewinnfunktion

1 2 G (600)    600  300  600  40.000 4  50.000 GE

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6.2 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion I - Lösung Wo ist die Steigung der Umsatz- und Kostenfunktion gleich (U‘(x)=K‘(x)) Einzeichnen und verschieben der Kostenfunktion K(x)=40.000+200x



K(1000)=240.000

240000

K(x)

220000 200000 180000 160000 140000 120000 100000

U(x)

80000 60000 40000 20000

x

0 0

100

200

300

400

500

600

x*

700

800

900

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

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6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Aufgabe Magnus Langnase will sich während seines Sommerurlaubs an der Ostsee ein paar Euro dazu verdienen. Aufgrund der für die nächsten zwei Wochen vorhergesagten Hitzewelle beschließt er, am Strand Eis zu verkaufen. Am ersten Tag setzt er einen Preis von 1 € fest und verkauft 300 Stück. Von seinem Erfolg überwältigt, erhöht er den Preis für ein Eis am darauf folgenden Tag auf 2 €, wird aber nur noch 50 Stück los. Am Abend setzt er sich etwas ernüchtert in einen Strandkorb und macht sich Gedanken, wie hoch er den Preis am dritten Tag wählen sollte. Er trägt seine Informationen zusammen und trifft folgende Annahmen: (1) Bei einem Preis von 1 € verkauft er 300 Eis am Tag; bei 2 € dagegen 50 Stück. (2) Er hat irgendwann einmal gelesen, dass zwischen dem Preis für ein bestimmtes Gut und der absetzbaren Menge oft ein linearer Zusammenhang besteht und nimmt dies deshalb auch in seinem Fall an. (3) Er bezieht sein Eis für 60 Cent pro Stück aus dem Großmarkt. Außerdem entstehen pro Tag für Standgebühren und die Miete der Kühlgeräte fixe Kosten in Höhe von zusammen 25 €. Weitere Kosten hat er nicht.

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6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Aufgabe a) Wie hoch war sein Gewinn am ersten, wie hoch der am zweiten Tag? b) Wie hoch sollte Magnus gemäß der Annahmen (1) bis (3) den Stückverkaufspreis für den nächsten Tag wählen, um seinen Gewinn zu maximieren? Wie viel Eis wird er dann voraussichtlich verkaufen, und wie hoch wird sein Gewinn sein?

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6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Lösung zu a) Gewinn an den ersten beiden Tagen Variable Kosten: kvar=0,60 EUR Fixkosten: Kfix=25 EUR Tag 1:

G(x)=U(x)-K(x) =p•x-(Kfix+kvar•x) =p•x-Kfix-kvar•x G(300)=1•300-25-0,6•300 =95 EUR

Tag 2:

G(50)=2•50-25-0,6•50 =45 EUR

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6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Lösung zu b) Gesucht: Preis-Absatz-Funktion (PAF) (Steigung und Ordinatenabschnitt) Gegeben:

2 Punkte der PAF

p(x)

T1=(300,1) T2=(50,2) PAF der Form: p(x)=pmax-b•x

x

Einsetzen der Punkte 1=pmax-b•300

(1)

2=pmax-b•50

(2)

(1)-(2)

 1  250  b  b 

1 250

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6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Lösung Steigung einsetzen in (1) oder (2)

1  pmax 

1  300 250

2  pmax 

1  50 250

1  pmax 1,2

2  pmax  0,2

p max  2,2

pmax  2,2

PAF:

p ( x )  2,2 

1 x 250

Gewinn: G(x)=U(x)-K(x) Umsatz:

U (x )  p (x )  x  (2,2 

1 1  x )  x  2,2  x   x2 250 250

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6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Lösung Kosten: K(x)=25+0,6•x Einsetzen in Gewinnfunktion

G ( x )  2,2 x 



1  x 2  25  0,6  x 250

1  x 2  1,6  x  25 250

Ableiten, Nullsetzen und nach x auflösen ! 1  x  1,6  0 G( x)   125

1  x  1,6  x  200 125 Prof. Dr. A. Scholl und Dipl.-Kfm. A. von Elmbach – Übung: Einführung in die BWL – FSU Jena - WS 10/11 – 17

6.3 Preis-Absatz- und Umsatzfunktion II - Lösung Menge einsetzen in PAF:

p (200)  2,2 

1  200 250

 1,4 EUR Menge einsetzen in Gewinnfunktion

G (200)  

1  2002  1,6  200  25 250

 135 EUR

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6.4 Preiselastizität der Nachfrage - Aufgabe Ihr Unternehmen verkauft drei verschiedene Produkte. Ihre Marketingabteilung übermittelt Ihnen folgende Informationen: Produkt 1: Bei einem Preis von p=99 GE liegt die Absatzmenge bei x=1000 ME. Steigt der Preis auf 100 GE, so fragen 50 ME weniger das Produkt nach. Produkt 2: Bei einem Preis von p=9 GE liegt die Absatzmenge bei x=50 ME. Diese verringert sich um 2 ME, wenn der Preis um 1 GE erhöht wird. Produkt 3: Bei einem Preis von p=2000 GE liegt die Absatzmenge bei x=10 ME. Wird der Preis um 1 GE erhöht, erhöht sich auch die Absatzmenge um 1 ME. a) Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage an den gegebenen Stellen für alle drei Produkte! b) Interpretieren Sie die Ergebnisse ökonomisch! c) Wie heißt der Effekt, der bei Produkt 3 zu beobachten ist? Suchen Sie ein Beispiel für solch ein Produkt!

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6.4 Preiselastizität der Nachfrage - Lösung zu a) Allgemeine Formel für die Preiselastizität der Nachfrage

x ,p

 x x p  x   p p x p

Produkt 1:

x  1000 x  50 p  99 p  1 50  1000,99  1000  4,95 1 99

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6.4 Preiselastizität der Nachfrage - Lösung Produkt 2:

x  50 x   2 p  9 p  1

50,9

Produkt 3:

2  50  0,36 1 9

x  10 x  1 p  2000 p  1 1 10,2000  10  200 1 2000

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6.4 Preiselastizität der Nachfrage - Lösung zu b): Ökonomische Interpretation Produkt 1: Wenn der Preis um 1% steigt, sinkt die Nachfrage um 4,95%

Produkt 2: Wenn der Preis um 1% steigt, sinkt die Nachfrage um 0,36%

Produkt 3: Wenn der Preis um 1% steigt, steigt auch die Nachfrage um 200% zu c): Es handelt sich um den Snob-Effekt Beispiel: Maybach, Louis Vuitton, …

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