03 Uebung Robotik I - Übung 3 PDF

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Institut für Mechatronische Systeme Marvin Stüde, M. Sc.

Übung Robotik I WiSe 2019/2020

Übung 3: Denavit-Hartenberg Notation

Gegeben ist der abgebildete SCARA RRRP-Roboter mit drei Dreh- und einem Schubgelenk. Die eingezeichneten Größen sind als bekannt vorauszusetzen. Gegeben: l1 , l2 , l3 , l4 , q1 , q2 , q3 , q4 .

Bestimmen Sie die Denavit-Hartenberg Parameter des abgebildeten Roboters mit folgenden Vorgaben: • Basiskoordinatensystem (KS)0 im Fußpunkt des Roboters • Endeffektorkoordinatensystem (KS)E an der „Armspitze“, z-Achse wie vorgegeben

Anwendung der Denavit-Hartenberg Notation auf einen RRR-Roboter

Gegeben ist der abgebildete RRR-Roboter mit drei Drehgelenken. Die eingezeichneten Größen sind als bekannt vorauszusetzen. Gegeben: l1 , l2 , l3 , q1 , q2 , q3 .

Bestimmen Sie die homogene Transformation 0 T 3 mit Hilfe der Denavit-Hartenberg Parameter des abgebildeten Roboters mit folgenden Vorgaben: • Basiskoordinatensystem (KS)0 im Fußpunkt des Roboters • Endeffektorkoordinatensystem (KS)E an der „Armspitze“

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Institut für Mechatronische Systeme Marvin Stüde, M. Sc.

Übung Robotik I WiSe 2019/2020

Wiederholung Denavit-Hartenberg Notation

• Die Lage zweier aufeinanderfolgender Koordinatensysteme (KS)i wird durch vier Denavit-Hartenberg Parameter beschrieben (basierend auf homogenen Transformationen). • Die Denavit-Hartenberg Notation dient zur Beschreibung und/oder Modellierung der kinematischen Struktur eines Roboters. • Die Denavit-Hartenberg Notation ist nicht eindeutig! Für die Auslegung der Koordinatensysteme gilt: • Der Koordinatenursprung (KS)i befindet sich im Schnittpunkt der gemeinsamen Normalen von der Gelenkachse i und i + 1 mit der Bewegungsachse des Gelenkes i + 1. • z i zeigt in Achsrichtung von dem Gelenk i + 1. • xi liegt auf der gemeinsamen Normalen von zi und zi−1 . • y i ergibt sich anschließend aus dem Rechtssystem. Bei n Achsen des Roboters resultieren: • n generalisierte Koordinaten (q1 , . . . ,qn ), • n + 1 Koordinatensysteme, • n „Sätze“ von Denavit-Hartenberg Parametern. Ein Parametersatz (Denavit-Hartenberg Parameter) ist definiert als: θi : Drehwinkel um zi−1 -Achse d i : Verschiebung in zi−1 -Richtung ai : Verschiebung in xi -Richtung αi : Drehwinkel um xi -Achse Die Koordinatentransformation vom (KS)i ins (KS)i−1 lautet: i−1

T i = Ai = T rz (θi ) T t (0, 0, d i ) T t (ai , 0, 0) T rx (αi ). | {z } T t (ai , 0, di )

Folgende Sonderfälle können bei Verwendung der Denavit-Hartenberg Notation auftreten: • parallele Gelenkachsen zi und zi−1 : Normale ist nicht eindeutig, beispielsweise d i = 0, • schneidende Gelenkachsen zi und zi−1 : Ursprung von (KS)i in den Gelenkachsenschnittpunkt, • (KS)0 und (KS)n = (KS)E : Ursprung wird jeweils sinnvoll (z. B. Fußpunkt bzw. Spitze) auf z0 - bzw. zn -Achse gelegt.

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Übung Robotik I WiSe 2019/2020

Lösung „Anwendung der Denavit-Hartenberg Notation auf einen RRRP-Roboter“

Vorgehen: 1. Rotations- bzw. Schubachsen bestimmen und von 1 bis n nummerieren 2. (KS)i auf Dreh- bzw. Schubachse i + 1 positionieren: • z i zeigt in Achsrichtung i + 1 • Normale zwischen den Achsen bestimmen und xi in Richtung der Normalen festlegen • Koordinatenachse y i gemäß Rechtssystem bestimmen 3. Denavit-Hartenberg Parameter ablesen: • θi Winkel um zi−1 -Achse • d i Verschiebung entlang zi−1 -Achse • ai Verschiebung entlang xi -Achse • αi Winkel um xi -Achse 4. Denavit-Hartenberg Matrizen ermitteln und Gesamttransformation berechnen (wenn gefordert)

2

1

3

l3

l4

q1

z1

q2

z2 q3

y2,3

x2,3

l2 x1

y1

q4 z3 yE

l1

xE

z0 zE 4 y0

x0

Die Denavit-Hartenberg Parameter können anschließend aus dem Bild abgelesen werden. Sie lauten: i 1

θi q1

di l1

ai l3

αi 0

2 3

q2 q3

l2 0

l4 0

0 ±π

4

0

q4

0

0

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Übung Robotik I WiSe 2019/2020

Zusatz: Ermittlung der homogenen Transformationsmatrix 0 T 1 aus Denavit-Hartenberg Parametern Aus den Denavit-Hartenberg Parametern von Glied 1 resultiert die folgende Denavit-Hartenberg Matrix A1 , zusammengesetzt aus elementaren Rotationen und Translationen: A1 (q1 ) = 0 T 1 (q1 ) = T rz (θ1 ) T t (0, 0, d 1 ) T t (a1 , 0, 0) T rx (α1 ) | {z } T t (a1 , 0, d1 )    cos(q1 ) − sin(q1 ) 0 0 1 0 0 0  sin(q ) cos(q ) 0 0  0 1 0 0     1 1 =    0 0 1 0   0 0 1 l1   0 0 0 1 0 0 0 1    cos(q1 ) − sin(q1 ) 0 0 1 0 0 l3  sin(q ) cos(q ) 0 0  0 1 0 0    1 1 =     0 0 1 0   0 0 1 l1  0 0 0 1 0 0 0 1   cos(q1 ) − sin(q1 ) 0 l3 cos(q1 )  sin(q ) cos(q ) 0 l sin(q )    1 1 3 1 = .   0 0 1 l1 0

0

0

1

4

1 0 0 0

 0 0 l3  1 0 0    0 1 0  0 0 1

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

1 0

 0 0    0  1

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Lösung „Anwendung der Denavit-Hartenberg Notation auf einen RRR-Roboter“

xE

yE

zE (KS)E ′ zE

l3 y2

q3

q1

l1

y1 z1 z0

l2

z2

yE x2

xE′

y2

′ yE

z2 q1

alternativ auch so

x2

q2 x1 x0

l1

y1 z1 z0

−q3 l3

xE

zE (KS)E

l2 q2 x1 x0

y0 (KS)0

y0 (KS)0

Die Denavit-Hartenberg Parameter können anschließend aus dem Bild abgelesen werden. Sie lauten: i 1 2 3

θi q1 q2 q3

di l1 0 0

ai 0 l2 l3

αi π 2

0 0

alternativ für i = 3′ : 3′ q3 0 l3 − π2 ′

Aus den drei Zeilen dieser Tabelle lassen sich die gesuchten Transformationen 0 T 1 , 1 T 2 und 2 T E (und 2 T E) folgendermaßen berechnen: 0

T 1 = A1 = T rz (θ1 ) T t (a1 , 0, d 1 ) T rx (α1 )   cos(q1 ) − sin(q1 ) 0 0  sin(q ) cos(q ) 0 0    1 1 =   0 0 1 0  0 0 0 1   cos(q1 ) 0 sin(q1 ) 0  sin(q ) 0 − cos(q ) 0    1 1 = ,  0 1 0 l1  0

0

0

1 0 0 0

 0  0    0 1 l1  0 0 1 0 1

1



cos(q2 ) − sin(q2 ) 0 l2 cos(q2 )  sin(q ) cos(q ) 0 l sin(q )  2 2 2 2 1 T 2 = A2 =   0 0 1 0 0 0 0 1

5



  , 

0 0

1 0 0 0

 0 0 0 cos(π/2) − sin(π/2) 0    π π sin( /2) cos( /2) 0  0 0 1

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Übung Robotik I WiSe 2019/2020



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cos(q3 ) − sin(q3 ) 0 l3 cos(q3 )  sin(q ) cos(q ) 0 l sin(q )  3 3 3 3 = A3 =   0 0 1 0 0 0 0 1

TE



  .  ′

Für die alternative Orientierung des Endeffektorkoordinatensystems (KS)E′ ergibt sich 2 T E zu: 

2

TE

cos(q3 )  sin(q )  3 = A′3 =   0 0

′

 − sin(q3 ) l3 cos(q3 ) cos(q3 ) l3 sin(q3 )   .  −1 0 0 0 0 1 0 0

Die Gesamt-Transformationsmatrix 0 T E ergibt sich durch Multiplikation der Matrizen Ai (für i = 1, . . . , 3) von der Roboterbasis zum Endeffektor: 

0

c1 c23  s c  1 23 =  s23 0

T E = A1 A2 A3 = 0 T 1 1 T 2 2 T E

−c1 s23 −s1 s23

s1 −c1

c23 0

0 0

 c1 (l2 c2 + l3 c23 ) s1 (l2 c2 + l3 c23 )   . l1 + l2 s2 + l3 s23  1

′

Entsprechend kann die alternative Transformationsmatrix 0 T E berechnet werden: 

0

′

T E = A1 A2 A3′ = 0 T 1 1 T 2 2 T E

′

c1 c23  s c  1 23 =  s23 0

−s1 c1

−c1 s23 −s1 s23

0 0

c23 0

wobei zur Umformung folgende Additionstheoreme notwendig sind (optional): cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y), sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y).

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 c1 (l2 c2 + l3 c23 ) s1 (l2 c2 + l3 c23 )   , l1 + l2 s2 + l3 s23  1...