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Prof. Dr. Peter Michaelis Lehrstuhl für Volkswirtschaftslehre insbes. Umwelt- und Ressourcenökonomie

Übung zu Mikroökonomik I Wintersemester 2019/20 – Übungsaufgaben zur Unternehmenstheorie – Aufgabe 1:

Produktionsfunktion / Grenz- und Durchschnittsprodukt / Skalenerträge ....... 2

Aufgabe 2:

Skalenerträge .................................................................................................... 2

Aufgabe 3:

Kurzfristige Gewinnmaximierung .................................................................... 3

Aufgabe 4:

Kurzfristige Gewinnmaximierung / Isogewinnlinie ......................................... 3

Aufgabe 5:

Kurzfristige Gewinnmaximierung / Isogewinnlinie (Selbststudium) ............... 3

Aufgabe 6:

Langfristige Gewinnmaximierung .................................................................... 4

Aufgabe 7:

Langfristige Gewinnmaximierung / gewinnmaximierende Faktornachfrage ... 4

Aufgabe 8:

Langfristige Gewinnmaximierung .................................................................... 4

Aufgabe 9:

Kurzfristige Kostenminimierung ...................................................................... 5

Aufgabe 10:

Langfristige Kostenminimierung / Isokostengerade......................................... 5

Aufgabe 11:

Langfristige Kostenfunktion ............................................................................. 5

Aufgabe 12:

Langfristige Kostenfunktion (Selbststudium) ................................................... 6

Aufgabe 13:

Kurz- und langfristige Kostenminimierung (Selbststudium) ............................ 6

Aufgabe 14:

Fixkosten / variable Kosten / Durchschnittskosten / Grenzkosten ................... 6

Aufgabe 15:

Langfristige Angebotsfunktion ......................................................................... 8

Aufgabe 16:

Langfristige Angebotsfunktion ......................................................................... 8

Aufgabe 17:

Langfristige Gewinnmaximierung / Kostenminimierung (Selbststudium) ....... 9

Aufgabe 18:

Durchschnittskosten / Fixkosten / Preisuntergrenze......................................... 9

Aufgabe 19:

Unternehmenstheorie generale (Selbststudium) ............................................. 10

Aufgabe 20:

Zwei Lösungswege für die Gewinnmaximierung .......................................... 11

Aufgabe 1:

Produktionsfunktion / Grenz- und Durchschnittsprodukt / Skalenerträge

a) Nehmen Sie an, ein Unternehmen produziere unter Einsatz von zwei Produktionsfaktoren ein Gut. Skizzieren Sie in je einer Grafik den Verlauf der Isoquanten für folgende Typen von Produktionstechnologien: 1) konstantes Faktoreinsatzverhältnis 2) vollständige Faktorsubstituierbarkeit 3) unvollständige Faktorsubstituierbarkeit Suchen Sie zu jedem Typ von Produktionstechnologie eine Produktionsfunktion und ein zutreffendes Beispiel. b) Erläutern Sie die Begriffe „Grenzproduktivität“ und „Durchschnittsproduktivität“ am Bei  spiel der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion y(x1,x 2 )  x1  x2 . Geben Sie dabei auch

an, welche Werte die Parameter  und  aufweisen müssen, damit sich jeweils abnehmende bzw. zunehmende Grenz- und Durchschnittsproduktivitäten ergeben. c) Ermitteln Sie für die Produktionsfunktion y(x1, x2 )  x10,25  x20,5 das Grenzprodukt MP1 und das Durchschnittsprodukt AP1 . Die Einsatzmenge des zweiten Faktors ist kurzfristig auf x 2  100 fixiert. Zeigen Sie anhand einer Skizze den Verlauf des Grenz- und Durchschnittsprodukts von Faktor 1 auf. d) Erläutern Sie den Begriff Skalenerträge am Beispiel der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion y(x1,x 2 )  x 1  x 2  . Geben Sie dabei auch an, welche Werte die Parameter  und  aufweisen müssen, damit sich jeweils abnehmende bzw. zunehmende Skalenerträge er-

geben.

Aufgabe 2:

Skalenerträge

Welcher Art sind die Skalenerträge bei den folgenden Produktionsfunktionen? a) y(x1 ,x 2 )  2x1  x2 b) y(x1 ,x 2 )  x1  x2 c) y(x1 ,x 2 ,x 3)  A  x1  x 2 x 3 mit      1 d) y(x1,x 2 )  min x 1;5  x 2 

Mikroökonomik I

– Übungsaufgaben zur Unternehmenstheorie –

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Aufgabe 3:

Kurzfristige Gewinnmaximierung

Ein Unternehmen besitzt die Produktionsfunktion y(x 1, x 2 )  x10,5  x 20,5 , wobei x1 die Einsatzmenge des variablen Faktors Arbeit und x 2 die Einsatzmenge des kurzfristig nicht veränderbaren Faktors Kapital darstellt. Der Kapitaleinsatz beträgt x 2  64 , der Lohnsatz w 1  2 und der Preis des produzierten Gutes p  8 . Welche gewinnmaximierende Produktionsmenge y wird das Unternehmen realisieren?

Aufgabe 4:

Kurzfristige Gewinnmaximierung / Isogewinnlinie

Die Produktionsfunktion des Unternehmens lautet y(x1, x 2 )  x 11/2  x 21/3 . Die Einsatzmenge des ersten Faktors x1 ist variabel und die Einsatzmenge des zweiten Faktors ist kurzfristig auf x 2  27 fixiert. Außerdem sind die Faktorpreise mit w1  2 und w 2  3 sowie der Preis des

produzierten Gutes mit p  32 gegeben. a) Ermitteln Sie die Einsatzmenge von Faktor 1 im kurzfristigen Gewinnmaximum. b) Wie hoch ist der kurzfristig maximale Gewinn? c) Bestimmen Sie die Isogewinnlinie y(,x1 ) des Unternehmens für den kurzfristig maximalen Gewinn aus Teilaufgabe b).

Aufgabe 5:

Kurzfristige Gewinnmaximierung / Isogewinnlinie (Selbststudium)

Ein Unternehmen fertigt unter Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit (Faktor 1) und Kapital (Faktor 2) ein Gut mit der Produktionsfunktion y(x 1, x 2 )  x 11/2  x 21/3 . Der Kapitaleinsatz in Höhe von x 2  1.000 ist kurzfristig nicht veränderbar. Der Lohnsatz beträgt w1  100 und der Preis für Kapital w2  0,08.

y2   a) Ermitteln Sie die kurzfristige Arbeitsnachfrage x1 (y) . Lösung: x1 (y)   100  Nun ist der Preis des produzierten Gutes mit p  80 gegeben. b) Bestimmen Sie die kurzfristig gewinnmaximierende Arbeitsnachfrage.  Lösung: x1  16 c) Wie lautet die Isogewinnlinie y(,x1) für den kurzfristig maximalen Gewinn?

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 Lösung: y  20  1,25 x 1 d) Leiten Sie in einer Zeichnung unter Verwendung der Isogewinnlinie die gewinnmaximierende Arbeitsnachfrage sowie die gewinnmaximierende Produktionsmenge her.

Aufgabe 6:

Langfristige Gewinnmaximierung

Gegeben ist die Produktionsfunktion y(x1,x 2 )  x 10,5  x 20,5 . Die Einsatzmengen der beiden Faktoren x1 und x 2 sind nun variabel. a) Stellen Sie das langfristige Gewinnmaximierungsproblem in allgemeiner Form dar. b) Berechnen Sie die gewinnmaximierenden Nachfragemengen der beiden Produktionsfaktoren in Abhängigkeit von w 1 , w 2 und p. c) Nehmen Sie an, ein anderes Unternehmen verwendet eine Produktionsfunktion mit zunehmenden Skalenerträgen. Existiert in diesem Fall ein Gewinnmaximum?

Aufgabe 7:

Langfristige Gewinnmaximierung / gewinnmaximierende Faktornachfrage

Ein Unternehmen produziert langfristig ein Gut unter Verwendung der Produktionsfunktion

y(x1, x 2 )  x12/3  x 21/4 . Die Preise der beiden Produktionsfaktoren 1 und 2 sind w 1  5 und

w2  0,25 . Der Preis des produzierten Gutes beträgt p  15 . a) Wie lauten die gewinnmaximierenden Faktornachfragefunktionen x1 (y) und x2 (y) ? b) Welche gewinnmaximierende Produktionsmenge realisiert das Unternehmen? c) Wie hoch fällt der maximale Gewinn aus?

Aufgabe 8:

Langfristige Gewinnmaximierung

Ein Unternehmen produziert ein Gut unter Verwendung der Produktionsfunktion

y(x1,x 2 )  x 10,5  x 2 0,75 . Zudem sind die Preise der beiden Produktionsfaktoren 1 und 2 mit

w1  10 und w2  15 sowie der Preis des produzierten Gutes mit p  100 gegeben. a) Wie lauten die gewinnmaximierenden Faktoreinsatzmengen? b) Welche gewinnmaximierende Produktionsmenge und welchen maximalen Gewinn realisiert das Unternehmen? Mikroökonomik I

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Aufgabe 9:

Kurzfristige Kostenminimierung

Ein Unternehmen setzt bei der Produktion eines Gutes den variablen Faktor Arbeit in der Menge x1 und den kurzfristig fixen Faktor Kapital in der Menge x2  2.500 ein. Die Produktionsfunktion lautet y(x 1 , x 2 )  x1  x 2 . Der Lohnsatz beträgt w1  50 und der Preis für Kapital w2  0,12 . Wie lautet die kurzfristige Kostenfunktion cS (y, x2 ) ?

Aufgabe 10: Langfristige Kostenminimierung / Isokostengerade Ein Unternehmen hat die Produktionsfunktion y(x1,x 2 )  x11/2  3 x 21/2 . Die Einsatzmengen der beiden Produktionsfaktoren x1 und x 2 können beliebig variiert werden. Die Faktorpreise betragen w1  3 und w 2  1. a) Welche Mengen der beiden Produktionsfaktoren wird das Unternehmen einsetzen, wenn es eine Produktionsmenge von y  56 zu minimalen Kosten realisieren möchte? b) Wie lautet die dazugehörige Isokostengerade? c) Stellen Sie in einer Zeichnung die Isokostengerade aus Teilaufgabe b) und die Isoquante für die Produktionsmenge y  56 dar. Kennzeichnen Sie die kostenminimierende Faktoreinsatzkombination.

Aufgabe 11: Langfristige Kostenfunktion Gegeben ist die Produktionsfunktion: y(x1,x 2 )  6  x10,5  4  x 2 0,5 , wobei x1 den Arbeitseinsatz und x 2 den Kapitaleinsatz darstellt. Die Faktorpreise betragen w 1  9 und w2  3 . a) Berechnen Sie die Minimalkostenkombination x 2 ( x 1 ) . b) Ermitteln Sie die konditionalen Faktornachfragefunktionen x1(y) und x 2 ( y) . c) Bestimmen Sie die langfristige Kostenfunktion c(y) .

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Aufgabe 12: Langfristige Kostenfunktion (Selbststudium) Ein Unternehmen stellt ein Gut mit zwei Produktionsfaktoren anhand der Produktionsfunktion 1/4

y(x 1, x 2 )  x1  x 2

1/4

her. Die Faktorpreise betragen w1  32 und w2  2 .

a) Bestimmen Sie die kostenminimierenden Faktoreinsatzmengen, wenn das Unternehmen eine Produktionsmenge von y  10 realisieren will. Lösung: x1*  25 , x2*  400 b) Wie lautet die langfristige Kostenfunktion c(y) des Unternehmens?

 Lösung: c(y)  16 y2 

Aufgabe 13: Kurz- und langfristige Kostenminimierung (Selbststudium) Gegeben ist die Produktionsfunktion y(x 1, x 2 )  x11/2  x 2 1/3 . Dabei bezeichnet x1 den Arbeitseinsatz und x2 den Kapitaleinsatz. Die Faktorpreise betragen w 1  3 und w 2  1 . a) Nehmen Sie an, der Kapitaleinsatz ist kurzfristig auf x 2  27 fixiert. Berechnen Sie für 2   y diesen Fall die kurzfristige Kostenfunktion cS (y, x2 ). Lösung: cS (y,x 2 )   27 3  

b) Welche Menge wird das Unternehmen im kurzfristigen Gewinnmaximum produzieren, wenn der Preis des produzierten Gutes p  12 beträgt? Lösung: y  18  Nehmen Sie an, das Unternehmen möchte in der langfristigen Betrachtung eine Produktionsmenge von y  4 realisieren. c) Welches kostenminimierende Faktoreinsatzverhältnis wird das Unternehmen bei den gegebenen Preisen und der gegebenen Produktionstechnologie wählen? Lösung: x 2  2x 1  d) Wie groß ist dann der kostenminimierende Arbeits- und Kapitaleinsatz?

 Lösung: x1  4 ; x 2  8 Aufgabe 14: Fixkosten / variable Kosten / Durchschnittskosten / Grenzkosten Die Kostenfunktion eines Unternehmens lautet C(y)  y3  2y2  30y 100. Ermitteln Sie a) die gesamten variablen Kosten b) die gesamten Fixkosten

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c) die durchschnittlichen variablen Kosten d) die durchschnittlichen Fixkosten e) die Grenzkosten Grafische Darstellung der Kostenverläufe: Gesamtkosten, variable Kosten und Fixkoste 1000

900

800

C(y), VC(y), F

700 600

500

400

300 200

100

0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

y gesamte/variable Durchschnittskosten und durchschnittliche Fixkost 120 110 100

AC(y), AVC(y), AFC(y)

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

y

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10,0

gesamte/variable Durchschnittskosten und Grenzkoste 70

65

AC(y), AVC(y), MC(y)

60

55

50

45

40

35

30

25 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

y

Aufgabe 15: Langfristige Angebotsfunktion Ein Unternehmen auf einem Markt mit vollkommener Konkurrenz produziert mit der langfristigen Kostenfunktion c(y)  2y2  200 . Wie lautet die langfristige Angebotsfunktion y(p) ?

Aufgabe 16: Langfristige Angebotsfunktion Nehmen Sie an, die durchschnittlichen variablen Produktionskosten eines Unternehmens sind AVC(y)  8y  5

und die durchschnittlichen quasi-fixen Produktionskosten betragen

 800 , für y  0  . AFC(y)   y  , für y  0 0 a) Erläutern Sie den Unterschied zwischen fixen und quasi-fixen Kosten. b) Für welchen Bereich der Produktion weisen die gesamten Durchschnittskosten AC(y) einen steigenden Verlauf auf? c) Wie lautet auf einem Markt mit vollkommener Konkurrenz die langfristige Angebotsfunktion y(p) des Unternehmens? Mikroökonomik I

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8,0

d) Diskutieren Sie die Aussage: „Ein Gewinn von null bedeutet in der Mikroökonomik, dass das Unternehmen Insolvenz anmeldet und den Markt verlässt“.

Aufgabe 17: Langfristige Gewinnmaximierung / Kostenminimierung (Selbststudium) Gegeben ist die Produktionsfunktion y(x1 , x2 )  x11/2  x21/4 mit den Faktoreinsatzmengen x1 und x 2 . Die Faktorpreise betragen w 1  2 und w 2  1 . Der Preis des produzierten Gutes ist p  8.

a) In welchem Verhältnis wird das Unternehmen bei Kostenminimierung die beiden Produktionsfaktoren miteinander kombinieren? Lösung: x 2  x 1  b) Leiten Sie unter Verwendung Ihres Ergebnisses aus Teilaufgabe a) die langfristige Kostenfunktion c(y) her. Lösung: c(y)  3y4/3  c) Bestimmen Sie die gesamten Durchschnittskosten AC(y) . Fallen oder steigen die Durchschnittskosten bei einer Ausdehnung der Produktion? Welcher Zusammenhang besteht zu den Skalenerträgen der Produktionsfunktion?   dAC(y) 2/3 1/3  Lösung: AC(y)  3y ; dy  y  0  

d) Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze.  Lösung: pmin  0 e) Wie hoch ist die Produktionsmenge und der Gewinn im Gewinnmaximum?

Lösung: y  8 ;   16  Aufgabe 18: Durchschnittskosten / Fixkosten / Preisuntergrenze Nehmen Sie an, die variablen Produktionskosten betragen VC(y)  4y2 . Zusätzlich entstehen quasi-fixe Kosten in Höhe von F  100 . a) Ermitteln Sie, bei welcher Produktionsmenge die langfristigen gesamten Durchschnittskosten AC(y) ihr Minimum erreichen. b) Wie lautet die langfristige Angebotsfunktion y(p) des Unternehmens? Im Folgenden liegen fixe Kosten in Höhe von F  100 vor. Des Weiteren entstehen variable Produktionskosten von VC(y)  4y2 .

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c) Wie lautet die kurzfristige Angebotsfunktion y(p) des Unternehmens? Nun liegt die Kostenfunktion eines anderen Unternehmens vor: C(y)  0, 25y2 . Der Preis für das produzierte Gut beträgt p  5 . Das Unternehmen muss aufgrund der unerlaubten Aneignung eines patentierten Produktionsverfahrens eine fixe Strafzahlung F leisten, sofern es die Produktion des Gutes nicht freiwillig einstellt. d) Wie groß müsste die fixe Strafzahlung ausfallen, sodass das Unternehmen die Produktion freiwillig einstellt?

Aufgabe 19: Unternehmenstheorie generale (Selbststudium) Gegeben ist die Produktionsfunktion y(x1 , x2 )  x11/2  x2 1/3 , wobei x1 den Arbeitseinsatz und

x 2 den Kapitaleinsatz darstellt. a) Um wie viel Prozent nimmt die Produktionsmenge zu, wenn die Einsatzmengen beider Faktoren verdoppelt werden?  Lösung: 78% b) Wie lauten die Grenzproduktivitäten von Arbeit und Kapital und wie groß sind die Grenzraten

der

technischen

Substitution

für

die

beiden

Faktoreinsatzkombinationen

Ax1  9 ; x 2  8 und B x 1  4; x 2  27 ?

1  1/2 1/3 1 1/2  2/3 4 81  ; TRSA   ; TRSB     Lösung: MP1  2  x1  x2 ; MP2  3 x1  x2 3 8 c) Erläutern Sie mithilfe einer Grafik zum Verlauf der Isoquante, wie die unter Teilaufgabe b) berechneten Ergebnisse inhaltlich zu interpretieren sind. Nehmen Sie nun an, der Kapitalbestand ist kurzfristig auf x2  8 fixiert und die Faktorpreise für Arbeit und Kapital betragen w1  1 und w2  2 . 2   y  16 d) Wie lautet die kurzfristige Kostenfunktion cS (y, x2 ) ? Lösung: c S(y, x 2 )  4  

e) Bei welcher Produktionsmenge erreichen die kurzfristigen gesamten Durchschnittskosten ihr Minimum? Lösung: y  8  f) Welche Mengen wird das Unternehmen im kurzfristigen Gewinnmaximum bei einem Preis des produzierten Gutes in Höhe von p  10 bzw. p  2 anbieten? Wie hoch ist jeweils der Gewinn? Mikroökonomik I

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Lösung: bei p  10 gilt y  20 und   84 ; bei p  2 gilt y  4 und    12  g) Erläutern Sie allgemein mithilfe einer Grafik, wie sich die Produktionsmenge y ändert, wenn der Faktorpreis w 1 abnimmt und die Faktoreinsatzmenge x 2 fix ist. Nehmen Sie im Folgenden an, die beiden Produktionsfaktoren können bei langfristiger Betrachtung beliebig variiert werden. Die Faktorpreise betragen nun w 1  3 und w2  2 . h) Wie lautet das kostenminimierende Faktoreinsatzverhältnis? Lösung: x 2  x 1  i) Bestimmen Sie die konditionalen Faktornachfragefunktionen x1 (y) und x2 (y) sowie die langfristige Kostenfunktion c(y) , die langfristige Angebotsfunktion y(p) und die zugehörige Gewinnfunktion (p) .

 6/5 6/5  Lösung: x1(y)  x 2(y)  y ; c(y)  5y ; y  

5

p  6  für p  0 ; (p)   

 p  6  

6

  

Aufgabe 20: Zwei Lösungswege für die Gewinnmaximierung Vergleichen Sie anhand des nachfolgenden Schaubildes die zwei Vorgehensweisen für die 1stufige und 2-stufige Gewinnmaximierung bei vollkommener Konkurrenz. Wenden Sie dann die 1-stufige und 2-stufige Gewinnmaximierung auf folgende Aufgabe an: Ein Unternehmen stellt ein Gut unter Einsatz der Faktoren 1 und 2 in den Mengen x1 und x 2 mit der Produktionsfunktion y(x1,x 2 )  x1 0,5  x 2 0,5 her. Die Faktorp...