Unidad 3 Estadistica inferencial 2 PDF

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Unidad 3 de estadística inferencial abarca la mayor parte, junto con formulas ...

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Índice 3.1 Componentes De Una Serie De Tiempo.............................................................3 Análisis..................................................................................................................3 3.2 Método De Mínimos Cuadrados..........................................................................6 ¿QUÉ SON LOS MÍNIMOS CUADRADOS?........................................................6 Ejemplo..................................................................................................................7 3.3 Métodos De Promedios Móviles..........................................................................9 Ejemplo................................................................................................................11 3.4 Métodos De Suavización Exponencial..............................................................14 ¿Cuándo utilizarlo?..............................................................................................14 Ejemplo suavización exponencial simple:...........................................................15 3.5 Tendencias No Lineales.....................................................................................17 Tipos de modelos de líneas de tendencia:..........................................................18 Tendencia no lineal..............................................................................................19 ¿Qué es regresión lineal?...................................................................................19 Comparación entre regresión lineal y no lineal...................................................20 Diferencias:..........................................................................................................21 3.6 Variación Estacional..........................................................................................21 ¿Cuándo utilizar un pronóstico de variación estacional o cíclica?.....................21 Ejemplo................................................................................................................22 3.7 Aplicaciones.......................................................................................................23 Bibliografía...............................................................................................................24

3.1 Componentes De Una Serie De Tiempo. Una serie de tiempo es el conjunto de observaciones producidas en determinados momentos durante un período, ya sea semanal, trimestral o anual, generalmente a intervalos iguales. El comportamiento de cualquier serie de tiempo puede observarse gráficamente, no en todos los casos es posible distinguir las particularidades que cada una puede contener. Estos movimientos son llamados a menudo componente de una serie de tiempo, y que se supone son causados por fenómenos distintos.

Análisis El primer paso para analizar una serie de tiempo es graficarla, esto permite: identificar la tendencia, la estacionalidad, las variaciones irregulares. Un modelo clásico para una serie de tiempo, puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia estacional y un término de error aleatorio. Supondremos que en una serie existen cuatro tipos básicos de variación, los cuales sobrepuestos o actuando en concierto, contribuyen a los cambios observados en un período de tiempo y dan a la serie su aspecto errático. Estas cuatro componentes son: Tendencia secular, variación estacional, variación cíclica y variación irregular. Supondremos, además, que existe una relación multiplicativa entre estas cuatro componentes; es decir, cualquier valor de una serie es el producto de factores que se pueden atribuir a las cuatro componentes. 1. Tendencia secular: La tendencia secular o tendencia a largo plazo de una serie es por lo común el resultado de factores a largo plazo. En términos intuitivos, la tendencia de una serie de tiempo caracteriza el patrón gradual onsideran miento o la , en las gresos, en la a largo plazo uamente hacía ierto período o mestrales. La

2. Variación estacional: El componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Esta variación corresponde a los movimientos de la serie que recurren año tras año en los mismos meses (o en los mismos trimestres) del año poco más o menos con la misma intensidad. Por ejemplo: Un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoño e invierno y tiene ventas máximas en los de primavera y verano, mientras que los fabricantes de equipo para la nieve y ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas. *En el grafico no se observa ningún movimiento estacional, puesto que se trata de una serie anual.

3 e

variaciones o tendencias estacional e irregular. Un ejemplo de este tipo de variación son los ciclos comerciales cuyos períodos recurrentes dependen de la prosperidad, recesión, depresión y recuperación, las cuales no dependen de factores como el clima o las costumbres sociales. *En el gráfico, los movimientos cíclicos alrededor de la curva de tendencia están trazados en negrita.

4. Variación Irregular: Esta se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afectan a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible, es decir, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo. Existen dos tipos de variación irregular: a) Las variaciones que son provocadas por acontecimientos especiales, fácilmente identificables, como las elecciones, inundaciones, huelgas, terremotos. b) Variaciones aleatorias o por casualidad, cuyas causas no se pueden señalar en forma exacta, pero que tienden a equilibrarse a la larga. *En un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la siguiente situación:

*Los puntos enmarcados en un círculo corresponden a un comportamiento anormal en la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afecto la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando. 3.2 Método De Mínimos Cuadrados Cuando varias personas miden la misma cantidad, generalmente no obtienen los mismos resultados. De hecho, si la misma persona mide la misma cantidad varias veces, los resultados variarán. El método de mínimos cuadrados proporciona una forma de encontrar la mejor estimación, suponiendo que los errores (es decir, las diferencias con respecto al valor verdadero) sean aleatorias e imparciales.

¿QUÉ SON LOS MÍNIMOS CUADRADOS? Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada. Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera:

Σ es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen.

El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales (x, y), los valores m y b que mejor ajustan los datos a una recta. Se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias d de los puntos medidos a la recta. Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico o gráfica, si al conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general:

Cuando se haga uso del método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y una variable dependiente. En el análisis de regresión, las variables dependientes se designan en el eje y vertical y las variables independientes se designan en el eje x horizontal. Estas designaciones formarán la ecuación para la línea de mejor ajuste, que se determina a partir del método de mínimos cuadrados.

Ejemplo: Encontrar la recta que mejor se ajusta a los siguientes datos:

Veamos el gráfico:

Necesitamos encontrar una recta y = mx + b. Debemos aplicar el método de mínimos cuadrados. Como ya sabemos entonces, primero centraremos el valor (x ∙ y):

Segundo por las expresiones de m y b debemos encontrar el valor x²:

Ahora podemos obtener los valores de las sumatorias de cada columna:

Sustituimos en cada una de las expresiones:

La recta obtenida con el método de los mínimos cuadrados es la siguiente:

Observemos el gráfico:

Vemos que la recta corta al eje y en 11,48 y en el eje x en 13,57. Por lo tanto, si queremos saber dónde corta en el eje x igualamos la ecuación y = 0:

Despejamos x:

3.3 Métodos De Promedios Móviles  Promedios móviles (simples de orden k)

El método de los promedios móviles utiliza el promedio de los k valores de datos más recientes en la serie de tiempo como el pronóstico para el siguiente periodo. El término móvil indica que, mientras se dispone de una nueva observación para la serie de tiempo, reemplaza a la observación más antigua de la ecuación anterior y se calcula un promedio nuevo. Como resultado, el promedio cambiará, o se moverá, conforme surjan nuevas observaciones. 

Promedios móviles (simples de orden 3)

*Se promedian solo las últimas observaciones *El orden se determina a priori *Un orden grande elimina los picos (suaviza) *Un orden pequeño permite seguir muy de cerca los cambios de corto plazo 

Promedios móviles (simples de orden 2)



PROMEDIO MÓVIL DE ORDEN 3



Promedios móviles (simples de orden 4)

Ejemplo: Litros de nafta vendidos por semana (en miles)

e t=Y + Ft : Residuo (error de pronóstico) en el período t t

El pronóstico para la semana 13 es 19.

Precisión del pronóstico. Una consideración importante en la selección de un método de elaboración de pronósticos es la precisión del pronóstico. Desde luego, queremos pronosticar que los errores sean menores. Las últimas dos columnas de la tabla que contienen los errores de pronóstico y los errores de pronóstico al cuadrado, se pueden utilizar para desarrollar medidas de la precisión del pronóstico.

Medidas de error.

Promedios móviles ponderados En el método de promedios móviles, cada observación en el cálculo recibe el mismo peso. Una variación, conocida como promedios móviles ponderados, consiste en seleccionar diferentes pesos para cada valor de datos y luego calcular un promedio ponderado de los k valores de datos más recientes como el pronóstico. En la mayoría de los casos la observación más reciente recibe el mayor peso, y el peso disminuye para los valores de datos más antiguos. Por ejemplo, para la serie de tiempo de la venta de nafta semanal el cálculo de un promedio móvil ponderado de tres semanas, donde la observación más reciente recibe un peso del triple del peso dado a la observación más antigua y la siguiente observación más antigua recibe un peso del doble que la observación más antigua. Para la semana 4 el cálculo es: 3/6*19+2/6*21+1/6*17=19.33 En general, si creemos que el pasado reciente es un mejor pronosticador del futuro que el pasado distante, los pesos más grandes deben darse a las observaciones más recientes

3.4 Métodos De Suavización Exponencial Suavización exponencial simple: Puede considerarse como una evolución del método de promedio móvil ponderado, en éste caso se calcula el promedio de una serie de tiempo con un mecanismo de autocorrección que busca ajustar los pronósticos en dirección opuesta a las desviaciones del pasado mediante una corrección que se ve afectada por un coeficiente de suavización. Así entonces, este modelo de pronóstico precisa tan sólo de tres tipos de datos: el pronóstico del último período, la demanda del último período y el coeficiente de suavización.

¿Cuándo utilizarlo? El pronóstico de suavización exponencial simple es óptimo para patrones de demanda aleatorios o nivelados donde se pretende eliminar el impacto de los elementos irregulares históricos mediante un enfoque en períodos de demanda reciente, este posee una ventaja sobre el modelo de promedio móvil ponderado ya que no requiere de una gran cantidad de períodos y de ponderaciones para lograr óptimos resultados.

Formulas:

Para efectos académicos suele proporcionarse el factor de suavización, sin embargo en la práctica éste es comúnmente hallado de la forma descrita arriba.

Ejemplo suavización exponencial simple: En Enero un vendedor de vehículos estimó unas ventas de 142 automóviles para el mes siguiente. En Febrero las ventas reales fueron de 153 automóviles. Utilizando una constante de suavización exponencial de 0.20 presupueste las ventas del mes de Marzo.

Podemos así determinar que el pronóstico de ventas para el período 3 correspondiente a Marzo es equivalente a 144 automóviles. Suavización exponencial:

La suavización exponencial utiliza un promedio ponderado de valores de series de tiempo pasadas como pronóstico. La formula muestra que el pronóstico para el periodo t+1 es un promedio ponderado del valor real en el periodo t y el pronóstico para el periodo t. Es un caso especial del método de promedios móviles ponderados en el cual seleccionamos sólo un peso, el peso para la observación más reciente.

Los pesos para los demás valores se calculan de forma automática y se vuelven cada vez más pequeños a medida que las observaciones se alejan en el pasado. Podemos demostrar que el pronóstico de la suavización exponencial para cualquier periodo también es un promedio ponderado de todos los valores reales previos. Por ejemplo para una serie de tiempo que consta de tres periodos de datos: Y 1,Y 2 y Y 3 Comenzamos:

1=¿ Y 1 F¿

. Por lo tanto, el pronóstico de suavización exponencial para el periodo dos es igual al valor real de la serie de tiempo en el periodo 1. Para el periodo 3 el pronóstico es:

Por último al sustituir esta expresión para F3 en la expresión para F4, se obtiene:

Por consiguiente F4 es un promedio ponderado de los primeros tres valores de la

¿Qué valor de α ? Si la variabilidad aleatoria de la serie de tiempo es considerable, es preferible un valor pequeño para la constante de suavización. La razón de esta elección es que, dado que gran parte del error de pronóstico se debe a la variabilidad aleatoria, no queremos reaccionar de forma exagerada y ajustar los pronósticos demasiado rápido. Para una serie de tiempo con relativamente poca variabilidad, los valores más grandes de la constante de suavización tienen la ventaja de ajustar rápidamente los pronósticos cuando ocurren errores de pronóstico y por ende permiten que el pronóstico reaccione más rápido a las condiciones cambiantes. Elegimos el valor de que minimiza el error de pronóstico. Observar como los pronósticos “suavizan” las fluctuaciones irregulares de la serie de tiempo.

3.5 Tendencias No Lineales. Las tendencias son modelos de una variable en el tiempo, reflejan los cambios en la tecnología, los estándares de vida, los índices de población, etc. Una tendencia es el movimiento gradual hacia arriba o hacia debajo de los datos del tiempo.

Propiedades: 1.- No se espera se repitan entre sí mismas de igual manera o forma o con idénticas propiedades. 2.- Se pueden separar de los otros componentes (periódica, aleatoria) de la serie, lo que hace posible removerlas o incorporarlas. 3.- Pueden existir en cualquier parámetro de una serie, media, variancia, coeficiente y en parámetros de alto orden, pero por lo general las tendencias se presentan únicamente en la media si las información es anual, en la media y la desviación estándar si la información es mensual.

Tipos de modelos de líneas de tendencia: Cuando agrega una línea de tendencia a su vista, está creando un modelo estadístico. Cada línea de tendencia en la vista representa visualmente un modelo estadístico de regresión lineal. Cada modelo se estima usando datos en el mismo panel y del mismo color que la línea de tendencia correspondiente. Aunque las líneas de tendencias pueden ser del tipo lineal, logarítmica, exponencial o polinomial, esto no indica que ninguno de esos modelos no sea una regresión lineal. Tendencia lineal o línea recta: Por ejemplo, cuando los ingresos históricos aumentan o disminuyen a un ritmo constante, se encuentra ante un efecto lineal. • Por ejemplo: si prevé los ingresos durante los dos próximos trimestres basándose en los ingresos de los cuatro últimos trimestres y si el trazado de multilínea de los ingresos trimestrales anteriores es lineal o casi lineal, el método de tendencia le ofrecerá la previsión más fiable. Es una relación funcional entre dos o más variables correlacionadas. Se utiliza para pronosticar una variable con base en la otra, tanto para pronósticos de series de tiempo como para pronósticos de relaciones causales. Series de tiempo: Cuando la variable dependiente (que casi siempre es el eje vertical en una gráfica) cambia como resultado del tiempo (trazado como el eje horizontal). Relaciones causales: Si una relación causal (com entre la gente que fuma

La ecuación de una línea recta llamada componente lineal de tendencia de la forma: Y= a

bx

Donde: Y= Es el valor pronosticado en un período X • a= Es la ordenada en el origen (intercepción de la recta con el eje vertical), X=0 b= Es la pendiente de la línea. x= Es el período para el que se prepara el pronóstico. Los valores de a y de b se calculan con el método de mínimos cuadrados. La aplicación de este criterio da como resultado una línea recta que minimiza el cuadrado de las distancias verticales

Tendencia no lineal. Es un método para encontrar un modelo no lineal para la relación entre la variable dependiente y un conjunto de variables independientes • la regresión no lineal, puede estimar modelos con relaciones arbitrarias entre las variables independientes y las dependientes. Esto se lleva a cabo usando algoritmos de estimación iterativos. Teniendo en cuenta que este procedimiento no es necesario para los modelos polinómicos simples de la forma Y=A BX 2.

¿Qué es regresión lineal? Genera una ecuación para describir la relación no lineal entre una variable de respuesta continua y una o más predictoras, predice nuevas observaciones. Utilice la regresión no lineal en lugar de la regresión habitual de mínimos nte la relación con parámetros

Una tendencia logarítmica es una línea curva que se ajusta perfectamente y que es muy útil cuando el índice de cambios de los datos aumenta o disminuye rápidamente y después se estabiliza. Esta línea de tendencia logarítmica puede utilizar valores positivos o negativos. Un algoritmo iterativo calcula los parámetros ajustando sistemáticamente las estimaciones de los parámetros para reducir la suma de los cuadrados del error residual. El algoritmo ajusta las estimaciones de los parámetros de una manera que el algoritmo predice que debería reducir la suma de los cuadrados del error residual en comparación con la iteración anterior. Si el algoritmo no converge, se puede probar con diferentes valores iniciales y/o el otro algoritmo. Los valores iníciales pueden afectar significativamente los resultados. Ciertos valores iníciales p...