Unidad 6 Derivada de una funcion y sus aplicaciones PDF

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Contents 1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Interpretación física de la Derivada. . . . . . . . . . . . 1 Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Derivada de funciones definidas implícitamente . . . . . 1 Razones de cambio re...

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Contents 1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 1.1

2

Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Interpretación física de la Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3

Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.4

Derivada de funciones definidas implícitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.5

Razones de cambio relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.6

Gráficas y Extremos de una Función.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.7

Funciones Crecientes, Decrecientes y Teorema del Valor Medio. . . . . . . . . . .

48

1.8

Aplicaciones de Máximos y Mínimos

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1.1

Definiciones básicas

Definición 1.1 La derivada de una función f denotamos f

′

con respecto a la variable x es la función que

y definida por

f

′

(x) = lim

f

(x + h) − f (x)

h→0

h

para todo x donde el límite exista.

′ Observación 1.1 Note que Dom f

Observación 1.2 Si f

′

(x)

⊆

 ′ Dom f , donde Dom f

=

x

∈ R/lim



f (x+h)−f (x) existe h h→0

existe entonces se dice que f tiene derivada o es diferenciable en

x.

Observación 1.3 La derivada tiene también las siguientes notaciones:

′

y ,

dy df d , , f dx dx dx

(x) ,

˙

Dx f, y

Geométricamente, la definición anterior se puede representar de la siguiente manera: Dada la curva y

= f (x), consideremos los siguientes puntos:

P1

: (x1 , f (x1 )), P 2 : (x2 , f (x2 )) = f (x), según lo muestra

y sea Ls la recta secante que pasa por esos puntos cortando la curva y el siguiente gráfico:

2

Si designamos por

(x0, y0 ) al punto (x1 , y1 ) y (x 0 + h, f (x0 + h)) al punto (x 2, y2 ), entonces,

el límite anterior antes definido puede entenderse graficamente como:

Note que la pendiente de esta recta secante es:

m

=

f

(x0 + h) − f (x0) = x 0 + h − x0

f

(x0 + h) − f (x0) h

Luego, el siguiente gráfico muestra la aproximación de el punto

(x0 , y0 )

cuando h tiende a ser cero:

3

(x 0 + h, f (x0 + h)),

al punto

Por lo tanto, la definición de límite, implica que las rectas secantes se aproximan a una recta

(x0 , y0 ),

tangente que pasa por

cuya pendiente es

m

= lim

f

(x 0 + h) − f (x0 )

h→0

h

= f (x) en x0,

′

(x0 ) , es la pendiente de la recta tangente (x0 , f (x0 )). A partir de este hecho, se dice que el valor f ′ (x0 ) es la y = f (x) en el punto (x0, f (x 0 )).

Note que la derivada de la función y

f

a la curva en el punto pendiente de la curva

Ahora calcularemos algunas derivadas:

Ejemplo 1.1 Derivada de f

(x) = 1,

para todo

x

∈R

Por definición:

f

Entonces f

′

′

(x) = lim

(x) =

f

(x + h) − f (x)

h→0

d dx

Ejemplo 1.2 Derivada de f

para todo

(x) = x,

1−1

h→0

h

(1) = 0,

= lim

x

para

h

= lim

∈R

x

0

h→0 h

= lim0 = 0 h→0

∈R

Por definición:

f

Entonces f

′

′

(x) = lim

(x) =

f

(x + h) − f (x)

h→0

d dx

(x) = 1,

h→0

h

para

= lim

x

∈R 4

x

+h−x h

= lim

h

h→0 h

= lim1 = 1 h→0

Ejemplo 1.3 Derivada de f

(x) = ax + b,

para

x

∈R

Por definición:

f

′

(x) = lim h→0

= lim h→0

Entonces f

′

f

(x + h) − f (x)

ah

= lim

a

(x + h) + b − (ax + b)

h→0

h

ax

+ ah + b − ax − b h

=

= lima = a h→0

h

= lim

h→0

h

(x) =

d dx

para

x

∈R

x , para

x

∈ R− {0}

(ax + b) = a,

Ejemplo 1.4 Derivada de f

(x) =

1

Por definición: f

′

(x) = lim

1

(x + h) − f (x)

f

h→0

= lim

x+h

h→0

h

−

1

x

h

como el límite por evaluación directa es una forma indeterminada, entonces sumaremos y simplificaremos las fracciones para calcularlo :

f

′

(x) = lim

h→0

= lim

f

(x + h) − f (x)

1

= lim

x+h

h→0

h

−

1

x

h

= lim

1 −h −1 = lim =− 2 + h) h h→0 x (x + h) x

x−(x+h) x(x+h)

h→0

h

=

h→0x (x

Entonces f

′

(x) =

d dx

1  x

= −x12,

Ejemplo 1.5 Derivada de f

(x) =

para

x

∈ R− {0}

x , para todo x−1

x

∈ R− {1}

Por definición:

f

′

(x) = lim

f

(x + h) − f (x)

h→0

h

= lim h→0

x+h x+h−1

−

h

x x−1

= lim

h→0

(x+h)(x−1)−x(x+h−1) (x−1)(x+h−1) h

=

x −x −h (x + h) x − (x + h) − x (x + h) − x (−1) = lim = h→0 h→0(x − 1) (x + h − 1) h (x − 1) (x + h − 1) h 1 −h −1 = lim =− = lim h→0 (x − 1) (x + h − 1) h h→0 (x − 1) (x + h − 1) (x − 1) 2

= lim

Entonces f

′ (x)

=

d dx

 x  1 x−1 = − (x−1)2 ,

para

x

∈ R− {1}.

Note que en este problema se utilizaron inmediatamente propiedades algebraicas para calcular el límite.

Ejemplo 1.6 Hallar la derivada de f f

′

(x)

para x

(x) = 1 +

= 2. 5

√

4 − x.

para x <

4

y determine el valor de

Para determinar f

dy dx

′

= lim

h→0

= lim

(x) f

utilizamos la definición:

(x + h) − f (x)

1+

√

1+



= lim h→0 √ 4−x−h−1− 4−x



4 − (x + h) − 1 +

h

√

√

= lim

√

h

4−x−h−

4−x

√



4−x

= =

 √  √ √ 4−x−h− 4−x 4−x−h+ 4−x √ = √  = lim h→0 h 4−x−h+ 4−x 4−x−h−4−x −h   = = lim √ √ = lim √ √ h→0 4 − x − h + 4 − x h h→0 4 − x − h + 4 − x h −1  = √−1 = lim √ √ h→0 4−x−h+ 4−x 2 4−x h→0

Entonces f

′ (x)

=

d dx



1+

Para determinar el valor valor

h→0

h



√

, 4 − x = 2√−1 4−x ′ de f (x) en x = 2,

2: f

′

para

x <

h

4

simplemente evaluamos la función f

′ (x) en el

−1 1 =− √ (−2) = √ 2 4−2 2· 2

Una función y = f (x) es diferenciable en un intervalo abierto (finito o infinito) si tiene derivada en cada punto del intervalo. La función será diferenciable en un intervalo cerrado [a, b], si es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) y los límites: Proposición 1.1

lim

f

(a + h) − f (a)

f

(b + h) − f (b)

h→0+

lim

h

h→0−

h

existen en los extremos del intervalo. Estos límites se denominan derivadas laterales de la función

f

(x) con respecto a la variable x.

Ejemplo 1.7 Probaremos que la función tiene derivada en x = 0. Primero escribimos la definición de f

f

f

(x) = |x| es diferenciable en

(x) = |x|:

(x) = |x| =



x

−x

Graficamos la función:

6

si x

≥0 0

si x <

R − {0}, pero que no

(0, 0),

observe que son dos semirrectas que inician en tienen derivadas diferentes en ambos lados de

0,

luego intuitivamente podemos ver que

pues las rectas tangentes a la función coin-

cidirían con ella misma. Ahora verificaremos esto, para ello calculamos la derivada según tres casos:

caso 1: Si x >

f

entonces f

′

′

(x) = lim

(x) = lim ′

f

h→0

(x + h) − f (x) h

f (0+h)−f (0) h

Por lo tanto,

h

h→0 h

h

= lim1 = 1 h→0

= lim

−x − h + x

h→0

h

h

= lim

h→0

−h h

= lim −1 = −1 h→0

=  lim

h→0+

los límites laterales:

=

lim−

h→0

=

lim

(x) = |x|

− (0 + h) − (0)

0+h−0

f (0+h)−f (0) h ′

(x) =

es diferenciable en

Teorema 1.1 Si f tiene derivada en x

1 −1

h

lim f (0+hh)−f (0)

h→0

= lim− − 1 = −1 h→0

h→0

no existe, y f

0 x < 0

si .

entonces f es contínua en x

7

′

si x >

R − {0}

= c,

h

= lim+ = lim+1 = 1 h→0

, luego

−h

h

h



= lim− h→0

h

h→0+

f

y la función f

= lim

d dx

(0 + h) − f (0)

h→0+

lim

+h−x

− (x + h) − (−x)

h→0

h

f

h→0−

= lim

(|x|) = −1 x = 0: calculamos

(x) =

caso 3: Si

entonces

x

d dx

h

lim−

= lim

h→0

h

(x + h) − f (x)

f

lim

(x + h) − f (x)

h→0

h→0

entonces f

f

(|x|) = 1 x < 0:

(x) =

caso 2: Si

f

′

0:

= c.

(0)

no existe.

Proof. Dado que f

′

(c)

existe, se debe mostrar que:

lim f (x) = f (c) , x→c o equivalentemente, que:

lim f (c + h) = f (c) . Si h 

= 0,

h→0 entonces f

(c + h) =

(c) + (f (c + h) − f (c)) f (c + h) − f (c) ·h f (c) +

f

h

Ahora, se toma límite cuando h →

0:

lim f (c + h) = lim f (c) + lim

h→0

= = =

h→0

f

(c + h) − f (c)

h→0

h

(c) + f ′ (c) ·0 f (c) + 0 f (c)

·

limh

h→0

f

(Valor intermedio para derivadas) Si a y b son puntos en un intervalo donde f es diferenciable, entonces valores entre f ′ (a) y f′ (b).

Teorema 1.2

′

f

toma todos los

Las siguientes son las reglas que se aplican para derivar funciones: 1. Para toda función constante c:

( )

d c dx

2. Para todo entero positivo n:

(

d x

n

)

dx

=0

= n·x n−1

3. Si c es una constante y f es una función derivable con respecto a x, entonces la derivada de cf es :

(

d cf

(x)) d (cf ) dx

dx

= c·

df dx

4. Si f y g son funciones derivables con respecto a x, entonces también lo es la función suma S

= f + g,

y es de la forma:

( )

d S

dx

=

( + g)

d f

dx

8

=

df dx

+

dg dx

5. Si f y g son funciones derivables con respecto a x, entonces también lo es la función producto P

(x) = f ·g ,

y es de la forma:

( )

d P dx

=

(

d f ·g

)

dx

=

df dx

·g

+ f·

dg dx

6. Si f y g son funciones derivables con respecto a x, entonces también lo es la función

(x) =

cuociente o cociente P

f

donde g 

g

= 0,

y es de la forma:

 

( )

d Q dx

f g

d

=

dx

=

df dx ·g

dg dx

− f·

[g ] 2

= 0:

7. Para todo entero negativo n y x 

(

d x

n

)

dx

= n·x n−1

Las demostraciones de estas propiedades son dadas a continuación: 1. Para toda función constante c:

( )

d c

= lim

( + h) − c (x)

c x

h→0

dx

= lim

c−c

h→0

h

h

= lim

0

h→0h

= lim 0 = 0 h→0

2. Para todo entero positivo n:

(

d x

n

dx

)

= lim

(x + h)

h→0

= lim

x

= lim

nx

h→0

= lim h→0

= lim =

h

−x

h

n

h→0

n

n

=

+ nxn−1 h + 12 n (n − 1) x n−2 h2 + · · · + n−1



nx

h

+

n−1

h

1) xn−2 h2 + · · · +

1 n (n − 2

+

1 n (n − 2

1) x n−2h + · · · +

1) x2hn−2 + nxhn−1 + hn

1) x2 hn−2 + nxhn−1 + h n

h

1 n (n − 2

=

1) x2 hn−3 + nxh n−2 + hn−1

h

 n−1

nx

h→0 n−1

1 n (n − 2

1 n (n − 2

+

1 1 n−2 2 n−3 + nxh n−2 + hn−1 h + ··· + n (n − 1) x n (n − 1) x h 2 2





=

n·x

Nota: la expresión

n

(x + h) = xn + nxn−1 h +

1 1 n−2 2 2 n−2 n (n − 1) x n (n − 1) x h + nxh n−1 + hn, h + ··· + 2 2

se obtiene mediante la fórmula del binomio para potencia n, donde positivo.

9

n

es un entero

n

−x

=

=

3. Si de

c es una constante y f cf es:

d (cf ) dx d (cf ) dx

es una función derivable con respecto a

cf (x + h) − cf (x) f (x + h) − f (x) = lim c· h→0 h h df c· dx

= lim

h→0

=

x, entonces la derivada

= c· lim h→0

f (x + h) − f (x) h

=

f y g son funciones derivables con respecto a x, entonces también lo es la función suma S (x) = f (x) + g (x), y es de la forma:

4. Si

d (S (x)) dx

= = = =

5. Si

f

y

g

producto

d (P (x)) dx

d (f (x) + g (x)) S (x + h) − S (x) = lim = h→0 dx h f (x + h) + g (x + h) − (f (x) + g (x)) = lim h→0 h f (x + h) − f (x) + g (x + h) − g (x) = lim h→0 h f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x) df (x) lim + lim = h→0 h→0 h h dx

son funciones derivables con respecto a

P (x) = f (x)·g (x), y es de la forma: = = = = = = = =

x,

+

dg (x) dx

entonces también lo es la función

d (f (x) ·g (x)) P (x + h) − P (x) = lim = h →0 dx h f (x + h) ·g (x + h) − (f (x) ·g (x)) = lim h→0 h f (x + h) ·g (x + h) + f (x + h) ·g (x) − f (x + h) ·g (x) − f (x) ·g (x) lim h→0 h f (x + h) ·g (x + h) − f (x + h) ·g (x) + f (x + h) ·g (x) − f (x) ·g (x) lim h→0 h [f (x + h) − f (x)] ·g (x) + f (x + h) · [g (x + h) − g (x)] lim = h→0 h [f (x + h) − f (x)] ·g (x) f (x + h) · [g (x + h) − g (x)] = + lim lim h→0 h→0 h h [ g ( x + h) − g (x)] [f (x + h) − f (x)] = ·g (x) + limf (x + h) · lim h→0 h→0 h h [f (x + h) − f (x)] [g (x + h) − g (x)] lim = · limg (x) + lim f (x + h) · lim h→0 h→0 h→0 h→0 h h df (x) ·g (x) + f (x) · dg (x) = dx dx 10

= =

6. Si f y g son funciones derivables con respecto a x, entonces también lo es la función

(x) =

cuociente o cociente P



( ( ))

d Q x dx

f (x) g(x)

d

=



f (x) g(x)

donde g

= lim

= lim

h→0

= lim

( + h) − Q (x)

=

h

=

h

f (x+h)g(x)−f (x)g(x+h) g(x+h)g(x)

h→0

y es de la forma:

Q x

h→0 f (x+h) f (x) g(x+h) − g(x)

dx

(x) = 0,

h

=

(x + h) g (x) − f (x) g (x + h) =...