Unidad N1 Electro 2014 PDF

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ELECTROTECNIA APUNTE UNIDAD 1 2014 DAEZEGO CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Un circuito es un conjunto de elementos distribuidos de tal manera que permite la de una corriente A este conjunto de elementos lo podemos dividir en tres partes fundamentales: La fuente encargada de proveer y puede estar for...

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201 2014 4

DAEZEGO CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos distribuidos de tal manera que permite la circulación de una corriente eléctrica. A este conjunto de elementos lo podemos dividir en tres partes fundamentales: 1- La fuente encargada de proveer energía eléctrica y puede estar formada por un generador o varios de ellos. Dicha fuente de energía se llama central eléctrica. 2- Un grupo de elementos que se encargan de transformar la energía eléctrica en otro tipo de energía según se requiera. Se lo conoce comúnmente como carga. 3- Un grupo de conductores que se encargan de transmitir la energía eléctrica desde la central eléctrica hacia la carga. Se conoce como línea de transmisión. Central Eléctrica

Línea de transmisión

Carga

El generador es una máquina que se encarga de transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. El generador es el encargado de darles energía a las cargas eléctricas para que puedan desplazarse por el circuito eléctrico. Esta propiedad es conocida como fuerza electromotriz (fem) y se indica con la letra E. El generador real posee una resistencia interna, la cual es propia de la máquina, mientras que el generador ideal es aquel que no posee resistencia interna, es una idealización. La representación general de un generador se hace indicando con un círculo la fem incluyendo su magnitud y polaridad. Además debemos incluir la resistencia interna del generador como se muestra en la figura de abajo. Ambos elementos se dibujan separados, pero en realidad son uno solo. I

+

Considerando el circuito eléctrico cerrado de la figura, en el cual no incluimos la

A

línea de transmisión. Por convención la corriente parte del borne positivo hacia el

E

negativo, ya que siempre parte de una zona de alto potencial hacia una zona de

Rc

bajo potencial. Dentro del generador la corriente pasa a través de la resistencia

Ri B

interna Ri. Los puntos A y B son los bornes del generador los que nos permiten

GENERADOR

conectar el generador con la carga R c. Dicha carga representa a todo el consumo y no necesariamente es del tipo resistiva pura. Observando el esquema anterior se puede notar que sobre la carga hay una tensión que podríamos llamar VAB, cuyo valor no es E sino uno inferior ya se produce una caída dentro del generador debida a la resistencia interna. Para verificar esto aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff a la malla del circuito:

+ E

I

Rc

Ri

La segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de tensión en una malla cerrada es igual a cero

2

DAEZEGO Según la ley de Ohm

, entonces tenemos:

Así vemos que la tensión en bornes del generador real es U= VAB que, efectivamente es menor que E y además que es función de la corriente de carga. Podemos graficar este comportamiento bajo las condiciones de E constante y Ri constante. De esta manera obtenemos un gráfico de U en función de la corriente de carga I. Notamos que para I=0 resulta U=E que es la forma de trabajo a vacío del generador y nos permite determinar el valor de la f.e.m. con sólo medir la tensión en bornes. El otro extremo es cuando Rc es nula y esta forma de trabajo se conoce como cortocircuito y por lo que U=0, así obtenemos el valor de corriente máxima que puede suministrar nuestro generador:

Por lo general se trata de que los generadores operen dentro de un determinado límite, lejano a I cc, donde el valor de U permanece constante. Tengamos en cuenta ahora la caída de tensión que se produce en la línea de transmisión. Para ello consideremos el circuito eléctrico de la figura y que nuestra línea de transmisión está compuesta por dos conductores de longitud L, sección S y resistividad δ. Podemos considerar a cada conductor como un resistor, así en cada uno de ellos se produce una caída de tensión cuya expresión viene dada por: ⁄

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito y teniendo en cuenta que a la salida de la central tenemos una tensión UG y en la carga una tensión U obtenemos: ⁄

⁄

⁄

⁄

Se aprecia que la tensión del generador no aparece totalmente en la carga sino que una parte se pierde en la línea de transmisión la cual se conoce generalmente por caída de tensión en la línea y se representa con UL. Dicha caída de tensión incluye a todos los conductores que forman la línea de transmisión. 3

DAEZEGO TRANSFORMACIÓN DE ESQUEMAS ELÉCTRICOS POR AGRUPACIÓN DE RESISTORES Muchas veces al buscar la solución de un circuito debemos realizar simplificaciones para tratar de obtener un circuito más sencillo que el original. Para lograr esto se analiza cómo están conectados los resistores en el circuito y se reemplazan algunos grupos de éstos por otros más simples o de mayor conveniencia. Veremos que cada agrupación recibe su nombre en base a la conexión en que se encuentran los resistores, así tenemos la conexión en serie, en paralelo, en estrella y en triángulo . Cabe aclarar que estás configuraciones y transformaciones se aplican para impedancias, es decir el análisis con resistores representa un caso particular pero los resultados que obtendremos son totalmente análogos al análisis con impedancias. Conexión serie Este tipo de agrupamiento es uno de los más comunes. Dicho conexión se indica en la figura: R1

R2

R3

U

I

Para hallar la resistencia equivalente, que llamaremos R S, planteamos la segunda ley de Kirchhoff para la malla obteniendo que:

(

)

Así vemos que el valor que toma la resistencia equivalente del conjunto se obtiene, para el caso de tener n cantidad de resistores conectados en serie, con la siguiente expresión: ∑ Conexión paralelo Es el segundo tipo de conexión más conocido y se muestra en la siguiente figura:

I U

R1

I1

R2

I2

R3

I3

Para hallar la resistencia equivalente, RP, aplicamos la primera ley de Kirchhoff obteniendo que: La primera ley de Kirchhoff establece que la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo

(

)

(

)

4

DAEZEGO Resulta que la resistencia equivalente no resulta ser la suma, como sucedió en el caso anterior, sino que el cálculo es más complejo. La expresión general para hallar la resistencia equivalente de n cantidad de resistores en paralelo es la siguiente: ( )

∑ Conexión estrella y triángulo

La conexión estrella, que se conoce también como conexión “T”, la vemos en la siguiente figura: 1 RA

RB RC

3

2

Mientras que la conexión triángulo, que también suele llamarse “π”, resulta ser: 1 R3

R2

3

2 R1

Dichas conexiones se aplican por lo general en circuitos complejos donde no podemos hallar una resistencia equivalente mediante agrupaciones en serie o paralelo. Estas configuraciones nos ayudan a transformar el circuito de manera que podamos obtener agrupaciones en serie o paralelo y finalmente obtener la resistencia equivalente de todo el circuito vista desde los bornes que necesitemos. Es común que el proceso deba reiterarse varias veces y además alternar entre los tipos de transformaciones que usamos. Teorema de Kenelly o transformación estrella-triángulo 1

Para pasar de un circuito estrella a uno triángulo debemos reemplazar los RA

resistores RA, RB y RC que están conectadas en estrella por los resistores R1, R2 y R3 que se encuentran en triángulo, de manera tal de que entre los puntos 1-2, 2-

RB

3 y 3-1 la resistencia que presenten ambas conexiones sea la misma. Para ayudarnos hemos dibujado ambas conexiones superpuestas.

R3

R2

RC

3

2 R1

Dicho lo anterior podemos ver que para la conexión en estrella tenemos las siguientes resistencias equivalentes (suma en serie de los resistores comprendidos entre los puntos de interés):

5

DAEZEGO

Mientras que para la conexión en triángulo resulta que (suma en serie y luego suma en paralelo de los resistores entre los puntos de interés):

(

(

(

)

1

)

RA

R3

R2 RB

)

RC

3

2 R1

Para realizar la transformación de un tipo de conexión sin alterar nada del exterior debemos cumplir con la condición de que entre los puntos 1-2, 2-3 y 3-1 la resistencia que presenten ambas conexiones sea la misma. Es decir que podemos obtener las siguientes igualdades: (

)

(

)

(

)

Las ecuaciones anteriores representan un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que dependiendo del tipo de conexión que conozcamos nos dará los siguientes resultados: De estrella a triángulo 1 RA

R3

R2 RB RC

3

2 R1

La ley de transformación puede expresarse como: la resistencia equivalente del triángulo resulta ser la suma de los productos dobles de las resistencias de la estrella, divida por la resistencia de la estrella opuesta a la que se desea calcular del triángulo. 6

DAEZEGO De triángulo a estrella 1 RA

R3

R2 RB RC

3

2 R1

La ley de transformación puede expresarse como: la resistencia equivalente de la estrella resulta ser el producto de las resistencias del triángulo que concurren al mismo nodo, dividido por la suma de todas las resistencias del triángulo. A modo de ejemplo hallemos el equivalente en triángulo del circuito en estrella que se observa en la figura. Nuestros datos son los resistores de la estrella, por lo tanto para hallar los resistores del triángulo equivalente aplicamos las ecuaciones que hallamos anteriormente:

1 R2

R3 RA = 3Ω RB = 5Ω

3 RC = 2Ω

2 R1

Vemos que la transformación de una conexión a otra resulta sencilla dado que es simplemente recordar la ley de transformación para cada caso y aplicar las fórmulas. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS MEDIANTE LAS LEYES DE KIRCHHOFF Resolver cualquier circuito implica determinar todas las corrientes que existen en el mismo. Para determinar dichas incógnitas hay que plantear tantas ecuaciones como incógnitas tengamos. Este método se usa cuando los circuitos no pueden ser resueltos con las leyes de ohm y las configuraciones y transformaciones vistas anteriormente. Por lo general el método consiste en determinar las corrientes en las ramas de un circuito conociendo las fems y las resistencias. Primero debemos determinar el número de incógnitas, que,

NODO

E1 + R1

2

coincide con el número de ramas del circuito. Una rama es R5 R6

R2 R4

un tramo el circuito que existe entre 2 nodos y que no tiene RAMA

MALLA +

R3

4

derivaciones. El nodo es el lugar físico donde concurren 3 o más ramas. Por comodidad llamaremos Ra al número de

E2

R7

3

ramas, entonces:

7

DAEZEGO Dependiendo del número de incógnitas debemos determinar la cantidad de ecuaciones independientes para resolver el circuito. Para encontrar dichas ecuaciones es necesario seleccionar previamente la cantidad de nodos ó mallas independientes. Entonces llamaremos N al número de nodos y M al número de mallas, así:

Así podemos trabajar con Ni ó Mi ecuaciones independientes según nos convenga. El hecho de definir la cantidad de mallas o nodos independientes radica en que dicha cantidad nos fija el número de ecuaciones independientes del circuito en cuestión. Vamos a detallar los pasos necesarios para resolver un circuito empleando lo que vimos hasta ahora. 1- Para cualquier circuito que analicemos con este método primero elegimos un sentido positivo de circulación con el fin de poder determinar los signos de las fems y las caídas de tensión en los elementos. Por convención se usa el sentido de circulación horario y se indica con una flecha curva. 2- Luego elegimos en forma arbitraria sentidos para las corrientes en cada rama, teniendo en cuenta que dichos sentidos elegidos no contradigan la primera ley de Kirchhoff en ningún nodo (la suma de las corrientes que entran al nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen. No pueden entrar o salir todas a la vez). 3- Se determina Ni y también Mi. Luego se procede a resolver el sistema de ecuaciones formado por Ni ecuaciones de nodos y Mi ecuaciones de mallas. Después se determinan los valores de las corrientes. 4- Finalmente se verifican los sentidos de las corrientes que habíamos elegido para cada rama. Si el signo es positivo entonces el sentido supuesto es correcto. En el caso de que fuese negativo nos indica que debemos cambiarle el sentido y listo.

E1

I1

+

planteo inicial para resolverlo. Se observan los 4

+

I4

R1 R2

I2 I3 1

En la figura se muestra un circuito donde se indica el

R5

I5

2

+

R6 R4

+ +

R3

I7

E2 R7

+

sentidos de circulación positivos y las 7 corrientes incógnitas cuyos sentidos hemos elegido al azar. Sólo

I6

resta plantear las ecuaciones, 3 de nodos y 4 de mallas, 3

y calcular las incógnitas. Por últimos, si el signo de la

incógnita resulta positivo significa que el sentido que supusimos es correcto mientras que si el signo resulta negativo sólo debemos invertir el sentido manteniendo el valor hallado. Este es el caso general de aplicación de las leyes de Kirchhoff para la resolución de circuitos ya que se emplean en conjunto ecuaciones de mallas y de nodos y se necesita resolver tantas ecuaciones como incógnitas tengamos. Ahora veremos dos casos particulares donde uno de ellos emplea únicamente ecuaciones de mallas y el otro sólo ecuaciones de nodos. 8

DAEZEGO RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS MEDIANTE EL MÉTODO DE CORRIENTES DE MALLAS El método consiste en suponer que en cada malla circula una corriente ficticia conocida como corriente de malla, la cual es independiente de los efectos de las corrientes de las demás mallas. El número de ecuaciones independientes a plantear coincide con Mi. Una vez calculadas las corrientes de mallas es fácil determinar el valor de las corrientes incógnitas del circuito ya que se obtienen por simples cálculos algebraicos.

2 I1 R1

E5

R4

llamado a las corrientes de mallas IA, IB e IC

I5

R5

+

respectivamente. Luego hemos supuesto el sentido de la

IB

corriente en cada rama. Seguidamente se indica el

+

I2 1

Analicemos el ejemplo de la figura donde hemos

+

I4 IA

+

+

E2 +

+

+

+

R2 IC I3

E3

+

R6

3

+

I6

sentido de las caídas en cada resistor referido a la

4

corriente de malla correspondiente señalando el lado

R3

positivo. En el caso de que por el mismo resistor pasen +

2 corrientes de mallas debemos indicar ambos lados

positivos correspondientes a cada corriente de malla. Una vez hecho esto procedemos a plantear la ecuación para cada malla basándonos en la segunda ley de Kirchhoff. Malla 1231

Malla 2432

Malla 1341

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Distribuyendo y ordenando resulta: (

(

) (

)

)

Llamaremos resistencias propias o de malla a las siguientes:

9

DAEZEGO Mientras que llamaremos resistencias mutuas o compartidas a las siguientes:

En base a lo anterior podemos escribir nuestras ecuaciones así:

El sistema anterior lo podemos escribir de manera genérica y en forma matricial: [ ] [

]

][

Cabe aclarar que se han considerado sólo 3 ecuaciones, pero el sistema puede construirse en forma matricial para la cantidad de ecuaciones que tengamos. La forma general, considerando impedancias en lugar de resistencias, resulta:

[] [] []

Ahora sólo resta hallar las corrientes de mallas mediante

2 I1

el método de Cramer o por Gauss-Jordan. Conociendo sus valores podemos determinar cuánto valen las corrientes en R1

R5 +

R4

I5

IB

+

cada rama del circuito mediante sumas algebraicas de las corrientes de mallas las cuales se obtienen simplemente

+

E5

I4 IA

+

+

I2 E2 +

1

+

+

R2 IC I3

mirando el circuito. Para nuestro ejemplo considerando los sentidos de las corrientes en cada rama, las mismas tienen por

E3 +

R6

3

+

R3

+

I6 4

+

expresión: ;

;

;

;

;

En el caso de que alguna de las corrientes sea negativa debemos cambiar el sentido que supusimos.

Trataremos de hallar una expresión similar a la que obtuvimos, [ ] [ ] [ ], pero en la que intervengan

admitancias en lugar de impedancias para el caso más general que es considerar a las magnitudes como vectores. Entonces vamos a considerar un circuito de 3 mallas, para hacer más corto el análisis, donde supondremos que existe sólo una fuente en cada malla, así tenemos la siguiente expresión según el desarrollo que hicimos: 10

DAEZEGO 󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

Resolviendo por determinantes el sistema anterior obtenemos que:

|

󰇍 󰇍 󰇍

󰇍 |󰇍 󰇍

󰇍 󰇍 󰇍

󰇍

󰇍 | 󰇍

󰇍 󰇍

󰇍

󰇍 󰇍

󰇍

󰇍 |

( 󰇍󰇍 ) 󰇍

󰇍

(

󰇍

󰇍󰇍 )

󰇍

( 󰇍󰇍 ) 󰇍

Donde hemos indicado los menores complementarios con la letra M, mientras que los determinantes con la letra . Notar que tanto M como son números complejos y por ello se los expresa como magnitudes vectoriales. Por último recordemos que el signo de M se obtiene como ( ) donde i representa la fila y j la

columna. En nuestro caso hemos usado letras en lugar de números para identificar las filas y columnas, pero de todas maneras lo que se utiliza es la posición de cada letra, así la A será 1, la B será 2 y la C será 3. Si definimos como:

󰇍󰇍

󰇍

( )

󰇍

la cual representa una admitancia ficticia que en realidad no existe físicamente y por ello la representamos con letra minúscula podemos escribi...