Unidad N3 Electro 2014 PDF

Preview

Summary

DAEZEGO ELECTROTECNIA APUNTE UNIDAD 3 2014 1 DAEZEGO RESONANCIA La resonancia es un particular que se presenta en los circuitos RLC. Dicho hace que la impedancia del circuito sea resistiva pura lo que es lo mismo que el desfasaje entre la aplicada y la corriente total sea nulo. La resonancia se pued...

Description

DAEZEGO

EL ELEC EC ECT TROTE TEC CNI NIA A

AP APU UNTE - UNI NID DAD 3

201 2014 4

1

DAEZEGO RESONANCIA La resonancia es un fenómeno particular que se presenta en los circuitos RLC. Dicho fenómeno hace que la impedancia del circuito sea resistiva pura ó lo que es lo mismo que el desfasaje entre la tensión aplicada y la corriente total sea nulo. La resonancia se puede dar tanto en circuitos series como en paralelos. Circuitos oscilantes libres Estudiaremos los circuitos oscilantes libres a modo de introducción para luego centrarnos en el fenómeno de resonancia. Vamos a considerar un circuito RLC serie como el que se observa en la figura. Inicialmente diremos que el circuito fue alimentado por una fuente de tensión continua hasta que el capacitor adquirió una carga Q0 que tiene por expresión:

Luego que el capacitor fue cargado si retiró la fuente y se dejó el circuito libre. Como el capacitor está cargado se establece una corriente por el circuito la cual va disminuyendo a medida que el capacitor se descarga, dicha variación de corriente produce en el inductor L una fem que trata de evitar que la corriente disminuya. Esto último hace que el capacitor vuelva a cargarse pero con polaridad opuesta a la que tenía inicialmente. Esta secuencia se repite hasta que la energía se disipa completamente del circuito a través de la resistencia. Analíticamente podemos ver analizar lo sucedido aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito libre. Entonces sabemos que las tensiones en cada elemento son:

∫ Aplicando la segunda ley de Kirchhoff tenemos: ∫ derivando cada término respecto de t y ordenando obtenemos:

Por conveniencia definiremos los siguientes parámetros: 2

DAEZEGO √ reemplazando estos dos parámetros en la ecuación diferencia obtenemos:

La expresión anterior es una ecuación diferencia ordinaria de segundo orden. La solución a dicha ecuación nos representa la corriente como función del tiempo. Sabemos por análisis matemático que las soluciones a este tipo de ecuaciones tienen la forma:

reemplazando dicha solución en nuestra ecuación diferencial y operamos algebraicamente obtendremos:

que tiene por soluciones: √

√

√

√

Así hemos encontrado las posibles soluciones a nuestra ecuación diferencial. Conociendo los valores de dichas soluciones podemos determinar el comportamiento del circuito. Veremos que pueden darse tres soluciones posibles que representan tres casos bien definidos: 123-

Es decir que el comportamiento de nuestro circuito depende del valor que toma a respecto de ω 0. Como a es función de R, podemos valernos de la condición de caso crítico para encontrar el valor de resistencia crítica (RC): √

3

DAEZEGO Ahora podemos decir que: 123Pasemos a ver cual es la solución a nuestra ecuación diferencial en cada uno de estos tres casos. 1- Caso no oscilatorio Las condiciones vistas para que se dé este caso son: La solución resulta ser:

Vemos que el comportamiento esta descripto por una función Seno hiperbólico multiplicada por una exponencial decreciente. La figura muestra una curva aproximada de dicho comportamiento. 2- Caso oscilatorio Las condiciones para que se dé este caso son: Llamaremos

√

; entonces la solución resulta ser:

Se observa que el comportamiento está definido por una función senoidal multiplicada por una exponencial decreciente, por lo que es de esperar que el sistema oscile. La figura muestra este comportamiento. 3- Caso crítico Las condiciones para que se de este caso son: La solución resulta ser:

Se observa que el comportamiento está definido por una función lineal multiplicada por una exponencial decreciente, entonces deducimos que el sistema no oscila. La figura muestra este comportamiento. Notar la diferencia que existe con el caso no oscilatorio. En el caso crítico la corriente decrece más rápidamente que en otro caso.

4

DAEZEGO A nosotros nos interesa el caso en el que se produce la oscilación. Vimos que si satisfacen las condiciones necesarias el sistema oscila con su frecuencia natural ω’ hasta amortiguarse por completo. Si ahora a ese sistema oscilante le colocamos un generador para mantener la oscilación nos encontramos en el caso de oscilaciones forzadas, ya que el generador se encarga de entregar la energía que se disipa en el resistor. Si encima la frecuencia del generador coincide con la natural del sistema decimos que el circuito está en resonancia. RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC SERIE Con lo que hemos visto anteriormente pasaremos a analizar el fenómeno de resonancia en un circuito serie RLC. Dicho circuito se encuentra alimentado por un generador de tensión constante y frecuencia variable. Dijimos que para que un circuito esté en resonancia la impedancia debe presentar características resistivas. Entonces en nuestro caso para que haya resonancia deben ser iguales las reactancias:

De la condición de resonancia del circuito serie vemos que debe existir una relación entre ω, L y C. De esta manera podemos elegir dos de estos parámetros y variar el tercero para lograr la condición de resonancia. Como nos interesa estudiar el comportamiento en frecuencia del circuito, nosotros variaremos la frecuencia del generador. De la condición de resonancia podemos obtener la frecuencia natural del circuito ω0 que es la frecuencia que tiene que tener el generador para producir la resonancia en el circuito. Es decir que la frecuencia natural de un circuito serie vale: √

Entonces veamos el comportamiento de los elementos del circuito a medida que varía la frecuencia o pulsación desde 0 hasta ∞. Es decir que graficaremos R, X L, XC, X, Z y φZ. Procedemos a indicar la relación entre cada parámetro y nuestra variable que es ω:

Vemos que R no depende de ω, mientras que X L es una función lineal de ω y XC representa una hipérbola equilátera. En la figura se indican estos tres parámetros. Notar que en trazo fino se encuentra XC mientras que en trazo grueso se indica –XC.

5

DAEZEGO Este es el motivo por el cual hemos incluido la curva de –XC para Para hallar la reactancia total X debemos recordar que . poder hacer la suma de manera más fácil. Para la frecuencia de resonancia X se hace nula, lo cual concuerda con la condición de resonancia. Ahora podemos determinar la impedancia del circuito. Vamos a indicarla en módulo y fase. Sabemos que el módulo y la fase tienen por expresiones: √

||

{ (

)

{

||

||

|| ||

|| ||

|| ⁄

⁄

Lo anterior se ve en las siguientes figuras. Para mayor comprensión no se incluyeron las curvas de XL, XC y –XC, y se añadió la curva de |X| para la parte negativa de X.

En las figuras se puede ver lo escrito en las ecuaciones anteriores. Se puede apreciar que para valores de ω tendiendo a 0 la impedancia presenta un comportamiento capacitivo y por ello la fase se corresponde con valores que se aproximan a -90°. Para el caso en que ω coincide con ω 0 se produce la resonancia donde la impedancia se comporta de forma resistiva y por lo que la fase debe ser cero. Por último, cuando ω tiende a infinito el comportamiento se hace capacitivo y por ello pasa a ser positiva y tiende a 90°. Entonces el diagrama completo, sin omitir ninguna de las curvas, es:

6

DAEZEGO Ahora que vimos el comportamiento de los elementos del circuito esto nos ayudará con el estudio de la corriente y las tensiones en cada uno de ellos. En concreto, será la impedancia la que nos indicará las condiciones ya que es ella quien interviene en la expresión de la corriente.

Sabemos que la corriente tiene por expresión: {

√

Así la gráfica de la corriente es la que vemos en la figura. Ahora que conocemos la corriente para todos los valores de frecuencia podemos determinar la tensión en R, L y C. Para ello nos ayudara la curva de la corriente ya que será ella quien imponga las condiciones. La tensión en R tiene por expresión: {

La tensión en L tiene por expresión: {

La tensión en C tiene por expresión: {

7

DAEZEGO Notar que no hemos indicado la pulsación de resonancia en las dos últimas figuras ya que no indicaría un valor importante estando aisladas dichas curvas. Ahora uniremos las tres curvas en un solo gráfico. Ahora vemos que a la frecuencia de resonancia la curva de V L y VC se intersectan, lo cual concuerda con el hecho de que en resonancia la tensión en L y la tensión en C son iguales en magnitud dado que las reactancias son iguales.

También sabemos que dichas tensiones son iguales en magnitud pero de fase opuesta, de esta forma podemos construir una última gráfica que representa la tensión en ambos elementos que llamaremos VLC.

Con lo visto hasta aquí podemos concluir que para la frecuencia de resonancia el circuito RLC serie presenta impedancia mínima y resistiva pura, factor de potencia unitario y corriente máxima. Factor de mérito o factor de Sobretensión Como las reactancias son iguales también lo son las tensiones UL0 y UC0, dado que la corriente es única para todos los elementos, igualando las expresiones queda

Al valor

se lo conoce como factor de mérito. Así la tensión en bornes del inductor o en bornes del capacitor vale

Si el factor de mérito Q es mayor que la unidad, entonces la tensión en dichos elementos es mayor que la tensión aplicada y por ende existe sobretensión . Por este motivo a Q también se lo llama factor de sobretensión. Si Q...