Unidad N2 Electro 2014 PDF

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DAEZEGO ELECTROTECNIA APUNTE UNIDAD 2 2012 1 DAEZEGO CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Alterna hace referencia al cambio de signo de la corriente o de la de de la misma. Se supone que se alterna el signo o con el tiempo. Dicha corriente posee un de alternado por lo que decimos que es Las notables de la...

Description

DAEZEGO

ELECTROTECNIA

APUNTE - UNIDAD 2

2012

1

DAEZEGO CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Alterna hace referencia al cambio de signo de la corriente o de la dirección de circulación de la misma. Se supone que se alterna el signo o dirección con el tiempo. Dicha corriente posee un período de alternado por lo que decimos que es periódica. Las características más notables de la corriente alterna son que su período T se puede dividir en dos partes iguales llamadas semiperíodos ó semiciclos y que los sucesivos valores en un semiperíodo es igual al del siguiente pero con signo opuesto. Generalmente se utilizan corrientes alternas sinusoidales dado su facilidad de generación. Como trataremos con funciones del tipo periódicas es necesario que tengamos presente los conceptos de período, frecuencia y frecuencia angular. Período es el intervalo de tiempo que tarda en repetirse un determinado valor de amplitud de la función. Se representa con la letra T y por ser un intervalo de tiempo su unidad es el segundo. Frecuencia es la cantidad de veces que se repite la función en un segundo o lo que es lo mismo en la unidad de tiempo. Por definición es la inversa del período, se representa con la letra f y su unidad es el ciclos/seg o Hertz. Frecuencia angular es la cantidad de giros en la unidad de tiempo. Se representa con la letra ω y sus

unidades son rad/seg ó 1/seg. Se define como:     ⁄ 

Las máquinas encargadas de generar dicha corriente se conocen como alternadores y producen la corriente alterna gracias a efectos magnéticos y rotación. Un generador elemental consiste en un estator que tiene un bobinado de N espiras y es la parte inmóvil o estática de la máquina. Luego tenemos el rotor que está formado por un imán permanente el cual gira a una determinada velocidad angular.

Según la posición del rotor el flujo ϕ a través del bobinado varía entre valores máximos, mínimos y nulos. Las 4 posiciones principales son las que se ven a continuación:

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DAEZEGO Recordemos que si hay variación de flujo existe una fem inducida que tiene por expresión según la ley de Lenz:    ∙

 

Además la expresión de flujo ϕ es    á ∙ 

Considerando    resulta que la fem inducida es e  N ∙

dϕ!á" ∙ Cosωt(   ∙ á ∙  ∙ )*(; ,á   ∙ á ∙  dt

Así llegamos a la conclusión de que la fem inducida en una función senoidal. La expresión representa los distintos valores instantáneos que toma la fem alterna en función del tiempo:   ,á ∙ )*  ,á ∙ )*;    Siempre usaremos letras minúsculas para indicar los valores instantáneos de las diferentes magnitudes a lo largo de este tema, salvo que se diga lo contrario. Si conectamos una resistencia de carga a nuestro generador circulará una corriente por ella que también será senoidal. Dicha corriente podemos determinarla aplicando la ley de Ohm, es decir: i

e E!á" ∙ Sen2πft   → i  I!á" ∙ Sen2πft R R

De esta manera vemos que la corriente también es senoidal y de igual período que la fem, este es un hecho que siempre debe cumplirse dado que ambas magnitudes provienen del mismo generador el cual se encuentra girando a una determinada velocidad angular. Entonces hemos representado los valores instantáneos de la fem y la corriente así como sus valores máximos y período.

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DAEZEGO VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA CORRIENTE ALTERNA Valor máximo es el máximo valor que toma la señal. Lo representamos con letra la mayúscula correspondiente al valor instantáneo y el subíndice máx. Valor medio se determina en un semiperíodo ya que si lo calculamos en un período su valor sería nulo. Se representa con la letra mayúscula correspondiente al valor instantáneo y el subíndice m. Con ayuda de la figura y tomando la función i como ejemplo vemos que el valor medio define la altura de un rectángulo cuya base es un semiperíodo. El área de dicha base debe coincidir con el área bajo la semionda y el eje del tiempo. Dicho esto obtenemos la siguiente ecuación:  2 =  ∙ 7  8 9 ∙   →  I!  ∙ 8 I!á" ∙ Sen2πft( ∙ dt T >  : 

7 

<

 ∙7 ≅ :, ABAA ∙ á 7  á

Así tenemos que el valor medio de una onda alterna senoidal se obtiene como el producto entre un factor y el valor máximo de dicha onda. Para el caso más general, es decir, de tener una señal alterna no sinusoidal el valor medio se obtiene con la siguiente expresión: I! 

1 D ∙ 8 i ∙ dt T >

Valor eficaz es el valor más usado y técnicamente el más útil. Se define como la raíz cuadrada del valor medio cuadrático. Se representa con la letra mayúscula correspondiente al valor instantáneo y el subíndice ef ó simplemente con la letra mayúscula.

Este valor es el que miden los

instrumentos de medición. El valor eficaz de una tensión o una corriente alterna es un valor continuo que produce los mismos efectos térmicos sobre una resistencia dada. 2

De la figura tenemos graficados los valores de i y de i. Entonces tenemos que:    = T E ∙ 8 Sen E2πft ∙ dt ∙ 7  8 9 ∙   →  ∙ I E  I!á"  2 : > 

<

I  IFG 

I!á" √2

≅ 0,707 ∙ I!á"

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DAEZEGO Así tenemos que el valor eficaz I ó Ief de una señal alterna senoidal es 0,707 veces el valor de Imáx. Recordar que esto es válido sólo para señales alternas sinusoidales. Para el caso más general de tener una onda alterna no senoidal el valor eficaz lo podemos calcular con la siguiente expresión: 1 D I  K ∙ 8 iE ∙ dt T > REPRESETACIÓN DE SEÑALES SENOIDALES MEDIANTE FASORES La representación mediante fasores es la más adecuada y facilita muchísimo el estudio de las ondas alternas senoidales. Un fasor es un vector giratorio. En nuestro caso, cuando construyamos los diagramas fasoriales que representarán el comportamiento de un determinado circuito, todos los fasores giran con la misma velocidad angular o lo que es lo mismo tienen la misma pulsación, por eso decimos que son vectores armónicos.

Para nuestro caso, la magnitud del fasor está dada por el valor máximo de la señal aunque también se usa mucho el valor eficaz. Emplear uno u otro valor sólo implica un cambio de escala. El valor instantáneo de la señal en un determinado instante resulta ser la proyección sobre el eje vertical del fasor en la posición en que se encuentra en dicho momento. Con lo anterior tenemos que los fasores que representan a las tensiones, corrientes y fems conservan sus posiciones relativas motivo por el cual podemos trabajar con los fasores en las distintas operaciones que implica resolver un circuito de corriente alterna. Sabemos que los vectores pueden representarse a través de un número complejo. Viendo la figura tenemos que: 7L  7M N O7 ótambién7L  7 ∙ U N O)*U( Que podemos escribir como Módulo

I  VIEE N I EE \=

Fase θ  arctg [\ ^ ]

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DAEZEGO RESPUESTA DE LOS CIRCUITOS CON CORRIENTE ALTERNA Veremos cómo se comportan los diferentes tipos de circuitos cuando son excitados o alimentados con una señal alterna senoidal. Inicialmente veremos que sucede con los puros, es decir, resistores, inductores y capacitores; por último analizaremos combinaciones de ellos y trataremos de obtener conclusiones generales. Circuito resistivo puro Nuestra carga será entonces una resistencia pura que llamaremos R. Diremos que tenemos una resistencia pura cuando no presenta fenómenos capacitivos o inductivos. El circuito que tenemos es el de la figura, donde hemos conectado a la carga un generador que se caracteriza por el valor eficaz de su tensión que llamaremos E. El valor máximo correspondiente de dicha tensión será: E!á"  U√2 De esta manera el valor instantáneo resulta ser e  E!á" ∙ Senωt  E√2 ∙ Senωt Aplicando la ley de Ohm podemos determinar la expresión de la corriente que circula por la resistencia, es decir: i

e E√2 ∙ Senωt  R R

i  I√2 ∙ Senωt  I!á" ∙ Senωt

En la figura se observa el resultado obtenido. Una importante conclusión que obtenemos es que la onda de tensión no tiene desfase con respecto a la de corriente. Esto se nota fácilmente al analizar las expresiones de u y de i donde vemos que ambas corresponden con un seno sin desfasaje en el tiempo. También vemos que en la representación vectorial los fasores se encuentran superpuestos lo cual concuerda con la falta de desfasaje. Por último hemos indicado la representación vectorial `L  R ∙ LI E

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DAEZEGO Circuitos inductivos puros Nuestra carga será entonces inductiva pura que llamaremos L, es decir que no presenta características resistivas ni capacitivas.

Consideremos el circuito de la figura, donde tenemos la carga conectada a un generador de corriente cuyo valor instantáneo es i  I√2 ∙ Senωt Recordemos que la expresión de la f.e.m. inducida en un circuito de corriente alterna es ea  L ∙

di dcI√2 ∙ Senωtd  L ∙   ∙ 7 ∙ e√ ∙ Cosωt  ,eá ∙ Cosωt dt dt

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la figura tenemos en valores instantáneos que ea N e  0 Así podemos despejar la expresión de la tensión aplicada: e  e a  Ea!á" ∙ Cosωt para poder realizar la comparación con la expresión instantánea de la corriente debemos expresar el coseno

como un seno. Recordemos que fghωt  ijkωt N aplicada:

 y así llegamos a la expresión final de la tensión

l =

e  ω ∙ I ∙ L√2 ∙ Senωt N m=  Ea!á" ∙ Senωt N m= 

Es evidente que en este caso la corriente y la tensión no se encuentran en fase, sino que la tensión se encuentra adelantada en π/2 respecto de la corriente ó lo que es lo mismo que la corriente se encuentra atrasada en π/2 respecto de la tensión. Otro detalle importante es que tanto la tensión como la corriente tienen igual frecuencia. También resulta sencillo determinar el valor eficaz de la tensión ya que conocemos cuánto vale el valor máximo, así tenemos:

E

n opáq √E

 ω∙I∙L

La anterior es la ley de Ohm, por lo que denominaremos Xa  ω ∙ L que se conoce como reactancia

inductiva

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DAEZEGO U  ω∙L∙I  Xa ∙I Si deseamos expresar lo anterior en forma vectorial sería: ` L  jXa ∙ LI U Donde el operador j gira en adelanto 90° al vector que está afectando. Por último cabe destacar que: `L  jXa ∙ LI  E `L a U Circuitos capacitos puros En este caso nuestra carga será un capacitor puro que llamaremos C, es decir que no presenta resistencia ni inductancia.

Consideremos el circuito de la figura, donde el generador entrega una determinada tensión alterna de valor instantáneo u. Recordemos que la expresión de la corriente que se estable en ese tipo de circuitos es: i

dQ dt

es decir que es la derivada de la carga del capacitor respecto del tiempo. Además sabemos que la carga Q

que acumula un capacitor de capacidad C cuando se le aplica una tensión E resulta ser Q  C ∙ E

si escribimos de forma diferencial suponiendo que C permanece constante queda uQ  C ∙ de. Por lo que

reemplazando en la expresión de la corriente tenemos: i

de dQ  C∙ dt dt

Sabemos que e  E!á" ∙ Senωt  E√2 ∙ Senωt lo que podemos reemplazar en la anterior y obtener la

expresión de la corriente

i  C∙

de dcE√2 ∙ Senωtd  ωEC√2 ∙ Cosωt  C∙ dt dt

i  ωEC√2 ∙ Senvωt N l=w  I !á" ∙ Senvωt N l=w

En este caso es la corriente la que se adelanta respecto de la tensión aplicada en π/2, que es el caso contrario al que obtuvimos para el circuito inductivo puro. Nuevamente se verifica que 8

DAEZEGO tanto la tensión como la corriente tienen la misma frecuencia. El valor eficaz lo podemos determinar dado que conocemos el valor medio, entonces: I

I!á" √2

x y  ωCE  z{

y

La anterior representa la ley de Ohm para este caso. Llamaremos reactancia capacitiva {X z{ y así

podemos escribir que:

I

x

y z{



x X|

Si la expresamos en forma vectorial quedaría `L  jX{LI E Como el operador j desfasa 90° anteponemos el signo negativo para que desfase -90°. Circuito con impedancia. Ley de Ohm generalizada Consideremos ahora que tenemos una impedancia Z como carga que está constituida por una resistencia R, un inductor L y un capacitor C tal como se muestra en la figura. Este es el caso más general y el que se da en la realidad, ya que los elementos puros son una idealización.

Nuestro circuito consta de un generador que alimenta a nuestra impedancia Z. Entonces la tensión que entrega el generador debe ser igual a la suma de las tensiones parciales en los diferentes elementos que componen la impedancia. Es decir

L }  R ∙ LI Donde sabemos que: `E

`L  ``EL} N E ` La N E `L { E

;

``EL a  jXa ∙ LI

y

`EL{  jX{ LI

`EL  R ∙ LI N jXa ∙ LI  jX| LI  R N jXa  X| ( ∙ LI

Llamaremos reactancia X  Xa  X | , así de manera más compacta queda ~`L  • N O€ e  € •   • N O€

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DAEZEGO Hay que tener muy presente que los fasores dependen del tiempo, mientras que los vectores no. Por lo tanto Z no es un fasor, es un vector. La impedancia de un circuito es la que impone el desfase que habrá entre la tensión aplicada y la corriente que se establezca por el mismo, es decir que el desfase depende sólo de la impedancia. Como la impedancia es un vector podemos expresarla también en un módulo y una fase, es decir: X  X{ E N X  X E yθ  arctg … a |Z|  VR † a { R

La inversa de la impedancia Z se llama admitancia Y cuya unidad es el mho (℧). La inversa de la resistencia

R se llama conductancia G y la inversa de la reactancia X se llama susceptancia B, ambas también en mho. En el caso de circuitos series se deben sumar las caídas de tensión, sumamos impedancias. En el caso de circuitos paralelos se deben sumar corrientes, sumamos admitancias.

En la resolución de problemas es conveniente usar el análisis matemático en conjunto con el diagrama fasorial. Veremos que resolver el circuito empleando el diagrama fasorial es mucho más práctico y no requiere de muchos cálculos, pero es condición el buen manejo de los conceptos. A continuación veremos algunos ejemplos donde se aplican las resoluciones gráficas que son las de mayor utilidad. Por último no debemos olvidar que en este caso siempre trabajamos con magnitudes vectoriales, así que siempre debemos indicar magnitud y fase ya sea para las tensiones y/o corrientes. Ejemplo N°1: Para determinar los valores de R y L de una impedancia Z se la conecta en serie con un resistor de 25Ω y a dicho circuito se lo alimenta con una fuente de tensión de 120V y 60 Hz. Se miden las tensiones en bornes del resistor y de la impedancia. Sobre el resistor hay existen 70,8V mientras que sobre la impedancia hay 86V. Cuánto valen R y L? Si quisiéramos resolver el circuito sólo de forma analítica no podríamos, ya que con la información que tenemos no podemos deducir el ángulo de la impedancia y por ende no podemos saber el desfasaje entre tensiones y corriente. Por lo tanto nos ayudaremos con el diagrama fasorial. Primero realizamos un sencillo esquema del circuito donde indicamos todos nuestros datos. Podemos construir el diagrama fasorial con valores máximos ó eficaces ya que la elección de uno u otro sólo implica un cambio de escala y no modifica la forma del diagrama. Como no se especifica en el enunciado vamos a considerar que los datos fueron medidos por un instrumento y por ende deben ser valores eficaces. Usaremos los nombres que se ven en la figura. 10

DAEZEGO Comenzaremos entonces a construir el diagrama. Como se trata de un circuito serie es la corriente el parámetro común a todos los elementos y por ello la graficaremos en el eje horizontal, es decir que la corriente será nuestra referencia. Este procedimiento lo hacemos sin necesidad de conocer el módulo de la misma, simplemente definimos que el eje horizontal representará la dirección de la misma. Luego adoptamos una escala para la tensión y otra para la corriente. En nuestro caso podemos conocer el módulo de la corriente ya que conocemos la resistencia de 25Ω y la tensión que hay en ella. Así sabemos que la corriente vale: I

70,8V V}   2,832A 25Ω 25Ω

Fijada nuestra referencia y según nuestros datos conocemos la caída de tensión en el resistor y en la impedancia. Podemos ubicar fácilmente la tensión en el resistor ya que conocemos su magnitud y por ser una carga resistiva pura la tensión debe estar en fase con la corriente que atraviesa al resistor. Entonces en la escala que hayamos elegido graficamos la tensión VR en fase con la corriente. Sabemos que entre la tensión del generador y la corriente existe un desfase que viene impuesto por la carga total del circuito. Sabemos el módulo de U (120V) y que debe estar desfasa de I un cierto ángulo. Entonces vamos a trazar una circunferencia cuyo radio sea el módulo de U cuyo centro es el origen de donde parte nuestro fasor referencia. Al hacer esto estamos considerando el módulo de U y todos los posibles desfasajes que hayan entre U e I. Ahora debemos recordar la segunda ley de Kirchhoff y tener presente que la suma de las caídas de tensión en los elementos debe ser igual a la tensión que entrega el generador. En este caso se trata de una suma vectorial. Conocemos el módulo de la tensión en la impedancia pero no conocemos que desfasaje tiene respecto de la corriente. Nuevamente se nos presenta el caso en que no sabemos el desfasaje pero sí el módulo. Además según Kirchhoff sabemos que al sumar vectorialmente VR con VZ debo obtener como resultado U. Podemos utilizar el compás de nuevo, esta vez con radio igual al módulo de VZ y centro en el extremo de VR. La intersección de las dos circunferencias nos dará el resultado. El resultado se corresponde con la intersección superior ya que sabemos que el circuito posee un inductor. La intersección de abajo correspondería con un comportamiento capacitivo. Para completar el diagrama faltaría indicar las tensiones en R y L.

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DAEZEGO Las proyecciones de VZ representan las tensiones en los elementos. En fase con la corriente debe estar la tensión sobre el resistor. Mientras que la tensión en el inductor debe estar adelantada 90° respecto de la corriente. La suma de ambas debe ser VZ. Sólo nos queda medir los valores que necesitamos para realizar los cálculos y obtener los valores pedidos en el enunciado. Mediremos las tensiones en cada elemento de la impedancia. Obtenemos los siguientes valores aproximados: V}  14,16V

aV

84,43V

Nos queda calcular los elementos de la impedancia: ••  • ∙ 7 → •  •e  €e ∙ 7 → e 

M‘, MA•  ”Ω , ’B“

’‘, ‘B•  •–, :’—˜ M: ∙ , ’B“

Ejemplo N°2: Consideremos el circuito de la figura del cual queremos saber el valor de los elementos que faltan usando el método gráfico. Lo único que sabemos es que al conectar una fuente alterna desconocida se obtienen mediante amperímetros los siguientes valores de corrientes: |7M|  ”“;|7  |  ‘“;|7  |  ’, •“ Lo primero de todo es elegir una escala para la corriente y la tensión, y fijar la referencia. En este ejercicio sabemos que se trata de un circuito paralelo y conocemos sólo los módulos de las corrientes con la salvedad de que la corriente I2 atraviesa a una resistencia y debe estar en fase con la tensión aplicada. Por ello elegiremos como referencia a la corriente I2 y la colocaremos en el eje horizontal con origen en el centro de coordenadas. Es obvio que el eje horizontal también ...