Unidad N7 Electro 2014 PDF

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DAEZEGO ELECTROTECNIA APUNTE UNIDAD 7 2014 1 DAEZEGO CIRCUITOS ACOPLADOS Cuando analizamos circuitos que tienen inductores por lo general no se considera el acoplamiento que hay entre ellos ya que se supone que los mismos se encuentran lo suficientemente separados unos de otros. En esta parte veremo...

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DAEZEGO

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1

DAEZEGO CIRCUITOS ACOPLADOS Cuando analizamos circuitos que tienen inductores por lo general no se considera el acoplamiento magnético que hay entre ellos ya que se supone que los mismos se encuentran lo suficientemente separados unos de otros. En esta parte veremos cómo proceder cuando no podemos despreciar el acoplamiento que existe entre los inductores y para ello comenzaremos por repasar algunos conceptos. Consideremos el circuito indicado en la figura, que consta de un inductor de N espiras

i(t) v(t)

L N

y autoinducción L, por el cual se hace circular una corriente variable en el tiempo que llamamos i(t). Dicha corriente produce en el inductor una tensión v(t) que, por la ley de Lenz, se opone a la circulación de misma y que tiene por expresión: ()

()

De manera similar debido a la variación de flujo que se produce en el inductor como consecuencia de la corriente variable podemos escribir la expresión de la tensión como: ()

()

Igualando ambas expresiones obtenemos:

Así hemos obtenido la expresión de la autoinducción L en función del número de espiras N, el flujo magnético y de la corriente.

i1

Ahora consideremos que tenemos dos inductores como se muestra en la figura. Al circular la corriente i1 por el primer inductor produce un flujo variable ϕ11. Parte de este flujo se concatena en el segundo inductor y lo llamamos flujo ϕ12. Este flujo concatenado, también variable por serlo ϕ11,

φ12 N2

L1 φ11

φ22 L2

N1

v2

φ21

establece una tensión v2 sobre el segundo inductor. Dicha tensión a su vez genera un flujo variable ϕ22 y nuevamente parte de dicho flujo se concatena en el primer inductor que lo llamamos ϕ21. Entonces la expresión de la tensión en el segundo inductor resulta:

2

DAEZEGO Que podemos escribirla en función del coeficiente de inducción mutua M como sigue:

Igualando las expresiones anteriores obtenemos la expresión del coeficiente de inducción mutua

Con el mismo razonamiento tenemos que

así

Por lo tanto podemos escribir la expresión para el coeficiente de inducción mutua como:

Podemos establecer una relación entre el coeficiente de inducción mutua M y el factor de acoplamiento k. Para ello escribimos la expresión del factor de acoplamiento:

El factor de acoplamiento se define como la relación entre el flujo concatenado y el flujo total. Dicho valor puede variar entre 0 y 1, siendo nulo cuando no existe acoplamiento mientras que es unitario cuando el acoplamiento es total y no existe ninguna fuga. Su valor se puede variar de manera fácil modificando la posición relativa de las bobinas. Pasemos ahora a establecer la relación entre M y k. Para ello vamos a multiplicar M por M y tomaremos en cada reemplazo una de las equivalencias, es decir:

Ahora multiplicamos y dividimos le segundo miembro por los flujos totales

y , así queda:

3

DAEZEGO

Los valores en color gris los agrupamos convenientemente para obtener k, mientras que los demás los agrupamos para obtener L. Entonces la expresión queda: √

ANÁLISIS DE LOS INDUCTORES ACOPLADOS Comenzaremos analizando el circuito de la figura el cual consta de dos inductores devanados sobre un mismo núcleo y cada circuito posee una fuente de excitación. Los sentidos de los flujos que se establecen se determinan mediante la regla de la mano derecha. Para indicar que los inductores se encuentran acoplados se incluye el coeficiente M entre los inductores correspondientes.

Vamos a plantear las ecuaciones de cada circuito, así tenemos: { El signo de los términos en M depende del sentido de los flujos, es importante tener presente que NO ES EL SIGNO DE M, sino el signo del término en M, ya que por definición el coeficiente de inducción mutua es positivo. Transformando las expresiones anteriores obtenemos: { Reordenando y sacando factor obtenemos: {

( (

) )

4

DAEZEGO Que podemos escribirlo de manera matricial como: ] ] [ ] [ Veamos ahora cómo determinar el signo del término en M. Para ello analizaremos los flujos producidos [

en cada circuito. Con la regla de la mano derecha se definen los sentidos de los flujos para las corrientes dadas. De esta manera, si los flujos giran en el mismo sentido los signos de los términos en M coinciden con los signos de los términos en L. De no ser así los signos serán opuestos a los que tengan los términos en L. Esto se aprecia mejor en la figura siguiente.

Los términos en L son aquellos donde aparecen las autoinductancias. PUNTOS HOMÓLOGOS. CORRIENTE NATURAL Veremos ahora otra manera de determinar el signo del término en M. Para ello vamos a considerar en esta situación que uno de los circuitos es pasivo, es decir que no posee fuente de excitación. La corriente que circula por el circuito activo genera un flujo cuyo sentido lo determinamos con la regla de la mano derecha. Si cerramos la llave que está en el circuito pasivo se va establecer por éste una corriente, que por la ley de Lenz, circulará de manera tal de producir un flujo que se oponga al flujo producido por el circuito activo. Dicha corriente se denomina corriente natural. Para determinar el sentido de circulación de la corriente natural empleamos la regla de la mano derecha ya que conocemos el sentido del flujo y la forma del arrollamiento. Conocer el sentido de circulación de la corriente natural en el circuito pasivo nos posibilita hallar los puntos homólogos de ambos inductores. Los puntos homólogos son aquellos bornes que poseen la misma polaridad instantánea y se indican con un punto en el borne correspondiente. Entonces si consideramos como punto homólogo al borne por el cual ingresa la corriente al inductor del circuito activo, el punto

5

DAEZEGO homólogo del circuito pasivo será el borne del inductor por el cual sale la corriente natural. Las siguientes figuras muestran distintos ejemplos:

Conocer los puntos homólogos nos permite simplificar la representación del circuito ya que se puede obviar la forma del arrollamiento y construir un esquema donde se indican los inductores y sus correspondientes puntos homólogos. Esta representación la usaremos en breve. Ahora, veremos cómo determinar el signo del término en M conociendo los puntos homólogos. Si consideramos en circuito donde se encuentran indicados los puntos homólogos podemos definir la regla de los puntos. Si las corrientes consideradas entran o salen de los puntos homólogos, entonces los signos de los términos en M serán iguales que los signos de los términos en L. De lo contrario, si una entra y la otra sale, el signo del término en M será opuesto al que tenga el término en L. Es decir, si ambas corrientes entran o salen de los puntos homólogos el signo del término en M es positivo, mientras que si una corriente entra y la otra sale de los puntos homólogos el signo del término en M es negativo. Lo dicho se aprecie mejor en la figura.

CIRCUITO EQUIVALENTE CONDUCTIVO A partir del circuito acoplado podemos obtener un circuito equivalente conductivo en el cual no se existe el acoplamiento. Para obtener el equivalente conductivo vamos a considerar el circuito acoplado de la figura, donde ya están indicados los puntos homólogos así como las corrientes que circulan por el mismo, y vamos a escribir las ecuaciones de cada malla en forma matricial como lo hemos hecho anteriormente.

M

r1 V1

I1

L1

r2 L2

I2

{

( (

) ) 6

DAEZEGO Entonces el sistema en forma matricial resulta: ( [

)

] [ ] ] [ ] ] [ ] [ [ ( ) Notar que ambas corrientes circulan en sentido horario y que por la regla de los puntos se ha determinado el signo de los términos en M.

Para encontrar el circuito equivalente conductivo se usa la matriz de impedancias. Para que los circuitos resulten equivalentes deben tener la misma matriz de impedancias. Es decir que debemos distribuir los elementos necesarios de manera adecuada para lograr la equivalencia. Una de las formas se indica en la siguiente figura:

r1

jω(L1-M) jω(L2-M)

r2

Observando el circuito notamos que se ha sustituido el acople inductivo por uno conductivo cuyo valor es opuesto al que posee la impedancia

I1

V1

I2

jωM

compartida en la expresión matricial, por lo tanto representa una reactancia inductiva. Luego para balancear y lograr la equivalencia hemos colocado un elemento inductivo de valor L1-M y L2-M. Si

planteamos las ecuaciones de cada malla y después la escribimos en forma matricial debemos obtener la misma matriz de impedancias que teníamos en el circuito acoplado. Esto es: {

(

(

)

)

Entonces queda: {

( (

) )

( [

)

(

)

] [

] [

]

De esta manera hemos construido el circuito equivalente conductivo para nuestro circuito acoplado. La otra forma de construir el circuito conductivo se muestra en la siguiente figura:

r1

jωL1

r2

jωL2

Esta forma de construcción se deriva de la anterior, sólo que aquí hemos distribuido el término L1-M y L2-M en dos elementos. A pesar V1

I1

jωM

I2

de que parece una obviedad lo que hemos hecho resulta más práctico y nos permite determinar reglas para la construcción de los equivalentes

-jωM

-jωM

conductivos. Se comienza construyendo la rama compartida donde colocamos el elemento opuesto al que aparece en la matriz de impedancias, es decir que si en la matriz aparece la impedancia compartida como una reactancia capacitiva debo colocar una reactancia inductiva y viceversa. Inmediatamente después de 7

DAEZEGO esto se coloca en cada rama el elemento opuesto al que se colocó en la rama central y con esto ya tengo balanceada la matriz. Sólo resta colocar los demás elementos para concluir con la equivalencia. Este método se aplica directamente sólo si las corrientes circulan en el mismo sentido ya que en ese caso la impedancia compartida siempre lleva el signo opuesto al que tiene realmente el elemento compartido. Si las corrientes circulan en sentidos diferentes entonces el signo que aparece en la impedancia compartida se corresponde con el elemento que debo colocar, es decir que no debo cambiar el signo, y luego sigo el mismo procedimiento. A continuación se muestra un cuadro que nos indica los elementos a colocar en el equivalente conductivo según el sentido de las corrientes y el signo de la impedancia compartida.

Para corrientes de igual sentido +jωM

r1+jωL1

±jωM

±jωM

r2+jωL2

-jωM jωM

jωM

jωM -jωM -jωM

-jωM

Para corrientes de sentido opuesto +jωM

r1+jωL1

±jωM

±jωM

r2+jωL2

jωM -jωM

-jωM

-jωM -jωM jωM

jωM

Ejemplo r1 V1

I1

r2

+jωM

L1

L2

Circuito Acoplado

I2

V2

Corrientes de sentidos iguales y signo + del término en M

r1 V1

jωL1

I1

r2

jωL2 -jωM

I2

V2

jωM jωM Equivalente Conductivo

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DAEZEGO Ejemplo Dado el circuito acoplado de la figura se pide obtener la matriz de impedancias del mismo. MB

jωL1

MA

r1

jωL3

MC

jωL2

I1 V1

I2

r3

r2 -jωC3

Como vimos anteriormente para encontrar el circuito equivalente conductivo debemos conocer la matriz de impedancias del circuito acoplado. Entonces procederemos a plantear la ecuación de cada malla considerando el sentido de las corrientes que se indican en la figura. Prestar mucha atención que existen tres acoplamientos MA, MB y MC. Cuando escribamos los términos en M debemos recordar que el signo lo determinamos con la regla de los puntos. Además indicaremos estos términos con otro color en las ecuaciones. Para la primer malla planteamos la ecuación sin incluir los términos en M, es decir: [

(

)]

(

)

Ahora pasamos a explicar cómo obtener cada uno de los términos en M que nos faltan en la ecuación. Cuando la I1 atraviesa a L1, este inductor induce un efecto sobre L2 debido al acople MA. Lo mismo sucede cuando la I1 atraviesa a L2, es decir que sobre L1 se induce un efecto debido al acople MA. Por lo tanto tendremos dos veces el mismo término en M. Entonces para determinar el signo debemos analizar la regla de los puntos usando como corriente la I1, que observando la figura notamos que I1 sale de L1 e ingresa a L2 por lo que el signo es negativo, así la ecuación queda: [

(

)]

(

)

Ahora, cuando I2 atraviesa a L2 sobre L1 se induce un efecto debido al acople MA, por lo tanto debemos considerarlo. En este caso debemos analizar la regla de los puntos con ambas corrientes. Vemos que I1 sale de L1 y que I2 sale de L2 por lo que el signo es positivo, así la ecuación queda: [

(

)]

(

)

Cuando la I2 cruza por L 3, éste induce un efecto sobre L1 debido al acople MB. En esta situación I1 sale de L1 e I2 entra en L3 por lo que el signo resulta negativo. Por lo tanto la ecuación queda: 9

DAEZEGO [ ( ) ( )] Por último, cuando la I2 cruza por L3 se induce un efecto sobre L2 debido al acople MC. Entonces I1 entra en L2 e I2 entra en L3 por lo que el signo resulta positivo. La ecuación completa resulta: [

(

(

)]

)

Con el mismo razonamiento obtenemos la ecuación de la segunda malla, la cual resulta: [

(

(

)]

) MB

jωL1

MA

r1

jωL3 MC

jωL2

I1 V1

I2

r3

r2 -jωC3

Ordenando las ecuaciones obtenemos: [

[

(

(

[

)]

[

)]

(

)]

(

)]

Notar que hemos obtenidos impedancias compartidas iguales por lo que podemos decir que nuestro análisis hecho al considerar los acoples es correcto. Esto no garantiza que no hayamos cometido algún error en las impedancias propias, pero es una manera de comprobar que se han incluido todos los términos en M. Para finalizar nos queda escribir la expresión de la matriz de impedancias, es decir: [

[

(

(

) )]

[

(

(

)

]

)]

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DAEZEGO IMPEDANCIA APARENTE DE ENTRADA Es la impedancia que se mide o calcula entre los terminales de entrada, cuando las todas fuentes se encuentran pasivadas. También puede determinar el valor de impedancia en cualquier otro par de terminales pero en ese caso no sería la impedancia de entrada. Por definición la impedancia aparente de entrada se define como:

Vemos que la Z1A se define como el cociente entre la tensión de entrada y la corriente de entrada, por eso usamos los subíndices 1 para indicar valores de entrada. De esta forma, para un circuito acoplado dado debemos establecer las ecuaciones necesarias para encontrar dicha relación y obtener el valor Z1A. Consideremos el circuito acoplado de la figura donde se encuentran todos los datos necesarios. Lo primero que debemos hacer es escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Es decir: [

(

)

(

)

] [

] [

]

Podemos escribir la expresión anterior de manera más compacta como: ] [

[

] [

]

Los bornes de entrada los hemos llamado A y B, es decir que nuestra impedancia aparente de entrada es la impedancia vista desde dichos bornes. Como sabemos las impedancias y la tensión V1 son dato, nos queda por determinar la expresión de I1 para luego obtener el valor de Z1A. Entonces buscamos el valor de I1 : |

|

|

|

[ ] []

Entonces la impedancia aparente de entrada tiene por expresión: [ ] []

[]

[ ]

11

DAEZEGO Para el caso de un circuito de tres mallas sería:

[

] [

] [

[]

]

[ ]

Es importante notar que la Z1A no depende de la fuente ni de la corriente.

[] |

|

DETERMINACIÓN DEL VALOR DE M EN EL LABORATORIO Para determinar el coeficiente de inducción mutua M que existe entre dos bobinados es necesario conocer o medir previamente los valores de cada autoinductancia y su respectiva resistencia. Procedemos a conectar los bobinados en serie como se observa en la figura. Además usaremos un amperímetro y un voltímetro.

V -jωM

r1

jωL2

jωL1

A +jωM

r2 Caso 1 Caso 2

Como no conocemos la ubicación de los puntos homólogos supondremos dos casos, uno donde el signo del término en M sea positivo y otro donde sea negativo, es decir que colocaremos los puntos homólogos convenientemente para lograr lo dicho. Esto es lo que indicamos en la figura con caso 1 y caso 2. Para cada uno de los casos, como conocemos la corriente y la tensión, podemos conocer el valor de la impedancia y además sabemos que la expresión de la misma en cada caso es: Caso 1 (

)

(

)

Caso 2

Si realizamos la resta entre Z2 y Z1 obtendremos una expresión que sólo depende de M, es decir: (

)

(

)

12

DAEZEGO DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS HOMÓLOGOS EN EL LABORATORIO Si queremos conocer la polaridad relativa entre dos bobinas podemos emplear un circuito como el de la figura donde utilizamos una fuente de tensión continua, un interruptor y un voltímetro que en lo posible tenga cero en el centro de su escala.

r1 I1

r2 L1

L2

V

Al cerrar el interruptor circulará una corriente variable que ingresará por el borne homólogo del primer bobinado por lo que la corriente natural en el segundo bobinado saldrá por el correspondiente borne homólogo. El sentido en que deflecte el voltímetro nos indicará cuál es el borne homólogo, es decir que si deflecta en sentido positivo (hacia la derecha) quiere decir que el borne homólogo es aquel que se encuentra conectado al borne positivo del voltímetro, de lo contrario es el otro borne.

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