Unit 11 - Einfaktorielle Anova mit Messwiederholung PDF

Preview

Summary

sgdhdj...

Description

Statistik II: ANOVA mit Messwiederholung Einführung

- Eine Varianzanalyse kann angewendet werden, wenn folgendes Grunddesign vorliegt: -

• diskrete UV(s) • kontinuierliche AV(s) Davon ausgehend gibt es eine Menge Variationen des Designs. • z.B. Messwiederholung (Within-Subject-Design) Die Logik der Berechnung ist davon unabhängig. • Zerlegung der Variation • Zweifache Schätzung der Populationsvarianz

Messwiederholung

- Die Varianzanalyse mit Messwiederholung (Varianzanalyse mit abhängigen Stichproben) wird angewendet, wenn die Daten bei einem bestimmten Faktor abhängig sind.

- Ursachen:

-

• Wiederholte Messung einer Variable an einer Person zu verschiedenen Zeitpunkten • Messung einer Variable an einer Person unter verschiedenen experimentellen Bedingungen • Parallelisierung / Matching, „natürliche Variation“ zwischen Personen Es können über einen, mehrere oder alle Faktoren Messwiederholungen erfolgen. • gibt es sowohl abhängige als auch unabhängige Faktoren, so liegt ein gemischtes Design vor Die Varianzanalyse mit Messwiederholung ist wie die Varianzanalyse ohne Messwiederholung eine Erweiterung des t-Tests. • Hier: t-Test für abhängige Stichproben. Voraussetzungen: • Normalverteilung der Messwerte • Intervallskalenniveau • Sphärizität: • Homogenität der Varianzen der Differenzen der Messwerte in allen Paaren von Bedingungen.

Einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung

xji = μ + αj + τi + εji μ - Populationseffekt αj - Effekt der UV (Fehleranzahl) τi - Effekt der Versuchsperson εji - Fehler der VPj in Bedingung i

- Das Modell unterscheidet sich von der einfachen Varianzanalyse durch den personenspezifischen Faktor τi. • Damit entspricht die einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung eher einer zweifaktoriellen Varianzanalyse.

Unterschied zur zweifaktoriellen Varianzanalyse?

- In der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung gibt es nur einen Wert pro Bedingungskombination Person*Fehleranzahl

- Zentrale Frage: Wie bestimmt man dann den Fehler? • Welche Abweichungen sind rein unsystematisch bzw. lassen sich nicht durch das Design erklären?

- Alle einfachen Abweichungen sind durch Effekte konfundiert bzw. dienen der Bestimmung der Effekte.

- Es bleibt: Die Interaktion. • Wird ein Messwert um die systematischen Einflüsse beider Faktoren bereinigt, so entspricht die Abweichung zum Gesamtmittelwert dem unsystematischen Fehler. • Die Interaktion kann genauso berechnet werden wie in der zweifaktoriellen Varianzanalyse. • • Diese Abweichung ist die einzige, die nicht Design-relevante Informationen trägt. • Die Interaktion schätzt die Fehlervarianz. Quadratsummenzerlegung

- Es ist in diesem Fall nicht möglich, gleichzeitig…

-

• • • … in die Zerlegung mit aufzunehmen, da sie sich Informationen teilen. In der Quadratsummenzerlegung wird daher auf die Abweichung der Messwerte zu den Mittelwerten der Bedingungen verzichtet. Gesamtabweichung wird zerlegt in Abweichungen innerhalb und zwischen den Personen. • innerhalb wird dann weiter in Fehler und Effekt der UV zerlegt.

- Quadrierung → Quadratsummenzerlegung -

Abweichung jedes Messwerts vom Gesamtmittelwert Abweichungen der Personenmittelwerte vom Gesamtmittelwert

-

Abweichungen der Bedingungsmittelwerte vom Gesamtmittelwert

-

= QSgesamt - QSUV - QSPers

Wieso werden manche Quadratsummen noch mit Faktoren multipliziert?

- Ziel der Varianzanalyse ist es durch die Zerlegung jeden einzelnen Wert darzustellen, also alle N.

- D.h. wenn wir die „Abweichungsformel“ quadrieren, muss auch für jeden Wert ein quadratischer Bestandteil mit einbezogen werden.

- Allerdings werden z.B. QSPers und QSUV nur über einen Index aufsummiert, also i oder j - Daher muss zusätzlich mit n, respektive k multipliziert werden, damit dieses Quadrat für jeden einzelnen Wert in die Formel einfließt.

- Alternativ könnte man die Ausdrücke wie bei der Interaktion oder der QSgesamt auch mit zwei Summenzeichen für beide Indizes versehen. (Macht aber wenig Sinn, da die entsprechenden Indizes wegen der Mittelwerte durch Punkte ersetzt wurden.) Freiheitsgrade

- Die Freiheitsgrade lassen sich erneut wie die Quadratsummen zerlegen.

- N steht für die Anzahl aller Messwerte in der gesamten Untersuchung, k steht für die Anzahl der Bedingungen und n für die Anzahl der Messwerte in jeder Bedingung Hypothese

- Nullhypothese → Restriktives Modell unter H0: xji = μ + τi + εji

- Daraus folgt, dass unter H0 die Abweichung der UV-Mittelwerte und die Interaktionsabweichung beide den Fehler schätzen. Prüfgröße

- Sind die Voraussetzungen erfüllt, dann folgt der F-Verteilung mit dfZähler = k-1 und dfNenner = (k-1)⋅(n-1).

ANOVA-Tabelle

Vergleich mit und ohne Messwiederholung

- Im Unterschied der Ergebnisse äußert sich der Vorteil eines Designs mit Messwiederholung. - Es wird durch Messwiederholung möglich systematische Anteile, die auf Eigenschaften der einzelnen Personen zurückzuführen sind, von der Fehlervariation abzutrennen.

- Damit ist der eigentliche Fehler viel kleiner als in einem unabhängigen Design angenommen wird. • Dieser Vorteil wird aber mit strengeren Voraussetzungen bezahlt.

- Die Varianzanalyse mit Messwiederholung setzt nicht Varianzhomogenität, sondern Sphärizität

-

(eigentlich sogar compound symmetry - homogene Korrelation) voraus. • Hierbei wird zusätzlich angenommen, dass die Varianzen der Differenzen der Messwerte in allen Paaren von Bedingungen gleich groß sind. • Diese Voraussetzung wird häufig verletzt. Es gibt aber mögliche Korrekturen bei Verletzung der Sphärizität. • Greenhouse-Geisser- oder Huyn-Feldt-Korrektur • Sie korrigieren beide die Anzahl der Freiheitsgrade für den Effekt der UV. • Damit wird das Ergebnis konservativer. • Beispiel: Greenhouse-Geisser (p = 0,000604) und Huyn-Feldt (p = 0,000192). Kein großer Unterschied in diesem Fall (ohne Korrektur p = ,000019)!

Effektgrößen und Power

- Populations‐Effektgröße (partielles Eta‐Quadrat): • η2P gibt an, welcher Anteil derjenigen Varianz, die nicht auf systematische Unterschiede zwischen den Personen zurückgeht, durch die unabhängige Variable aufgeklärt werden kann

- Alternativ kann η2P anhand des F-Werts und der relevanten Freiheitsgrade bestimmt werden:

- will man Effektgrößen aus ANOVAs mit abhängigen und unabhängigen Stichproben direkt vergleichen kann man eine korrigierte Variante der Effektgröße berechnen: Ipsative Daten

- Eine einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung lässt sich als einfache Varianzanalyse darstellen, wenn man die Daten „ipsativiert“.

- ipsativ: lat., ipsa - selbst - Dabei wird der Mittelwert einer Versuchsperson von allen Werten dieser Versuchsperson subtrahiert.

- Eine einfache Varianzanalyse würde so zum selben Ergebnis führen. - Betrachtet man die Quadratsummenzerlegung unter diesem Gesichtspunkt, lässt sich zeigen, dass die Zerlegung nach Abzug der Mittelwerte genau der einfachen Varianzanalyse entspricht.

- Sind die Daten ipsativiert, entspricht die Berechnung der einfachen Varianzanalyse der Varianzanalyse mit Messwiederholung • QSinnerhalb entspricht der QSUVxPers • QSzwischen entspricht der QSUV. • QSPers fällt weg, da alle Personenmittelwerte nun Null sind.

Gemischtes Design

- Ein gemischtes Design liegt vor, wenn über mind. einen Faktor wiederholte Messungen und über mind. einen keine wiederholten Messungen vorliegen.

- Die Quadratsummenzerlegung erfolgt bei gemischten Designs erst mal analog der einfachen Varianzanalyse mit Messwiederholung in Variation zwischen und innerhalb von Personen.

- QSzwPers

-

• Die Abweichung einer Person zu den Stufenmittelwerten des Messwiederholungsfaktor (Faktor B) enthält • die Variation durch die Unterschiede einzelner VPn (unterschiedliche Bewertungsbiases) in den Stufen des Faktors A und • die Variation durch die Stufen des unabhängigen Faktors A (Einfluss der Fehlerarten). QSinnPers • Die Abweichung der VP zum eigenen Mittelwerten enthält • die Variation durch die Interaktion Person x abhängiger Faktor (Stichprobenfehler) • die Variation durch die Interaktion unabhängiger x abhängiger Faktor AB (Zusammenhang Fehleranzahl und Fehlerart) • die Variation durch die Stufen des abhängigen Faktors B (Einfluss der Fehleranzahl)

- Die Zerlegung lässt sich als Kombination zweier Varianzanalysen auffassen: • QSzwPers: Einfache Varianzanalyse – Abweichung zwischen und innerhalb der Gruppen. • QSinnPers: Varianzanalyse mit Messwiederholung – einzig ist die Interaktionsquersumme der Faktoren QSAB hinzu gekommen. • Das Prinzip zweier Varianzanalysen erweitert sich auch auf die Testung.

Prüfgrößen

-

QSA wird, wie in der einfachen Varianzanalyse, an QSinnA getestet. QSB und QSAB werden wie in der Varianzanalyse mit Messwiederholung an QSBxPers getestet. In SPSS gibt es daher auch zwei Tabellen (s. das zugehörige OnlineTutorium). Die Freiheitsgrade werden analog zerlegt und berechnet....