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Universidad de Cartagena Programa ingeniería Docente: Luis Lopez Macias Ejercicios de Probabilidad y Estadística CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA ESTADISTICA: disciplina matemática considerada como un conjunto de técnicas para el análisis de datos. DATOS: insumo de la estadística. TECNICAS DE ANALIS...

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Universidad de Cartagena Programa ingeniería Docente: Luis Lopez Macias Ejercicios de Probabilidad y Estadística CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA ESTADISTICA: disciplina matemática considerada como un conjunto de técnicas para el análisis de datos. DATOS: insumo de la estadística. TECNICAS DE ANALISIS: mecanismos mediante los cuales se convierten los datos en información útil. MEDIDADAS: números simples que representan características de conjuntos de datos. MUESTREO: Cantidad relativamente reducida de elementos representativos de una población. ESTADÍSTICA INFERENCIAL: parte de la estadística que por medio del muestreo infiere conclusiones acerca de la totalidad de una población. PRUEBA DE HIPOTESIS: Procedimientos atreves de los cuales se trata de verificar si ciertas suposiciones acerca de la población son ciertas o no. ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN: en economía, estudia la relación que pudiera existir entre la inversión y otras variables.

ANÁLISIS DE SERIE DE TIEMPO: comportamiento que tienen ciertos indicadores en el transcurso de un periodo. ESTDISTICA DESCRIPTIVA: se ocupa del análisis de los datos sin usar muestras para hacer inferencias. ESTADISTICA INFERENCIAL: Se ocupa del análisis de muestras para obtener conclusiones (inferencias) a cerca de la población de donde se obtienen los datos. POBLACIÓN: conjunto de todos los elementos o unidades de interés para un estudio determinado. MUESTRA: subconjunto de los elementos de una población. MUETRAS ALEATORIAS: Muestras representativa cuyos elementos son elegidos al azar.

ESTADISTICO MUESTRAL O ESTADISTICO: medida de una muestra. PARAMETRO: Medida de una población. MÉTODO ESTADÍSTICO: aplicación de las técnicas estadística para el análisis de datos, se resume en 5 pasos     

Recopilación de datos Organización de datos Presentación de datos Análisis de datos Conclusiones

VARIABLE: característica que se mide al hacer determinadas observaciones. VARIABLES CONTINUA: una variable que puede tomar cualquiera de los dos valores entre dos números dados; de lo contrario es una VARIABLE DISCRETA. SERIES: conjuntos de datos que se presentan en tablas. SERIE DE DATOS AGRUPADOS: Tablas de datos en las que se resumen estos de acuerdo con la frecuencia con la que se repiten o según determinados intervalos de valores. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS: series que utilizan frecuencia. HISTOGRAMAS: graficas de barras en la que se usa un plano cartesiano.

Taller de Conteo, Permutación y Combinación FORMULAS Y DEFINICIONES 𝒏! = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐) ⋯ 𝟏 𝒌𝒏 𝑷𝒙𝒏 = 𝑪𝒙𝒏 =

𝒏! (𝒏 − 𝒙)!

𝒏! 𝒙! (𝒏 − 𝒙)!

PERMUTACIÓN: son todos los subconjujuntos de x elementos que se pueden formar de entre un conjunto de n objetos y en donde una permutación de con los mismos elementos que otra, pero en diferente orden, constituye una permutación distinta. COMBINACIÓN: son todos los subconjujuntos de x elementos que se pueden formar de entre un conjunto de n objetos y en donde una combinación con los mismos elementos no es otra, sino que es la misma, aunque los elementos se encuentren en diferente orden.

1. Determinar las permutaciones de 2 elementos del conjunto 𝐴 = {𝐴𝑧𝑢𝑙, 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑅𝑜𝑗𝑜} R. 6 2. Si se lanza una moneda al aire 10 veces (10 ensayos), el número de resultados posibles es R.1024 3. Al lanzar un dado, pueden ocurrir 6 eventos diferentes, por lo que, si se lanza un dado 5 veces, el número total de resultados posibles es R. 7776 4. ¿En cuántas formas se pueden acomodar 3 personas en los lugares delanteros de un autobús? R.6 5. Una baraja inglesa tiene 52 naipes. Por ello, el número de resultados posibles, si se extraen 5 cartas sucesivamente, es R. 311875200 6. Si se extrae 3 veces una carta al azar de una baraja inglesa y se reemplaza cada vez, ¿cuál es el número total de resultados posibles? R. 140608 7. De cuantas formas se puede conformar un comité de 4 personas, ¿de entre un grupo de 40 alumnos? R. 2193360 8. Con las letras A, B, C, ¿Cuantas permutaciones de 3 elementos se pueden hacer?, ¿cuáles son? R. 6

9. La contraseña de una computadora se forma por 4 letras, que pueden ser cualquiera de las 27 que conforman el alfabeto a. ¿Cuantas contraseñas diferentes pueden formarse si el orden hace diferencia? R. 421200 b. ¿Cuantas pueden formarse si el orden no hace diferencia? R. 17550 10. En una biblioteca se quieren identificar las 45 diferentes clasificaciones que tienen con códigos de color; para ello se piensa combinar 2 colores tomando en cuenta que no importa el orden en que se encuentren. ¿Cuantos colores deben tomarse para crear los códigos 8 o 10? R. 28;45 11. En un concurso de dibujo se inscribieron 10 trabajos de los cuales se elegirán los 3 mejores. El primero obtiene una medalla de oro, el segundo de plata y el tercero de bronce, ¿qué tipo de análisis combinatorio debe usarse?, cuantas formas tienen los jueces de premiar con 3 los lugares los 10 dibujos? R. 720

Interpretación de la probabilidad Si un evento puede suceder de N formas igualmente probables, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas, y si el evento de interés E, puede ocurrir en n de estas formas, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento E se puede expresar como : 𝑃(𝐸) =

𝑛 𝑁

Así, esta definición implica 3 característica de las formas en las que puede suceder el evento: 1. Son igualmente probables. Como lo plantea el principio de la razón insuficiente. 2. Son mutuamente excluyentes. Que la ocurrencia de cual quiera de los eventos posibles implica que no sucede ningún otro, o que no pueden ocurrir dos resultados simultáneamente. 3. Son colectivamente exhaustivos. Que el conjunto de todos ellos representa la totalidad de las formas en que puede ocurrir el evento.

Taller de Probabilidad 1. Determine la probabilidad de obtener un 5 en el lanzamiento de un dado. R. 1

𝑃(5) = 6 2. Calcule la probabilidad de que salga un numero par en el lanzamiento de un 3 dado. R. 𝑃(𝑝𝑎𝑟) = 6

3. Cuál es la probabilidad de que gane una persona que juega a la adivinanza en la que el ganador es quien acierta a 6 de los primeros 56 enteros naturales, si 10 juega con 10 combinaciones de 6 números. R. 𝑃(𝐸10 ) = 32468436 4. En un grupo de 30 mujeres hay 10 que son solteras, cual es la probabilidad que 10 al elegir una, ¿sea soltera? R. 𝑃(𝑆) = 30 5. Se selecciona una carta de una baraja inglesa a. Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea de corazones? R. 𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠) = 0.25 b. Cuál es la probabilidad de que sea un rey? R. 𝑃(𝑟𝑒𝑦) = 0.08 c. Cuál es la probabilidad de que sea un rey de corazones? R. 𝑃(𝑟𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠) = 0.02 5. En una bolsa hay 5 canicas rojas,10 azules ,15 negra,8naranjas y 2 amarillas a. Cuál es la probabilidad de que la canica elegida sea amarilla? R. 𝑃(𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎) = 0.05 b. Cuál es la probabilidad de que no salga una canica negra? R. 𝑃(𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎) = 0.62 6. En la tabla se muestran los resultados de una encuesta realizada a 1500 personas acerca de sus preferencias en cuanto a los principales noticieros nocturnos en los canales de tv abierta. Se clasifican por sexo y preferencia. Si se extrae una persona al azar: a. Cuál es la probabilidad de sea hombre? R. 𝑃(𝐻) = 0.58 b. Cuál es la probabilidad de que prefiera el noticiero A? R. 𝑃(𝐻) = 0.58 c. Cuál es la probabilidad de que sea mujer y prefiera el noticiero A? R. 𝑃(𝑀 𝑌𝐴) = 0.16 d. Cuál es la probabilidad de que sea hombre y prefiera el noticiero B? R. 𝑃(𝐻𝑌 𝐵) = 0.09 7. En la tabla se resumen los resultados de una encuesta realizada entre 1000 ciudadanos en edad de votar y clasificadas por sexo INTENSIONES DE VOTO DE 500 CIUDADANOS CLASIFICADOS POR SEXO Hombre Mujer Total

Partido A 150 200 350

Partido B 200 100 300

Partido C 120 130 250

Partido D 20 30 50

OTRO 10 40 50

Total 500 1000

Si se extrae de este grupo una persona al azar: a. Cuál es la probabilidad de que sea mujer? R. 𝑃(𝑀) = 0.50 b. Cuál es la probabilidad de que el partido de su preferencia sea el perdido A? R. 𝑃(𝐴) = 0.35

C. Cuál es la probabilidad de que sea mujer y prefiera el partido B? R. 𝑃(𝑀 𝑦 𝐵) = 0.10

8. Se contó el número de goles anotados por el equipo de futbol representante durante los 60 partidos en todo el año. Goles anotados

F 0

13

1

22

2

10

3

8

4

5

5

2

TOTAL

60

A. Cuál es la probabilidad de que no se anote gol R. 22% B. Cuál es la probabilidad de que si se anoten goles R. 78% C. Cuál es la probabilidad de que se anoten 3 o más goles R. 24%

Definición clásica Suponga que un evento puede ocurrir en h de n maneras igualmente posible. Entonces la probabilidad de que ocurra el evento ( la que se le llama éxito se denota como: ℎ 𝑛 La 𝑃 de que no ocurra el evento ( a la que se le llama fracaso ) se denota: 𝑝 = 𝑃(𝐸) =

𝑞 = 𝑃(𝑁𝑂 𝐸) =

𝑛−ℎ 𝑛 ℎ ℎ = − = 1 − = 1 − 𝑝 = 1 − 𝑃(𝐸) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

Por lo tanto, 𝑝 + 𝑞 = 1 o bien 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝑁𝑂 𝐸) = 1 El evento “𝑁𝑂 𝐸” suele denotarse 𝐸̅ . AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

AXIOMA: es una proposición tan evidentemente cierta que no necesita demostración 1. 𝑃(∅) = 0 2. Si los eventos A, B y C son mutuamente excluyente entonces, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) 3. 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) , siendo 𝐴̅ el complemento de 𝐴 4. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 5. 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅ ) 6. Probabilidad para 2 eventos: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 7. Probabilidad para 3 eventos: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ) ) ) 8. 𝑃(𝐸1 + 𝑃(𝐸2 + ⋯ + 𝑃(𝐸𝑛 = 1 EJEMPLOS 1. Dos dados no falsos se lanzan. Halle la probabilidad de que: a. La suma de los dos números sea 7 b. La suma sea por lo menos 11 c. Que la suma sea a lo más un 2 d. Obtener un doble e. No obtener doble. 2. Se preguntó a 50 personas si estaban de acuerdo con el aumento de los impuestos, de los cuales 10 respondieron que si: a. Cuál es la probabilidad que al elegir una persona al azar respondiera “ si” b. esto cumple con 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1? 3. Se entrega un reconocimiento al mejor ensayo de un grupo de alumnos conformado por 4 hombres y 6 mujeres a. Cuál es la probabilidad que tienen en total de ganar el reconocimiento? b. Cuál es la probabilidad de que gane un hombre? c. Cuál es la probabilidad de que gane una mujer? d. Todas estas probabilidades cumplen 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1?

e. Los resultados c y d cumplen 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐸𝑛 ) = 1? 4. La probabilidad de que ocurra un terremoto en Colombia durante los próximos 15 años es de 0.8 cuál es la probabilidad de que no ocurra y por qué?

Taller 1. En un grupo de personas,25% fuma cigarros M, 10% fuma cigarros V y 5% fuma ambas marcas. Si se elige una persona al azar, la probabilidad de que fume cigarros M o V es: R. 0.3 2. Suponga otro conjunto de personas en el que 10% fuma cigarros M y 5% fuma cigarros V, pero donde ninguna persona fuma de ambas marcas. En este caso, si se elige una persona, la probabilidad de que fume cigarros M o V es: R. 0.15 3. En un montón de ropa hay: 4 blusas rojas,3 azules, 5 verdes,1 gris y 2 negras, ¿cuál es la probabilidad de que al tomar una blusa sea de cualquier color menos azul? R. 0.80 4. Una maquina automática está llena de bolsas con dulces. La mayor parte de ellas contienen el peso correcto(150g) pero algunas veces un paquete puede tener mayor o menor peso. Una revisión de 4000 bolsas que se llenaron durante el último mes revelo lo que se muestra en la siguiente tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un paquete tenga más peso o que le falte? R. 0.1 5. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta elegida de una baraja sea un rey o un corazón? R. 0.31 6. Se preguntó a 100 personas para que utilizan sus computadoras y se encontró que: 13 la usan para hacer trabajos escolares,53 para navegar por internet,34 para jugar,11 para hacer trabajos y consultar internet, 20 para navegar por internet y jugar,1 para las 3 cosas, ¿cuál es la probabilidad de que, al elegir a una persona, esta la utilice para hacer trabajos, navegar por internet o jugar? R. 0.7

PROBABILIDAD CONDICIONAL DEFINICION: Sean Ay B dos eventos de un espacio muestral Ω ≠ ∅. La probabilidad condicional del evento A dado el evento B, simbolizada por 𝑃(𝐴/𝐵) Se define como: 𝑃(𝐴/𝐵) =

𝑷(𝑨∩𝑩) 𝑷(𝑩)

, si 𝑃(𝐵) > 0

Independencia estadística: se define en función de la probabilidad condicional: se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no tiene

efectos sobre la probabilidad de ocurrencia del otro, lo cual puede plantearse en símbolos como: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B)

Regla de la multiplicación de probabilidades P(B/A) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ∴ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P(B/A) ∙ 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴)

para eventos independientes: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) Regla de Bayes: trata de problemas en los que se desea encontrar la probabilidad de un suceso B, dado otro A, P(B/A)cundo los datos de que se dispone son las probabilidades inversas, es decir la probabilidad del suceso A, dado el suceso b, P(A/B). 𝑃(𝐴𝑖 |𝐵) =

𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴𝑖 ) = 𝑛 ∑𝑖=1 𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐵)

Ejemplos Una tienda vende varios tipos de estantes en diferente materiales y tamaños. Actualmente tiene 100 en exhibición. Si las ventas son al azar cual es la probabilidad de que el siguiente en venderse sea de plástico, ¿dado que ya se sabe que es de tamaño grande?

tamaño chico mediano grande total

plástico 6 23 12 41

metal 7 29 9 45

madera 8 2 4 14

total 25 55 20 100

En una caja llena de canicas hay 10 rojas,20 azules y 70 negras; si se extraen 4 al azar y se devuelven después de la extracción, cual es la probabilidad d que se saque una roja, una negra, ¿una azul y otra azul? Si se recibe un envío de 1000 focos, de los cuales 50 están defectuosos y se eligen al azar 2 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas estén defectuosas? Un envio de computadores contiene 2 defectuosos 98 que no tienen defectos. Si se examinan 2 computadores al azar, cual es la probabilidad de que la primera funcione (B) y la segunda no (D) si

a. No se reemplaza la primera computadora examinada, y b. ¿Si se reemplaza?

Se analiza a los dos vendedores que tiene a su cargo un supervisor de una aseguradora: Carlos y Mariana; Carlos vende 75% de las pólizas y Mariana 25%de las pólizas. Carlos tiene quejas en 15% de las pólizas que vende, y Mariana en 20%. ¿Si un cliente presenta una queja, cual es la probabilidad de que Carlos vendiera la póliza? En la siguiente tabla se muestran los resultados de una encuesta realizada en la facultad de ingeniería a estudiantes de 3 y 4 sem acerca de sus promedios. Cuál es la probabilidad de que un estudiante de 3 tenga un promedio de 8.0 o más, con base en la información de la proporción de estudiantes con promedios de 8.0 o más? Tercer sem Promedio menor 27 8.0 Promedio de 8.0 o 11 mas total

Cuarto sem 42

total

20 100...