Vertiefung der Algebra:Analysis Einsendearbeit SS19 (42220) PDF

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Aufgaben Einsendearbeit SS2019...

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42220-03-195 Postanschrift:

EINGANGSSTEMPEL FERNUNIVERSITÄT

Bitte hier unbedingt Matrikelnummer und Adresse eintragen, sonst keine Bearbeitung möglich.

FernUniversität in Hagen 58084 Hagen

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__ Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Einsendearbeit zum Kurs

42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis

Kurseinheit

3

-

A. Vorbemerkungen

B. Hinweise zur Bearbeitung

1. Zur Erlangung der Teilnahmeberechtigung an der Abschlussklausur müssen Sie mindestens die Hälfte der vorgesehenen Einsendearbeiten fristgerecht und erfolgreich bearbeitet haben.

1. Es werden keine Aufgabenblätter gestellt. Benutzen Sie bitte eigenes weißes Papier in der Größe DIN A 4. Sollten Lösungsseiten in der Aufgabe vorgegeben sein, so lösen Sie bitte auf diesen vorgefertigten Seiten. 2. Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt oben links Ihren Namen mit Matrikel-Nr.! 3. Lassen Sie bitte das linke Drittel eines jeden Blattes für Korrekturbemerkungen frei! 4. Schreiben Sie bitte deutlich! Es empfiehlt sich ein ComputerAusdruck. 5. Schicken Sie mit Ihrer Lösung das Deckblatt zurück. Bitte verbinden Sie Deckblatt und Lösung mit einem Tacker. Ich versichere hiermit, dass ich die vorliegende Einsendearbeit selbständig bearbeitet habe.

2. Diese Einsendearbeit muss bis zu dem Ihnen bekanntgemachten Termin eingesandt werden. Es gilt das Datum des Poststempels. Verspätet eintreffende Einsendearbeiten werden unkorrigiert zurückgeschickt. 3. Nach dem Ausschlusstermin werden die fristgerecht eingegangenen Einsendearbeiten korrigiert und schnellstmöglich zurückgesandt. Musterlösungen können vier Tage nach Ende der Abgabefrist heruntergeladen werden. 4. Als Beleg über die erfolgreiche Absolvierung müssen Sie die Deckblätter der bestandenen Einsendearbeiten aufbewahren. Bitte archivieren Sie diese, bis Ihr Zeugnis ausgefertigt wurde.

Datum

Unterschrift Aufgabe #

erreichte Punktzahl Erstkorrektur

Nachkorrektur best./n.best.

Gesamtpunktzahl: _________________

Gesamtpunktzahl: ___________________

Datum: __________________________

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Unterschrift: ______________________

(Stempel)

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© 2019 FernUniversität in Hagen

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best.

n.best.

Alle Rechte vorbehalten

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Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik

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Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

Einsendearbeit zum Kurs 42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Kurseinheit 3 (Die Einsendearbeit bezieht sich inhaltlich auf die Kurseinheiten 1, 2 und 3)

zur Erlangung der Teilnahmeberechtigung an der Prüfung zum Modul

32741

Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik

A. Allgemeine Hinweise: 1. 2. 3. 4.

Die Einsendearbeit umfasst 3 Aufgaben. Insgesamt sind max. 100 Punkte erreichbar. Bei jeder Aufgabe ist die erreichbare Punktzahl vermerkt. Sie benötigen mindestens 50 Prozent der insgesamt erreichbaren Punktzahl, damit diese Einsendearbeit als erfolgreich bearbeitet gelten kann.

B. Hinweise zur Bearbeitung 1. 2. 3. 4. 5.

Benutzen Sie bitte eigenes weißes Papier in der Größe DIN A 4! Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt oben links Ihren Namen mit Matrikel-Nr.! Lassen Sie bitte das linke Drittel jeden Blattes für Korrekturbemerkungen frei! Schreiben Sie bitte deutlich! Schicken Sie Ihre Lösung zusammengeheftet mit dem Deckblatt zurück.

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Modul 32741: Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Aufgabe 1

1 SS 2019

30 Punkte

Ein Kraftfahrzeughersteller steht vor der Frage, wie viele LKW und PKW er produzieren soll. Für jedes produzierte Fahrzeug ist der Gewinn bekannt. Der Gewinn pro 1000 PKW (1 Einheit sei 1000) liegt bei 3 Mio. Geldeinheiten (=GE). Der Gewinn pro 1000 LKW (1 Einheit sei 1000) liegt bei 16 Mio. GE. Zudem sind folgende weitere Bedingungen bekannt: 1. Am Markt sind höchstens 2 Einheiten LKW absetzbar. Die genaue Anzahl der am Markt absetzbaren Einheiten PKW ist nicht bekannt. Es wird aber davon ausgegangen, dass alle produzierten Einheiten PKW auch abgesetzt werden können. 2. Es stehen zur Herstellung insgesamt 3000 Arbeitskräfte zur Verfügung. Hierbei bindet 1 Einheit PKW 200 Arbeitskräfte und 1 Einheit LKW bindet 1000 Arbeitskräfte. 3. Zur Beschaffung der Produktionsmittel stehen höchstens 100 Mio. GE zur Verfügung. Für 1 Einheit PKW müssen 5 Mio. GE investiert werden und für 1 Einheit LKW müssen 15 Mio. GE investiert werden. 4. Es muss der gleiche Maschinenpark benutzt werden. Dabei belegt 1 Einheit PKW den Maschinenpark zu 121 und 1 Einheit LKW belegt den Maschinenpark zu 123 . 5. Negative Produktionszahlen sind ausgeschlossen.

a) Formulieren Sie den beschriebenen Sachverhalt als mathematisches Optimierungsproblem. Der Gewinn des Unternehmens soll dabei maximiert werden. Erläutern Sie die von Ihnen verwendeten Variablen. b) Geben Sie an, wie viele und welche der Ungleichungsrestriktionen redundant sind. Begründen Sie Ihre Antwort. c)

i) Definieren Sie zunächst den mathematischen Begriff der Ecke für einen Lösungsraum. ii) Geben Sie eine Ecke des Zulässigkeitsbereichs für obiges Optimierungsproblem an.

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Modul 32741: Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis

2 SS 2019

d) Mittels des Simplex-Verfahrens können die Ecken des Lösungsraums auf intelligente Weise abgesucht werden. Suchen Sie die optimale Lösung des Problems mittels des Simplex-Algorithmus. Vervollständigen Sie dazu das Tableau auf Seite 23 der Lösungsbögen. Wie hoch ist der maximale Gewinn des Unternehmens und wie lautet das zugehörige Produktionsprogramm? Anmerkung: Im gegebenen Simplex-Tableau bezeichnen die Variablen x1 , x2 die Anzahl an zu produzierenden Einheiten PKW bzw. LKW und x0 ist der Zielfunktionswert, also der maximale Gewinn. s1 , s2 , s3 sind die Schlupfvariablen. e) Aufgrund von Strafzöllen fällt der Gewinn in GE pro verkaufter Einheit LKW und PKW um jeweils 10%. Wie ändert sich hierdurch das optimale Produktionsprogramm und der zugehörige maximale Gewinn?

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Modul 32741: Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Aufgabe 2

3 SS 2019

30 Punkte

Gegeben seien folgende Aussagen. Markieren Sie auf Seite 24 der Lösungsbögen zunächst, ob diese Aussagen entweder wahr oder falsch sind und begründen Sie anschließend die Auswahl Hinweis: Für jede eindeutige korrekte Markierung und für jede nachvollziehbare Begründung mit Rechenweg erhalten Sie jeweils die maximale Punktzahl! A) Gegeben sei die Funktion f : R2 → R mit 1,5 1,3 0,7 f (x1 , x2 ) = 3 · x0,5 1 · x2 + 7 · x 1 · x 2 .

Die Funktion ist überlinear-homogen (d. h. homogen vom Grade > 1) und für jede Verdopplung des Inputs vervierfacht sich der Output.

B) Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem: Max

x1 + x2

u.d.N. 1,5 · x1 + 3,2 · x2 ≥ 0 x1 , x2 ≥ 0 Das gegebene Optimierungsproblem ist unbeschränkt, das heißt die Zielfunktion ist in Bezug auf den zugehörigen Lösungsraum unbeschränkt. Argumentieren Sie mit Hilfe des Simplextableaus.



a 0

0

0

  1 8 0 9 C) Gegeben sei die Matrix D =  2 4 1 3  0 0 −1 1,5



   , wobei a ∈ R.  

Für a 6= 0 ist die Determinante der Matrix 6= 0 und die Matrix ist somit invertierbar.

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Modul 32741: Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Aufgabe 3

4 SS 2019

40 Punkte

Ein Betrieb stellt die Güter G1 und G2 her, welche zu variablen Preisen p1 , p2 ∈ [0,10] auf dem Markt angeboten werden können. Der Betrieb stellt dabei die beiden Güter nur in den Mengen her, welche auch am Markt nachgefragt werden. Der Zusammenhang zwischen den nachgefragten Mengen N1 , N2 und den Preisen p1 , p2 ist durch folgende Nachfragefunktionen N1 (p) = 50 − 2 · p1 − p2 , N2 (p) = 60 − p1 − 3 · p2 , mit p = (p1 , p2 )⊤ beschrieben. Dabei bezeichnet Ni die Nachfrage nach dem Gut Gi für i = 1, 2. Für den Umsatz des Betriebs ergibt sich die Funktion f : [0, 10] × [0, 10] → R mit der Gleichung f (p1 , p2 ) = p1 · N1 (p) + p2 · N2 (p). a) Berechnen Sie die Elastizitäten der Nachfragefunktionen N1 , N2 bezüglich der Preise p1 , p2 und stellen Sie so die Elastizitätsmatrix auf. Interpretieren Sie die Elastizitäten ökonomisch, indem Sie exemplarisch eine direkte Preiselastizität und eine Kreuzelastizität wählen, und anhand dieser die Wirkungsbedeutung auf die entsprechende Nachfrage erläutern. Hinweis: Beachten Sie bei den einzelnen berechneten Elastizitäten, dass p1 , p2 ∈ [0, 10] . Was kann für diese Werte von p für Zähler und Nenner der einzelnen berechneten Elastiziäten geschlossen werden. Anmerkung: Die Aufgabenteile b), c) und d) können unabhängig von a) gelöst werden. b) Ermitteln Sie die konkrete Umsatzfunktion des Betriebs, indem Sie die Funktion f mittels den obigen gegebenen N1 (p), N2 (p) formulieren. Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Umsatzfunktion f . c) Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Umsatzfunktion f . d) Untersuchen Sie die unter c) gefundenen Preiskombinationen auf lokale Extrema. Welches ist die Preiskombination mit dem maximalen Umsatz?

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