Vorbereitungstestloes 17 PDF

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Vorbereitungstest 17 Lösungen...

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Institut für Mathematik und angewandte Informatik Vorkurs Mathematik Daniel Nolting

Vorbereitungstest zum mathematischen Vorkurs – Lösungen Der Vorbereitungstest umfasst alle Inhalte die Sie aus der Schule mitbringen sollten. Im Vorkurs werden zusätzlich die Bereiche Mengenlehre, Relationen und Funktionen, mathematischer Formalismus und mathematisches Arbeiten ergänzt. Nähere Informationen finden Sie auf der Internetseite des Vorkurses unter http://www.uni-hildesheim.de/fb4/institute/imai/aktuelles/mathematik-vorkurs/

Aufgabe 1: Berechnen Sie schriftlich und kürzen Sie so weit wie möglich. (a) 5,7 · 12,9 = (b)

3 2

(c)

2 7 5 9

−

2 4

(f) 1105 ÷ 13 =

=

(g)

3 5

6 ÷ 13 =

(h) 3 · (5 + x) = p (i) 7 (22 )2 · 2 =   (j) 32 =

=

(d) ((−32 )5 )−3 ÷ 81 = √ (e) 8a2 =

(k)

3 4

1 = + 12

(l)

4 7

21 · 12 =

(m) 418 − (69 − 83) + (−116) = (n) (xa + ay)2 = (o) (a + 7)3 · 7 + 9 =

Lösung: (a) 5,7 · 12,9 = 73,53 (b)

3 2

(c)

2 7 5 9

−

2 4

=

(f) 1105 ÷ 13 = 85

=1

(g)

18 35

3 5

6 = ÷ 13

13 10

(h) 3 · (5 + x) = 15 + 3x p (i) 7 (22 )2 · 2 = 25/7 = 321/7   (j) 32 = 3

1 (d) ((−32 )5 )−3 ÷ 81 = − 334 √ √ (e) 8a2 = 2 2|a|

(k)

3 4

1 + 12 =

(l)

4 7

21 · 12 =1

5 6

(m) 418 − (69 − 83) + (−116) = 316 (n) (xa + ay)2 = a2 (x + y)2 (o) (a + 7)3 · 7 + 9 = 7a3 + 147a2 + 1029a + 2410

Aufgabe 2: Wandeln Sie die folgenden Brüche in ihre Dezimaldarstellung und umgekehrt um. (a)

1 2

(b)

=

11 25

=

(c)

2π 3

=

(d)

10 12

(e) 0,16 =

=

(f) 0,625 =

(g) 0, 6 =

Lösung: (a)

1 2

(b)

= 0,5

(f) 0,625 =

5 8

11 25

= 0,44

(g) 0, 6 =

(c)

2π 3

= 2,09439 . . .

(d)

10 12

= 0,83

(e) 0,16 =

4 25

2 3

Aufgabe 3: Wandeln Sie den Bruch so um, dass ein rationaler Nenner entsteht. (a)

3 √ 4 3

(b)

√ 5x√ 5x− 3x

Lösung: (a)

3 √ 4 3

=

√ 3 4

(b)

√ 5x√ 5x− 3x

=

√ √ √ 5( 5+ 3) x 2

Aufgabe 4: Kreuzen Sie an, zu welchen Zahlbereichen N, Z, Q, R die folgenden Zahlen gehören?

1

Zahl

N

Z

Q

R

N

Z

Q

R

×

×

×

−3

0,1 2π 583 5 3 12 4 0

e

Lösung: Zahl −3

0,1

×

2π 583 5 3 12 4 0

e

×

×

×

× ×

× ×

× ×

×

×

×

×

×

× ×

Aufgabe 5: Markieren Sie die folgenden Zahlen auf dem Zahlenstrahl. √ 3 3 ; 5 7 2 9; −1,52 . 2 ; −2,3; 5 ; − 4 ; 3 ; − 10

−3

−2

−1

0

1

2

3

Lösung: −1,52

−3

−2,3

−2

−5/4

−1

2/5

−3/10

0

3/2

1

7/3

2

√ 9

3

Aufgabe 6: Um ein Haus zu bauen benötigt eine Firma mit 6 Bauarbeitern 30 Wochen. Wie lange benötigt die Firma mit 15 Bauarbeitern? Lösung: Das Problem kann mittels einer antiproportionalen Zuordnung modelliert werden, sodass 15 Bauarbeiter 12 Wochen benötigen würden.

Aufgabe 7: Ordnen Sie den Funktionen jeweils den richtigen Graphen zu. 1 (x 10

(a) f : R → R, f (x) = 2 sin(3x) √ (b) f : [0, ∞) → R, f (x) = 3x

(e) f : R → R, f (x) =

(c) f : R → R, f (x) = x4 − 3x2 + x + 1

(g) f : R → R, f (x) = − 21 x2 − 1

(d) f : R → R, f (x) = 2x − 4

(h) f : R → R, f (x) = 3x

− 2)(x + 4)(2 − x)

(f) f : R \ {0} → R, f (x) = 3 · x−2

2

y (A)

(B)

y f

2

3

(C)

y 2

2

1 -4 -3 -2 -1

1

2

x

3

1

f 1 -2

-1 -2

1

2

-1

1

(E)

(F)

y

y 4

1 4 -2

3

-1 -1

2

1 f

3

x

2

2 1

-2

1 -4 -3 -2 -1

1

2

3

-3

x

4

y

(G)

x

-2

y

f

2

-1

x

3

-3

(D)

f

-3

-2

-1

f 1

x

y

(H)

4

2

3 f

2

1 f

1 -1

1

2

3

4

-2

x

-1

-1

1

2

x

-1

-2 -2

-3 -4

-3

Lösung: (a) - (C); (b) - (B); (c) - (H); (d) - (G); (e) - (A); (f) - (D); (g) - (E); (h) - (F) Aufgabe 8: Zeichnen Sie die Punktmengen jeweils in ein kartesisches Koordinatensystem. (b) {(x, y) ∈ R × R | y = (x − 5)2 + 7}

(a) {(x, y) ∈ R × R | y = x − 5}

(c) {(x, y) ∈ R × R | y ≥ x2 }

Lösung: (b)

(a)

y 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5

1 2 3 4

x

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1

y

(c)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

x

-3 -2 -1

1 2 3

x

Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen bzw. Ungleichungen. (a) 2x + 18 = 30 (b) (7x − 2)2 − (x − 4) · (x + 4) = (8x + 1) · (8x − 1) − (4x + 3)2 + 30 √ (c) ex = 7 (d) 6(5x − 7) > 18x − 42 (e)

2x−1 3

<

x+6 2

(f )

10+x 24x

−

x+4 12x

≤1−

x+3 8x

Lösung: (a) L = {6} (b) L = {0} (c) L = {2 ln 7} (d) L = {x ∈ R : x > 0} (e) L = {x ∈ R : x < 20} (f ) L = {x ∈ R : x ≥

1 2

oder x < 0}

Aufgabe 10: Frau Müller ist 27 Jahre älter als ihr Sohn Andreas und 33 Jahre jünger als ihre Mutter. Alle drei sind zusammen 129 Jahre alt. Bestimmen Sie das Alter der drei Personen. Lösung: Frau Müller ist 41, ihr Kind 14 und ihre Mutter 74. Aufgabe 11: Bestimmen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale. R R R5 R2 (a) x3 dx (b) x4 · sin(x5 )dx (c) 3 x2x+4 (d) 1 x3 ln(x)dx 2 +4x dx Lösung: In den folgenden Lösungen zu (a) und (b) ist C ∈ R stets eine beliebige Konstante. R (a) x3 dx = 41x4 + C R (b) x4 · sin(x5 )dx = −51 cos(x5 ) + C R5 15 (c) 3 x2x+4 2 +4x dx = ln( 7 ) (d)

R2 1

x3 ln(x)dx = 4 ln(2) −

15 16

= ln(16) −

15 16

Aufgabe 12: Bestimmen Sie die (erste) Ableitung folgender Funktionen, wobei alle Funktionen auf ihrem maximalen Definitionsbereich betrachtet werden.   (c) h(x) = x1 + x (x2 − 2x + 1) (a) f (x) = x4 + sin(2x) (b) g(x) = 2+1√x Lösung: Die folgenden Funktionen werden stets auf ihrem maximalen Definitionsbereich betrachtet. (a) f ′ (x) = 4x3 + 2 cos(2x) 1√ (b) g ′ (x) = −2√x(2+ x)2

(c) h′ (x) = 3x2 − x12 − 4x + 2 Aufgabe 13: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme. (a)

7 x

(b)

3 2x−1

−

12 y

−

=

5 6

und

8 3y+2

4 y

+ 25 =

= − 51 und

9 x

5 2x−1

+

4 3y+2

=

8 15

4

(c) 4x + y − 2z = 0, 3x + 2y + 3z = 16, 5x − y + 3z = 12 Lösung: (a) x = 3 und y = 8. (b) x = 8 und y = 6. (c) x = 1, y = 2 und z = 3. Aufgabe 14: Berechnen Sie die Schnittpunkte der folgenden Objekte. (a) f : R → R, f (x) = x2 − 3 und g : R → R, g(x) = x + 4  −2  n   o  2 3 (b) E1 = ~x ∈ R3 : ~x = 3 + r 1 + s 0 , r, s ∈ R und E2 = {(x, y, z ) ∈ R3 : 2x − y − z = 8} 1

1

3

Lösung: (a) S1 =



√ √  1+ 29 9+ 29 , 2 , 2

S2 =



√  √ 1− 29 9− 29 , 2 2

(b) Die Schnittpunkte bilden die Gerade

n

~x ∈ R3 : ~x =

5

  7 3 3

+r

 10  3 17

o ,r ∈ R ....