Vorlesung 13 14 Dez - dfgdfg PDF

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64 (7.11b): 2ǫ-Argument: Sei ǫ > 0. lim zn = z, lim wn = w |zn − z| < 2ǫ ∧ |wn − w| < ∀ ⇒ ∃ n>N

N ∈N

⇒

ǫ 2

∀ |zn + wn − (z + w )| ≤ |zn − z| + |wn − w| <

n>N

ǫ ǫ + = ǫ. 2 2

(7.13b)

(7.11c): Setze M1 := max{|z|, 1}, M2 := ob. Schr. f¨ ur {|wn | : n ∈ N}, M2 > 0 (ex. nach Prop. 7.10(b)). Sei ǫ > 0.   ∀ ∃ |zn − z| < 2Mǫ ∧ |wn − w| < 2Mǫ 1 N ∈N

n>N

⇒

2

  |zn wn − zw| = (zn − z)wn + z (wn − w )

∀

n>N

≤ |wn | · |zn − z | + |z | · |wn − w| <

M2 ǫ M1 ǫ + = ǫ. 2M1 2M2 (7.13c)

(7.11d): Zun¨ achst Fall ∀ zn = 1. n∈N Sei ǫ > 0.  ∃

N ∈N

∀

n>N

⇒

|w|  (geht, da w 6= 0). ∧ |wn − w| < 2} | {z ⇒ |w| ≤ |w − wn | + |wn | < |w2 | + |wn | |w| ⇒ |wn | > | {z 2 } ————    ↓  1 2 ǫ |w|2 1   wn − w  2 |wn − w|  = ǫ. (7.13d) ≤ = − <  wn w   wn w  |w|2 2 |w|2

|wn − w| <

∀

n>N

ǫ|w|2 2

Der allgemeine Fall folgt nun aus (7.11c).

(7.11e): Benutze umgekehrte ∆-Ungl. (5.14): Sei ǫ > 0. |zn − z| < ǫ ∀ ∃

N ∈N

n>N

⇒

  ∀ |zn | − |z| ≤ |zn − z| < ǫ.

n>N

(7.13e)

(7.11f): Sei zn = xn + iyn , z = x + iy mit xn , yn , x, y ∈ R. (7.2) ⇒ lim xn = x ∧ lim yn = y ⇒

lim z¯n = lim(xn − iyn )

(7.11g): Durch Induktion aus (7.11c).

(7.11a),(7.11b)

=

x − iy = z¯.

(7.13f)

65 ¨ (b): Ubung. (c): Kontraposition: Sei x > y. Setze s :=

x+y . 2

y f.a. yn

s

x f.a. xn

y < s < x ∧ lim xn = x ∧ lim yn = y ⇒ yn < s < xn f¨ur fast alle n ur fast alle n. ⇒ xn ≤ yn gilt nicht f¨ n+a Bsp. 7.14: (a) limn→∞ n+b = 1 gilt f¨ ur alle a, b ∈ C n+a (hier ist zn := n+b f¨ ur n 6= −b und zn := w mit w ∈ C beliebig f¨ ur n = −b). (7.11b) & (7.11d)

⇒

lim

lim 1 + lim na 1 + a/n n+a 1+0 = = 1. = lim b = 1+0 1 + b/n n+b lim 1 + lim n

(7.14)

(b) Aus (7.11b), (7.11d), (7.11g): lim

2 − 3i/n2 + 2i/n5 2n5 − 3in3 + 2i 2+0+0 2 = lim = = . 5 4 3n + 17n 3 3 + 17/n 3+0

(7.15)

(k)

(1) Kor. 7.15: Sind (zn )n∈N , . . . , (zn )n∈N Folgen in C, k ∈ N, (j) mit ∀ limn→∞ zn = z (j) , so gilt j=1,...,k

lim

n→∞

lim

k X

n→∞

zn(j) =

j=1

z (j) ,

(7.16a)

z (j) .

(7.16b)

j=1

j=1

k Y

k X

zn(j) =

k Y j=1

Bew.: Folgt durch einfache Ind. aus (7.11b) & (7.11c). Th. 7.16 (Einschachtelungssatz): Seien ur fast alle n. (xn ), (yn ), (an ) Folgen in R, und gelte xn ≤ an ≤ yn f¨ Dann: lim xn = lim yn = x ∈ R ⇒ lim an = x. n→∞

n→∞

n→∞

(7.17)

66 Bew.: Sei ǫ > 0.   ∀ ∃ |xn − x| < ǫ ∧ |yn − x| < ǫ ∧ xn ≤ an ≤ yn N ∈N

n>N

∀ x − ǫ < xn ≤ an ≤ yn < x + ǫ.

⇒

n>N

Bsp. 7.17: ∀

n∈N

0<

1 1 ≤ n! n

Th. 7.16

⇒

lim

n→∞

1 = 0. n!

(7.18)

(7.19)

Def. 7.18: Folge (xn ) in R heißt bestimmt divergent g.d.w. einer der beiden folgenden F¨ alle eintritt: lim xn = ∞

⇔

lim xn = −∞

⇔

n→∞ n→∞

∀

K∈R

∀

K∈R

∃

N ∈N

∃

N ∈N

∀

xn > K,

(7.20a)

∀

xn < K.

(7.20b)

n>N n>N

Th. 7.19: Sei S := (xn ) monotone Folge in R (steigend oder fallend). Mit A := {xn : n ∈ N} gilt dann:  sup A, wenn S steigend und beschr.,    ∞, wenn S steigend und unbeschr., lim xn = n→∞  inf A, wenn S fallend und beschr.,    −∞, wenn S fallend und unbeschr.

Bew.: Sei S steigend (fallend geht analog). S beschr.: Zu ǫ > 0 setze K := sup A − ǫ. S steigend K keine ob. Schr. ⇒ ∃ xN > K ⇒ ∀ N ∈N

n>N

(7.21)

x ≥x | n {z N} .

⇒| sup A−xn | K. Dann ∃ xN > K ⇒ ∀ n>N

N ∈N

Bsp. 7.20: Th. 7.19 ⇒ ∀

k∈N



lim nk = ∞,

n→∞

 lim (−nk ) = −∞ .

n→∞

Def. 7.21: Sei A 6= ∅ und σ : N −→ A Folge in A. Ist φ : N −→ N (also (φ(n))n∈N eine Folge von Indizes), so heißt (σ ◦ φ) : N −→ A

(7.22)

67 (a) Teilfolge (TF) von σ g.d.w. φ streng steigend, (b) Umordnung von σ g.d.w. φ bijektiv. Schreibweisen: F¨ ur σ = (zn )n∈N mit zn = σ(n) kann man schreiben σ ◦ φ = (wn )n∈N mit wn := (σ ◦ φ)(n) = zφ(n) . TF von (zn )n∈N wird auch mit (znk )k∈N bezeichnet; hier ist also nk := φ(k). Bsp. 7.22: Sei σ = (1, 2, 3, . . . ). (2, 4, 6, . . . ) ist TF, (2, 1, 4, 3, 6, 5, . . . ) ist Umordnung: Es ist (2, 4, . . . ) = σ ◦ φ1 mit φ1 : N −→ N, φ1 (n) := 2n; und (2, 1,( 4, 3, . . . ) = σ ◦ φ2 mit φ2 : N −→ N, ur n ungerade, n + 1 f¨ φ2 (n) := ur n grade. n − 1 f¨ Prop. 7.23: Gilt lim zn = z, so hat jede TF und jede Umordnung von (zn ) auch lim z . Bew.: Sei (wn )n∈N TF von (zn )n∈N . Dann gibt es φ : N −→ N streng steigend mit wn = zφ(n) . Sei ǫ > 0. |zn − z| < ǫ. ∀ lim zn = z ⇒ ∃ N ∈N

n>N

˜ ∈ φ(N) mit N˜ ≥ N (geht, da φ str. st.). W¨ahle N ˜ ) (mit φ−1 : φ(N) −→ N). Dann: Setze M := φ−1 ( N ˜ φ(n) > N ≥ N ⇒ |wn − z| = |zφ(n) − z| < ǫ, ∀

n>M

also lim wn = z . Sei nun (wn ) Umordnung von (zn ), also wn = zφ(n) mit φ : N −→ N bij. Zu ǫ > 0 gibt es N wie oben. Setze M := max{φ−1 (n) : n ≤ N }. n > M ⇒ φ(n) > N. Also: |wn − z| = |zφ(n) − z| < ǫ, also lim wn = z. ∀

n>M

aufungspunkt (HP) der Def. 7.24: z ∈ K heißt H¨ Folge (zn ) in K g.d.w. ∀ #{n ∈ N : zn ∈ Bǫ (z)} = ∞, ǫ>0

d.h., g.d.w. jede Umgebung von z unendlich viele Folgenglieder enth¨alt.

(7.23)

68 Bsp. 7.25: ((−1)n )n∈N hat die HP 1 und −1. Prop. 7.26: z ist HP von (zn ) g.d.w. (zn ) hat TF (wn ) mit lim wn = z . Bew.: (wn ) TF von (zn ) mit lim wn = z ⇒ ∀ #{n ∈ N : wn ∈ Bǫ (z )} = ∞ ǫ>0

⇒ ∀

ǫ>0

#{n ∈ N : zn ∈ Bǫ (z)} = ∞, d.h.,

z ist HP von (zn ). Sei umgekehrt z ein HP von (zn ). Def. φ : N −→ N rekursiv wie folgt: φ(1) := k mit zk ∈ B1 (z) beliebig (geht, da z HP). Nun sei n > 1 und φ(m) f¨ ur m < n bereits definiert. Setze M := max{φ(m) : m < n}. W¨ahle zk ∈ B 1 (z) mit k > M (geht, da z HP), setze n φ(n) := k. Dann ist φ streng steigend, d.h. (wn ) mit wn := zφ(n) ist TF von (zn ). ahle N ∈ N mit N1 < ǫ. Sei ǫ > 0. W¨ wn = zφ(n) ∈ B 1 (z) ⊆ B 1 (z) ⊆ Bǫ (z), Dann: ∀ n>N

also lim wn = z .

n

N...