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Dr. Anca Popa

Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten: Injektiv, surjektiv, bijektiv

Zusätzliche Bemerkungen und Beispiele zur Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Injektivität. Zusätzliche Bemerkungen und Beispiele. Bemerkung Eine Funktion f : X → Y ist genau dann nicht injektiv, wenn es (mindestens) zwei Argumente x, x′ ∈ X von f gibt mit x 6= x′ und f (x) = f (x′ ). Beispiele (i) Die Funktion f : {a, b, c} → {a, b, c, d} mit f (a) = a, f (b) = c, f (c) = d ist injektiv, die Funktion g : {a, b, c} → {a, b, c, d} mit g(a) = a, g(b) = b, g(c) = b ist nicht injektiv. (ii) Die Funktion h : R → R gegeben durch h(x) = x2 ist nicht injektiv, da z. B. h(−1) = h(1) ist. Schränkt man allerdings h auf [0, ∞) ein, so ist h|[0,∞) injektiv, da aus h(x) = h(x′ ) folgt x2 = x′2 ⇐⇒ (x − x′ )(x + x′ ) = 0 und somit x − x′ = 0 oder x + x′ = 0. Letzteres ist wegen x, x′ ≥ 0 nur für x = x′ = 0 möglich (insbesondere ist x = x′ ). Somit gilt immer x = x′ , was zu beweisen war. Bemerkungen (i) Dem vorherigen Beispiel entnehmen wir die Bemerkung, dass die Injektivtät nicht nur von der Funktionsvorschrift stark abhängt, sondern auch von dem Definitionsbereich. (ii) Lässt sich eine Funktion graphisch darstellen, so kann man deren Injektivität leicht anhand des Graph erkennen (das ist kein Beweis!), und zwar gilt: f ist genau dann injektiv, wenn jede Parallele zur x-Achse den Graph von f höchstens einmal schneidet. (iii) Falls X und Y endliche Mengen sind, so ist |X| ≤ |Y | eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung für die Injetivität von f : X → Y . (iv) Sind X und Y unendliche Mengen, so kann es injektive Funktionen f : X → Y geben, auch wenn Y eine echte Teilmenge von X ist. Ein leichtes Beispiel dazu ist f : N → G, wobei G die Menge der geraden natürlichen Zahlen bezeichnet, gegeben durch f (n) = 2n. Surjektivität. Zusätzliche Bemerkungen und Beispiele. Bemerkung Eine Funktion f : X → Y ist genau dann nicht surjektiv, wenn es (mindestens) ein Element y ∈ Y gibt, so dass für alle x ∈ X gilt f (x) 6= y . Beispiele (i) Die Funktion f : {a, b, c, d, e} → {a, b, c} mit f (a) = a, f (b) = b, f (c) = c, f (d) = b, f (e) = a ist surjektiv, hingegene sind die Funktionen g : {a, b, c} → {a, b, c, d} mit g(a) = c, g(b) = d, g(c) = b und h : {a, b, c, d, e} → {a, b, c} mit h(x) = a für alle x ∈ {a, b, c, d, e} nicht surjektiv. (ii) Die Funktion h : R → R gegeben durch h(x) = x2 ist nicht surjektiv, da z. B. der Wert −1 nie angenommen wird. Schränkt man allerdings den Wertevorrat von h auf [0, ∞) ein, so ist h′ : R → [0, ∞) mit h′ (x) = h(x) surjektiv, da die Gleichung h(x) = y mit y ≥ 0 für √ √ z. B. x = y erfüllt ist (oder für x = − y ). 1

Dr. Anca Popa

Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten: Injektiv, surjektiv, bijektiv

Bemerkungen (i) Dem vorherigen Beispiel entnehmen wir die Bemerkung, dass die Surjektivtät nicht nur von der Funktionsvorschrift stark abhängt, sondern auch vom Wertevorrat. (ii) Lässt sich eine Funktion graphisch darstellen, so kann man deren Surjektivität leicht anhand des Schaubildes erkennen (das ist kein Beweis!). Und zwar gilt: f ist genau dann surjektiv, wenn für jeden Punkt y aus dem Wertevorrat (!) die Parallele zur x-Achse durch y den Graph mindestens einmal schneidet. (iii) Falls X und Y endliche Mengen sind so ist |X| ≥ |Y | eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung für die Surjetivität von f : X → Y . (iv) Sind X, Y unendliche Mengen, so kann es surjektive Funktionen f : X → Y geben, auch wenn X eine echte Teilmenge von Y ist. Ein leichtes Beispiel dazu ist f : G → N, wobei G die Menge der geraden natürlichen Zahlen bezeichnet, gegeben durch f (n) = n2 für alle n ∈ G. Bijektivität. Zusätzliche Bemerkungen und Beispiele. Bemerkung Eine Funktion ist nicht bijektiv, wenn sie nicht injektiv oder nicht surjektiv (oder beides) ist. Beispiele (i) Die Funktion f : {a, b, c} → {a, b, c} mit f (a) = b, f (b) = a, f (c) = c ist bijektiv, die Funktion g : {a, b, c} → {a, b, c} mit g(a) = a, g (b) = a, g (c) = c ist nicht bijektiv (sogar weder injektiv noch surjektiv). (ii) Die Funktion h : R → R gegeben durch h(x) = x2 ist nicht bijektiv. Schränkt man allerdings den Definitionsbereich und den Wertevorrat von h auf [0, ∞) ein, so ist h′′ : [0, ∞) → [0, ∞) mit h′′(x) = h(x) bijektiv. Bemerkungen (i) Dem vorherigen Beispiel entnehmen wir die Bemerkung, dass die Bijektivtät nicht nur von der Zuordnungsvorschrift stark abhängt, sondern auch vom Definitionsbereich und vom Wertevorrat. (ii) Lässt sich eine Funktion graphisch darstellen, so kann man deren Bijektivität leicht anhand des Schaubildes erkennen (das ist kein Beweis!), und zwar gilt: Eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn für jeden Punkt y aus dem Wertevorrat die Parallele zur x-Achse durch y den Graph genau einmal schneidet. (iii) Ist X eine beliebige nichtleere Menge, so ist die Identität idX auf X eine bijektive Funktion. (iv) Falls X und Y endliche Mengen sind, so ist |X| = |Y | eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung für die Bijektivität. (v) Sind X, Y unendliche Mengen, so kann es bijektive Funktionen f : X → Y geben, auch wenn X ⊂ Y oder Y ⊂ X gilt. Leichte Beispiele dazu sind f : G → N, wobei G die Menge der geraden natürlichen Zahlen bezeichnet, gegeben durch f (n) = n2 für alle n ∈ G und g : N → G mit g(n) = 2n.

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