Wda 4 log PDF

Preview

Summary

Download Wda 4 log PDF

Description

Wst ep do Analizy Matematycznej ֒

WFMiI - Matematyka Funkcja logarytmiczna

Zadanie 1 Obliczy´c x, je´sli:

√ 9 a) x = log √ 3 9, 3

b) logx 0,25 = −2,

c) log 0,125 x = −32.

Zadanie 2 Korzystajac sci logarytm´ow obliczy´c: ֒ z wlasno´ log6 3 + log 6 12, 2 loga 9 + log a

1 9

− 2 loga 3,

log3 18 − log 3 2,

log5 256 − log 5 16 , log5 8 − log 5 2

5 log 3 6 − 2 log3 4 − log 3 18,

3 loga 4 + log a 14 − 4 loga 2,

Zadanie 3 Wiedzac, ˙ ֒ ze a) log14 2 = a i log 14 5 = b, obliczy´c log7 50;

log2 54 − log 2 6 , log2 27 − log 2 9 √ 3 log 4 3 − 21 log4 3 + 3 log4 2 − log4 6.

b) log 3 20 = a i log3 15 = b, obliczy´c log 2 360.

Zadanie 4 Obliczy´c logarytm o podstawie 2 wyrazenia ˙

wiedz ac, ze ˙ log2 a = 3, log 2 b = 5, a > 0 i b > 0. ֒

2  1 1 W = ab a− 2 + b− 2 − a − b

Zadanie 5 Wykaza´c, ze ˙ r´owno´s´c log2013! n =

1 log2 n

+

1 log3 n

1 + · · · + log

1 2013

n

jest prawdziwa dla n ∈ N \ {0, 1}. Zadanie 6 Wykaza´c, ze ˙ nier´owno´s´c loga c + log b c ≥ 4 logab c

jest prawdziwa dla liczb a, b, c > 1.

Zadanie 7 Korzystajac sci logarytm´ow naszkicowa´c wykresy funkcji: ֒ z wykresu funkcji f (x) = log2 x i wlasno´ y = log2 (−x),

y = log2 (x + 2),

y = log2 2x,

y = log2

2 , x

y = log2 x2 ,

y = log2

√ x.

Zadanie 8 Rozwi aza´ ace r´ownania: ֒ c nastepuj ֒ ֒ log2 x = −3,

  ln(x − 2) + ln(2x − 3) = 2 ln x, log 3 x + log3 x2 − 8 = log 3 8x,   1 1 log 1 (x + 1) , log log(2x − 1) = log 4x−3 = 1, 2 ln x + 1−ln x = 4, x

log 5 (x + 2) + log5 (x − 2) = 1,

    log 1 x2 + x − log 1 x2 − 1 = −1, 2 2 2 log2x+1 (2x + 4) = 2 + log2x+1 4,

2

2 log 1 x 2

= 1 + log 12 x,

2

logx 27 − log 3 x = −2,

logx 2 = (log 2 x) ,

logx

Zadanie 9 Rozwi aza´ ace nier´owno´sci: ֒ c nastepuj ֒ ֒ log2 x > 3, log 10 1 x −

log x 2

   log 23 2 −

log(x − 4) ≤ 1 + log(x − 2),    1 x+2  log 2 x  > 1, ≥ log100 x,

3 x+2

   > 1,

log 14 (x + 1) − 2 log 1 x > − 12 ,

log5 (x + 2) − log 15 (x − 2) ≤ 1,

4

1 log x

log2x−1 (x + 1) ≥ 1,

1 + 1−log > 0, x

log 13 (log4 (x − 5)) < 0,

  log 5−x x3 − 3 < log5−x (7 − x),

log x |x2 − 4| > 0.

Zadanie 10 Rozwiaza´ ownania lub nier´owno´sci: ֒ c r´ 37−x = 43+x ,

2x+2 = 32x+1 ,

3e2x − 2ex − 16 = 0,

2ex − 5 · e−x = 9,

9x + 91 < 20 · 3x ,

5x · 2x+1 ≤ 52x · 22x ,

1 ex +1

ex − e−x > 2.

Zadanie 11 Rozwiaza´ ownanie ֒ c r´

<

1 e2x−1 ,

x + log (2x + 1) = x log 5 + log 6.

Zadanie 12 Rozwiaza´ ownanie ֒ c r´ 4tg

2

x

1

− 4 1+cos 2x · log2 √ 3 2 4 = − logsin x

1 − cos 2x . 2

2x−5 2x+1

= 1.

2

Zadanie 13 Rozwiaza´ owno´s´c ֒ c nier´

2 logx a + log ax a + 3 loga2 x a > 0, gdzie a jest ustalon a֒ dodatnia֒ liczba֒ rzeczywista, ozn ˙ a֒ od jeden. ֒ r´

Zadanie 14 Rozwiaza´ owno´s´c ֒ c nier´ −1 < log2 (cos 2x − 2 sin 2x · cos x + 3 sin x) < 3,

gdzie x ∈ h0, 2πi.

Zadanie 15 Wyznaczy´c wszystkie rozwiazania r´ownania ֒ logsin 2x cos 2x + log cos 2x sin 2x = 2 spelniajace nier´owno´s´c ֒

q

√ 3+2 2

x

+

q

√ 3−2 2

x

≤ 34.

Zadanie 16 Dane sa֒ zbiory A, B i C :

Wyznaczy´c zbi´or C ∩ (B \ A).

q 2 −2x+5 A jest dziedzin a֒ funkcji f (x) = x 2−x + log(x + 1), n o B = x ∈ R : 2 log (2x − 2) ≤ log (2x + 10) + log 2 , n 2no 4n ≤ C = n ∈ N \ {0} : 2√ . n n

przez punkty o wsp´olrzednych b ed rozwiazaniem Zadanie 17 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R prosta przechodz aca ֒ ֒ acych ֒ ֒ ֒ ukladu  log3 (x + y) = 2 log x + log y = 3 log 2 jest styczna do paraboli y = −x2 + 2x + a2 − 1? Zadanie zilustrowa´c rysunkiem. Zadanie 18 Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R r´ownanie   −1 + 2 log 1 m x2 − 2x + log 21 m = 0 2

ma co najmniej jedno rozwiazanie rzeczywiste? ֒

x1 i x2 r´ownania Zadanie 19 Dla jakich warto´sci parametru p ∈ R r´ozne ˙ rozwiazania ֒   2 2 x − 2x − log 1 p − 7 = 0 2

spelniaja֒ nier´owno´s´c

1 x12

+

1 x22

< 2?

Zadanie 20 Dla jakich warto´sci parametru k ∈ R r´ownanie   7 1 2 ≤ 1 + log2 2x + 2x + log21 2 kx2 + k ma co najmniej jedno rozwiazanie? ֒ Zadanie 21 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R r´ownanie √ 3 sin x + cos x = log(a − 1) − log(3 − a) ma rozwiazanie? ֒

Zadanie 22 Wyznacz te warto´sci parametru m ∈ R, dla kt´orych r´ownanie  log2 m π = sin x + cos x + 6 log2 m − 1 ma rozwiazanie. ֒ Zadanie 23 Funkcja g(m) = x1 · x2 jest okre´slona w zbiorze tych m, dla kt´orych funkcja f (x) = log2 x − m log x + 2,5m2 − 2,25

ma dwa r´ozne ˙ miejsca zerowe x1 i x2 . Wyznaczy´c dziedzin e֒ i zbi´or warto´sci funkcji g ....