Wektory - najważniejsze informacje PDF

Preview

Summary

Podstawowe informacje o wektorach....

Description

11. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej 11.1. Współrzędne wektora, długość wektora, działania na wektorach Wektor to uporządkowana para punktów. Jeden z nich jest początkiem (punktem zaczepienia), a drugi końcem. Wektor jest określony, jeśli znamy jego kierunek, zwrot i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której leży ten wektor. Zwrot określa, który punkt jest początkiem, a który końcem wektora. Wartość wektora to jego długość określana w jednostkach. Wektor, którego początkiem i końcem jest ten sam punkt nazywamy wektorem zerowym. Jeśli punkt A( x1 , y1 ) jest początkiem, a punkt B ( x 2 , y 2 ) końcem 



wektora, to wektor ten oznaczamy AB lub a . Wektorem przeciwnym do danego wektora   AB nazywamy wektor, mający tę samą długość i ten sam kierunek, co wektor AB , ale przeciwny zwrot.

y y2



AB

y1 x



Współrzędnymi wektora AB nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych jego końca   i początku: a x  x 2  x1 , a y  y 2  y1 . Zapisujemy AB [a x , a y ] i mówimy, że wektor AB ma współrzędne a x , a y . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa łatwo możemy zauważyć, że długość wektora 



AB (ozn. AB ) wynosi: 

2 2 AB  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  a x  a y .

Działania na wektorach. 



Niech będą dane dwa wektory a [a x , a y ] , b [b x , b y ] oraz liczba k  R . 



Iloczynem wektora a przez liczbę k nazywamy wektor k a [k a x , k a y ] . Mnożenie wektora przez liczbę nie zmienia kierunku tego wektora a jedynie jego długość (gdy k 1 ) i ewentualnie zwrot (gdy k  0 ); zatem dwa wektory równoległe mają odpowiednie

współrzędne proporcjonalne, co możemy zapisać w postaci warunku równoległości wektorów:   a a a b  x  y t , bx b y gdzie t jest współczynnikiem proporcjonalności. 



Aby dodać do siebie dwa wektory a i b obieramy dowolny punkt na płaszczyźnie i zaczepiamy w nim początek pierwszego wektora, następnie w jego końcu zaczepiamy początek drugiego wektora, a wektor łączący początek pierwszego wektora z końcem drugiego jest sumą obu wektorów.



a b





b

a







b

a

Algebraicznie sumę wektorów zapiszemy w następujący sposób: 



a  b [a x , a y ]  [b x , b y ] [a x  b x , a y  b y ] . 







Różnicą wektorów a i b nazywamy sumę wektora a i wektora przeciwnego do b , czyli: 







a  b  a  ( b ) [ax , a y ]  [ bx ,  b y ] [a x  b x , a y  b y ]. 



Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a i b nazywamy iloczyn ich długości i kosinusa kąta  między nimi zawartego:  

 

ab  a b cos .

Własności mnożenia skalarnego:  

 

- ab  ba (przemienność),  





- k ( ab )  ( k a ) b (łączność względem mnożenia przez liczbę), 





 

 

- ( a  b ) c ac  b c (rozdzielność względem dodawania). 



Wektory i [1, 0], j [0, 1] nazywamy wersorami osi – są to wektory jednostkowe, z których każdy ma kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem odpowiednich osi układu Oxy. Łatwo zauważyć, że zgodnie z definicją iloczynu skalarnego mamy:  



 

 

i i i i cos 00 1 1 1 1 , i j  i j cos 900 1 1 0 0 . 

Korzystając z określenia sumy wektorów możemy przedstawić wektor a [a x , a y ] w 





następującej postaci: a a x i  a y j .

y y2





a

y1

ay j 

ax i

x

Posługując się własnościami oraz definicją iloczynu skalarnego możemy przedstawić iloczyn 



skalarny wektorów a [a x , a y ] i b [b x , b y ] w następujący sposób:               a b a x i a y j  b x i b y j a xb x i i  a xb y i  j  a yb x ji  a yb y j j  a xb x  a yb y .     Wyraziliśmy zatem iloczyn skalarny dwóch wektorów jako sumę iloczynów odpowiednich współrzędnych tych wektorów:  

ab a x b x  a y b y . Wzór ten pozwala w efektywny sposób obliczyć iloczyn skalarny – wystarczą współrzędne wektorów (gdybyśmy w tym celu korzystali z definicji konieczna byłaby dodatkowo znajomość kąta  ). Łącząc ostatni wzór z definicją otrzymujemy możliwość obliczenia kąta między wektorami:  

ax bx  a y by a b cos      . a x2  a y 2 bx 2  b y 2 a b Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy kąt między nimi jest równy 900 ; ponieważ cos 90 0 0 to z ostatniego wzoru otrzymujemy warunek prostopadłości wektorów: 



a  b  axbx  a yb y 0 ....