Macierze i wektory PDF

Preview

Summary

Download Macierze i wektory PDF

Description

Matematyka – Macierze i Wektory

Iloczyn kartezjański zbiorów – jeżeli mamy 2 zbiory X i Y i utworzymy trzeci zbiór Z składający się ze wszystkich par obiektów takich, że pierwszy element pary należy do X a drugi należy do Y to tak utworzony zbiór Z nazywa się iloczynem kartezjańskim zbioru  x X X Y  ( x , y );  y Y  

Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j)

i  {1,2,..., m} N 1  N przyporządkowuje liczbę rzeczywistą aij. Oznacza j  {1,2,..., n} N 1  N

to, że macierz jest funkcją określoną na iloczynie kartezjańskim dwóch podzbiorów określoną na zbiorze liczb naturalnych o wartościach rzeczywistych. Wartości tej funkcji wygodnie jest zapisywać w tablicy, która również nazywa się macierzą.  a11 a Amxn  21  ...   a m1

a12 ... ... ...

... a1n  ... ...  ... ...   ... a mn  mxn

Jeżeli m = 1 to A1xn  a11

a 12

 np. A2 x 3   0 

2

5 1

7 4

... a1n  jest to macierz wierszowa

 a 11  a  21   A Jeżeli n = 1 to mx1  jest to macierz kolumnowa ...     a m1 

Jeżeli m = n to Anxn

 a11 a 21   ...   a n1

a12 ... ... an 2

... a1n  ... ...  ... ...   ... ann 

jest to macierz kwadratowa

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy następujące macierze

 a11  1) macierz diagonalna A   0  0

0 a22 0

0   0  a mn 

przekątna macierzy zawsze od lewego

górnego rogu do prawego dolnego rogu !!! 2) macierz skalarna

   A 0  0

0

 0

0 0   

wartości na przekątnej jednakowe !!!

3) macierz jednostkowa to macierz skalarna, co na głównej przekątnej ma same 1 1  I E  0   0

0 1 0

0  0  1

Z pojęciem macierzy kwadratowej ściśle związane jest pojęcie wyznacznika tej macierzy. Wyznacznik macierzy jest LICZBĄ !!!  a11  a21

Dla macierzy 2x2 A   det A 

a11 a21

a12  a22 

wyznacznik tej macierzy oblicza się

a12  a11 a22  a21 a12 a22

Jeżeli w wyznaczniku skreślimy pewien wiersz i pewną kolumnę to tak otrzymany wyznacznik jest podwyznacznikiem lub minorem. 3 5 6

7 4 0

1 3 2

posiada minorów 9 m.in.

4 M 11  0

3 2

8

M 23 

3

7

6

0

  42

Do obliczania wyznacznika dowolnego stopnia służy tzw. rozwinięcie Laplace’a (w tym również do wyznacznika stopnia 2 i 3). Rozwinięcie Laplace’a polega na rozwijaniu wyznacznika wg pewnego ustalonego wiersza lub pewnej ustalonej kolumny np.: a 11 A  a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

dal tego wyznacznika rozwinięcie Laplace’a wg 1 wiersza ma postać

3

det A  ( 1) i j a1 j M1 j

czyli: det A a11

j 1

Własności wyznaczników

a22

a23

a32

a33

 a12

a 21

a 23

a 31

a 33

 a13

a 21

a 22

a31

a32

I Wyznacznik nie zmienia swojej wartości jeżeli: 1) zastąpimy w nim wiersze przez kolumny a kolumny przez wiersze 4

2

3

5

14 

4

3

2

5

2) dodamy (odejmiemy) dwa wiersze lub dwie kolumny 14 

4

2

3

5



4

2

7

7

3) dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez stałą liczbę i dodamy do innego wiersza lub kolumny 14 

4

2

3

5



4

14

3

14

II Wyznacznik jest równy 0 jeżeli: 1) ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych 0 4

2

0

0

0

2) ma takie same 2 wiersze lub takie same 2 kolumny 4

2

4

2

0

3) ma 2 wiersze lub 2 kolumny proporcjonalne 4 12

2 0 6

III Przestawienie miejscami 2 wierszy lub 2 kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika 4

2

3

5

14

2

4

5

3

 14

IV Stała razy wyznacznik równa się stała razy TYLKO JEDEN WIERSZ LUB

TYLKO JEDNA KOLUMNA 4 3 3

12 6 60  18 42 2 3 5 42  4 6 5 60  18 42 3 15

Analogicznie przebiega to w drugą stronę:

27 9

18 3 9 8 1

18 3 18 8 1

9 18(12  9) 54 4

Obliczyć wyznacznik 1 3

3 0

2

1

 4  2 0

0

0

5



 26 6

 5 2 3  1  3 2 2

10 1

0

7 1

1

 4  2 0

0

5

2

0 0

3

 5  3 0

 4  2 5

 7  26  1  0 2 6

10 0 1

 7  1  2

( 1)( 1)  ( 26  60) 86

Sposób rozwiązania: Zauważamy jedynkę, przepisujemy 3 wiersz, mnożymy go razy 3 i dodajemy do 1 wiersza Rozwijamy Laplace’a wg 2 kolumny Kolumnę trzecią (z -1) mnożymy przez [(-2), nie przez 2 jak było na wykładzie bo to błąd – dowód, policzyć metodą Sarussa] i dodajemy do 2 kolumny Potem kolumnę 3 (z -1) mnożymy przez 2 i dodajemy do 1 kolumny Rozwijamy Laplace’a wg 2 wiersza Obliczamy macierz 2na2

Rozważmy układ równań liniowych  a 11x1  a12 x 2  ...  a1 n x n b1 a x  a x  ...  a x  b  22 2 2n n 2 *  21 1 ...   a n 1x 1  a n 2x 2  ...  a nn x n  bn

układ ten ma n równań i n niewiadomych

Wyznacznik postaci:

W 

a11

a12

...

a1n

a 21 ...

... ...

... ...

... ...

an 1

...

...

ann

jest wyznacznikiem głównym tego układu

Jeżeli wyznacznik główny układu równań * jest różny od 0 to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie w postaci:

Wx x1  1 , W Gdzie:

Wx x2  2 , W

Wx ... , x n  n W

Są to wzory Cramera

Wx1 

b1

a 12

...

a 1n

a11

b1

...

a1 n

b2

a 22

...

a 2n

a21

b2

...

a2 n

... bn

... a n2

...

... a nn

... an 1

... bn

...

... ann

...

W x2 

...

itd ....

Własności macierzy 

dwie macierze A i B są sobie równe jeśli na odpowiednich miejscach, mają takie same elementy a ij bij



i 1,..., n

j 1,..., m

sumą dwóch macierzy Amxn i Pmxn jest macierz Cmxn, której elementy są sumą odpowiednich elementów macierzy A i B 2 A  4

3 7

5 8 

 1 2 3  B    3 7 4 

 3 5 8  C   UWAGA Dodawać można 1 14 12 

macierze tylko macierze tego samego wymiaru 

stała razy macierz = stała razy WSZYSTKIE elementy macierzy np.  6 9 15  2 3 5   3   12 21 24   4 7 8



mnożenie macierzy A i B jest wykonalne tylko wtedy gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy Am n Bm n C mk



mnożenie macierzy nie jest przemienne !!!



UWAGA mnożąc dwie macierze prostokątne można otrzymać macierz kwadratową tylko w przypadku

 2 5 4 3 A     3 2 1 4

24

 2 1 4   3 0 5   B   7 2  3    2 2 2  43

 53 16 27  C    15 7 3  23

system liczenia wygląda tak: pierwszy element 1 wiersza kolumny pierwszej razy pierwszy element 1 kolumny itd. do odpowiadających. Skąd 53? Bo: 2 2  5 3  4 7  3 2 53

Rodzaje macierzy

I Macierz transponowana – to taka, w której wiersze przestawiono w kolumny

 2 5 4 3 A    3 2 1 4 

AT

2  5  4  3

 3  2 1  4

II Macierz symetryczna – to taka macierz kwadratowa, w której elementy są symetryczne

względem głównej przekątnej. Zachodzi w tej macierzy własność A=A

T

2  A  3  7

3 6 5

7  5 4

III Macierz osobliwa to taka macierz, kwadratowa, której wyznacznik jest równy 0. Natomiast macierz kwadratowa, której wyznacznik nie jest równy 0 to macierz nieosobliwa. 2 4  A    6 12 

det A  0

Macierzą odwrotną do danej macierzy kwadratowej A nazywamy macierz oznaczoną A-1, taką że jeśli pomnożymy ją z lewej lub prawej strony przez macierz A to otrzymamy macierz jednostkową A·A-1=A-1·A=E Dla każdej macierzy kwadratowej nieosobliwej (det≠0) istnieje macierz odwrotna, która  można znaleźć wg formuły: A 1 

1 1 AD  ( A DA )T det A det A

Dla każdego elementu macierzy kwadratowej można znaleźć dopełnienie algebraiczne tego elementu: i k

Aik (  1)

M ik

Przykład: znaleźć macierz odwrotną dla macierzy A 

Sprawdzamy czy wyznacznik jest różny od 0

1  A  0  1



2 3 4

 1  2  5

1

2

1

1

2

det A  0 1

3 4

2 0 0 5

3 2

1

3 2 1(  1) 2 2  4

2  4

 12  4  16 0

Teraz znajdujemy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy, czyli będzie ich 9

2  23  5 2  1 A 21  6 4  5 2  1 A31  7 3 2

A11 



3 4

0 2 2 1  5 1 1 A 22   4 1  5 1 1 A32   2 0 2 A12 

Następnie układamy macierz dopełnień algebraicznych

2  3   23  A  6  4  2  i zamieniamy    7 3   2 6 7    23  4  2 ( A DA ) T   2     3 3  2 DA



A 1

ją w macierz transponowaną

Zgodnie z definicją macierzy odwrotnej musimy teraz ów macierz dołączną (dołączoną; czyli transponowaną macierz dopełnień algebraicznych) przemnożyć przez odwrotność wyznacznika macierzy A.

7    23 6 1   4  2 2  16    3  2 3 



0 3  3 1 4 1 2 A 23   2 1 4 1 2 A33  3 0 3 A13 

 23  16  2    16  3  16



6 7   16 16 4 2   16 16  2 3   16 16 

Na końcu możemy sprawdzić, czy ta macierz jest dobrze znaleziona Mnożymy macierz A przez otrzymaną macierz odwrotną, powinniśmy w wyniku tego mnożenia otrzymać macierz jednostkową E.

 1 2  1 0 3 2     1 4  5

6 7  23  16  16  16  1 0 0  2 4 2     0 1 0    16    16 16   0 0 1 2 3   3   16 16 16 

Przypadek: Mamy równanie a w nim macierze A i B oraz niewiadomą x szukamy x, rozwiązujemy przy pomocy macierzy odwrotnej: A x  B A  1 A x  B A 1   E x A 1 B  x A 1 B

Rząd macierzy

Rzędem macierzy nazywamy stopień (rozmiar) największego różnego od zera minora wyjętego z tej macierzy. Np. dla macierzy: 2 A  5

3 6

natomiast

4 1

rzA 2 23

5 6

4 0 6

czyli

1 B  2   3

4 5 6

2 4  6 3 3

1 det B 2 3

4 5 6

2 4 0 6

rzB 2

Dla powyższej macierzy B jej rząd nie wynosi 3 gdyż ów minor jest równy 0; natomiast istnieje minor 2na2 różny od 0.

Druga definicja rzędu macierzy Rząd macierzy jest to największa liczba liniowo niezależnych kolumn tej macierzy Na rząd macierzy nie wpływają następujące operacje:    

Zamiana miejscami 2 wierszy lub 2 kolumn Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą liczbę Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą liczbę i dodanie do innego wiersza lub kolumny Kolumna zer nie wpływa na rząd macierzy, można ją wykreślić

Wyznaczyć rząd macierzy:  4 3 1 0  2   9 0 2  18 13   rz   6 13  10 0 1    7 0 4  4 5  12  23 16 0 0 0 0 1 0  0  0  3   7   44 33 18 13 0 2   rz  rz  2  2 13 13  10 0 1   10    14 88 66 4 23 16 0 5       0 0 0 1 0  0 0 0 1 0 0  1 1 1 0 0  1 0 0 0 0 1  rz    rz  rz   0 0 0 0 1  0 0 0 0 1 0      2 2 2 0 0 2 0 0 0 0     2 2 1 rz  0  4

 4  2 1

3 1 1  4 3  1

Jeszcze raz to samo, tylko szybciej:

0 0 1 0  0   9 0 2  18 13  rz  6 13 1  10 0   0 5  12  23 16 0 0 1 0  0  7  44 33 0 0  rz  0 0 0 0 1   14 88 66 0 0   1 0 0 1 0    0 0 1 0 0  rz   3  0 0 1 0 1    0 0  0 0 0

0 2   1  5 1 0 0 0  0 1  0 0

3 1 0 0  4  2 wykreslamy wersor  9 0 2 2  18 13   i wiersz, gdzie   rz   6 13 1 3 1  10 0 1  1 on jest    0 5 4  4 5  7  12  23 16 wykreslamy wersor 2 0  18 13  21  44 33  9 13 13   10 1  1  i wiersz, gdzie  rz  6  10 1  1  r  6     on jest 5 66 0   42  88  12  23 16 1 1 1 rz   2 3  2 2 2 2 1 rz  0  4

4

3

1

 2

1

 4

Dygresja: na samym końcu wyciągnęliśmy kolejno z kolumn 1,2 i 3 następujące dzielniki: 21,-44,33.

Dla macierzy 3x3 (wymiaru) stosuje się schemat Sarussa a11 det A  a 21

a12 a 22

a13 a 23

a 31

a 32

a 33

dopisz : a11 dopisz : a 21

a12

a13

a 22

a 23

3 4

2 2

1 2  6  0  12  8  0  6  4 1

3

0

3

2

1

4

2

2

Dla macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru wyznacznik można obliczyć za pomocą tzw. rozwinięcia Laplace’a !!!

 a 11x 1  a 12 x 2  ...  a 1nx n b1  *  a 21 x1  a 22 x2  ...  a 2 n x n b2 a x  a x  ...  a x b m2 2 mn n m  m1 1

m>n więcej równań niż niewiadomych m...