3731 materiał macierze PDF

Preview

Summary

3731 materiał macierze,
Wykład z macierzy
3731 materiał macierze,
Wykład z macierzy...

Description

w i Rachunkowości

PODSTAWY MATEMATYKI W BIZNESIE ALGEBRA MACIERZY

WYKŁAD 1

Beata Owczarczyk

Treści programowe • Pojęcie, rodzaje i działania na macierzach. Pojęcie przekształcenia liniowego. • Operacje elementarne na wierszach (kolumnach) macierzy. Pojęcie macierzy odwrotnej oraz jej wyznaczanie za pomocą operacji elementarnych. Równania macierzowe. • Definicja wyznacznika macierzy i metody jego obliczania. Własności wyznaczników. • Wyznaczenie macierzy odwrotnej metodą wyznacznikową. Rozwiązywania układów równań liniowych z wykorzystaniem wzorów Cramera.

Treści programowe c.d. • Pojęcie rzędu macierzy. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa-Jordana. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. • Funkcja jednej zmiennej. Dziedzina funkcji. Funkcje złożone. Parzystość funkcji. Funkcja odwrotna. • Pochodna funkcji jednej zmiennej. Granica i ciągłość funkcji. Reguła de l’Hospitala. • Zastosowanie pochodnej funkcji w problemach aproksymacyjnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Literatura podstawowa: • Antoniewicz R., Misztal A., Matematyka dla studentów ekonomii, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2003. • Piszczała J., Piszczała M., Wojcieszyn B., Matematyka z zadaniami, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979. • Bażańska T., Nykowska M., Zbiór zadań z matematyki dla studentów wyższych uczelni ekonomicznych, Centrum SzkoleniowoWydawnicze KWANTUM, Warszawa 1997.

Literatura uzupełniająca: • Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach. Cz. 1, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1994. • Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach. Cz. 2, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1998. • Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1976. • Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów. Cz. 1, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999. • Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla inżynierów. Cz. 1, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1981.

Macierz przekształcenia liniowego Niech każdemu wektorowi x przestrzeni Rn będzie przyporządkowany punkt y należący do przestrzeni Rm. Funkcja y = f(x) określająca takie przyporządkowanie jest funkcją n-zmiennych, a jej wartościami nie są liczby, lecz punkty przestrzeni m-wymiarowej.

Niech będą dane dwie przestrzenie Rn i Rm. Przekształceniem liniowym A przestrzeni Rn w przestrzeń Rm nazywać będziemy funkcję A: Rn → Rm spełniającą warunki: A(x1 +x2) = A(x1) + A(x2), A(αx) = αA(x). Zamiast pisać y = A(x), będziemy używać oznaczenia y = A ◦ x.

Przekształcenie liniowe określmy wzorami: y1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn, …………………………………………. ym = an1x1 + an2x2 + … + annxn, Punkt y = (y1, y2, … ym) przestrzeni Rm, przyporządkowany na mocy powyższych wzorów punktowi x = (x1, x2, … xn) przestrzeni Rn, nazywamy obrazem punktu x w przekształceniu A.

Współczynniki a11, a12, …, amn figurujące przy zmiennych xi, ustawione w prostokątną tablicę A=

będziemy nazywać macierzą przekształcenia liniowego. Możemy również użyć zapisu [aij]mn, gdzie i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. O macierzy A przekształcenia liniowego mówimy, że ma wymiar m × n; liczba wierszy macierzy A jest równa m, liczba kolumn – n.

Ogólnie dla oznaczenia macierzy używamy dużych liter A, B, C, … albo odpowiednich symboli [aij]mn, [bij]mn, [cij]mn, …, gdzie aij, jest ogólnym oznaczeniem elementu stojącego na krzyżowaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Przykład 1. Wzory 3x 1 + 2x2 – x 3 = y1 2x1 – x2 + 5x3 = y2 Określają przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej R3 w przestrzeń dwuwymiarową R2. Macierzą tego przekształcenia jest macierz:

Obrazem punktu x w przekształceniu zadanym macierzą A jest iloczyn A ◦ x.

Operacje algebraiczne na macierzach • Określamy trzy działania na macierzach: dodawanie, mnożenie macierzy przez liczbę oraz mnożenie macierzy przez macierz. Zacznijmy od pojęcia równości macierzy: • Macierze A = [aij]mn i B = [bij]mn są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n zachodzi aij = bij. • Jeśli A = [aij]mn i B = [bij]mn, to istnieje suma macierzy A i B – macierz C taka, że dla wszystkich i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n zachodzi: C=A+B cij = aij + bij.

• Macierz D = [dij]mn nazywamy iloczynem macierzy A = [aij]mn przez skalar α, jeśli dla wszystkich i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n zachodzi : D = α aij . • W wyniku dodawania macierzy i mnożenia ich przez skalar otrzymujemy macierz o wymiarach takich jak macierze wyjściowe.

Z odpowiednich reguł arytmetyki liczb rzeczywistych wynikają prawa działań na macierzach: A + B = B + A, αA = Aα, – A = (–1)A, A + (–A) = 0, A + 0 = A.

Mnożenie macierzy • Mnożenia macierzy przez macierz jest dobrze określone jedynie w przypadku, gdy wymiary obu macierz są odpowiednio dobrane. • Niech A = [aij]mr i B = [bij]rn będą macierzami prostokątnymi. Macierz A ma tyle kolumn, ile B wierszy ma macierz B. • Iloczynem macierzy Amr i Brn jest macierz A = [aij]mr i B = [bij]rn jest macierz C = [cij]mn, mająca m wierszy i n kolumn, której element są określone wzorami: • Piszemy wtedy: C = A ◦ B.

• Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, natomiast spełnia reguły:

A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C (α A) ◦ B = α (A ◦ B) + A ◦ (α B)

• Macierzą transponowaną macierz A o wymiarach m × n nazywamy taką macierz AT = [bij] o wymiarach n × m, której są określone następująco: bij = aji, dla i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. • Macierz ta jest otrzymana z A przez zamianę wierszy i kolumn w ten sposób, że i-ty wiersz macierzy A staje się i-tą kolumną macierzy transponowanej.

Łatwo sprawdzić, że

(AT)T = A, (A + B)T = AT + BT (A ◦ B)T = BT ◦ AT

Macierz kwadratowa

Macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, nazywamy macierzą kwadratową. Macierz o n wierszach i n kolumnach nazywamy macierzą stopnia n. Macierz kwadratowa postaci:

nazywa się macierzą jednostkową. A ◦ In = In ◦ A = A

• Układ elementów a11, a22, …, ann w macierzy o wymiarach n × n nazywamy główną przekątną macierz kwadratowej. • Sumę elementów leżących na głównej przekątnej nazywam śladem macierz i oznaczamy: trA =

nazywam wektorem wierszem, a macierz

Wśród macierz kwadratowych można wyróżnić pewne macierze szczególne: • Macierz zerowa, tj. tak, dla której aij = 0, i, j = 1, 2, …, n, • Macierz trójkątna, tj. taka, dla której aij = 0, jeżeli i > j lub taka, że aij = 0 dla i < j. Macier ssymetryczna metr c na, dl • Macierz dla któ którejj aij = aji przy wszystkich i, j = 1, 2, …, n, lub inaczej: jest to macierz spełniająca warunek AT = A. • Macierz skośno-symetryczna, dla której aij = –aji przy wszystkich i, j = 1, 2, …, n. • Macierz diagonalna, dla aij = 0, dla i ≠ j oraz aij ≠ 0 dla i = j.

Macierz odwrotna • Niech A = [aij]nn będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierz kwadratową B stopnia n spełniającą warunek: A◦B=B◦A=I nazywamy macierzą odwrotną macierzy A. • Jeśli dla A istnieje macierz odwrotna, mówimy że A jest nieosobliwa. Macierz odwrotną macierzy A oznaczamy symbolem A-1.

Dla macierzy nieosobliwych zachodzą następujące zależności:

Rozróżnia się trzy rodzaje operacji elementarnych na wierszach macierz: • przestawienie miejscami dwóch wiersz A, • pomnożenie wszystkich elementów dowolnego i-tego wiersza macierzy A przez skalar α ≠ 0, 0 • dodanie do dowolnego i-tego wiersza innego, k-tego, pomnożonego przez dowolny skalar α ≠ 0.

• Macierze A i B nazywamy równoważnymi wierszowo wtedy i tylko wtedy, gdy każdą z nich można otrzymać z drugiej drogą operacji elementarnych na wierszach. • Postacią bazową macierzy Amn nazywa się taką jej postać, w której występuje maksymalna liczba kolumn będących różnymi wektorami tzw. baz ortonormalnej przestrzeni m-wymiarowej, tzn. wektorami postaci: ε1 = (1,0,0,…,0), ε2 = (0,1,0,…,0), ε3 = (0,0,1,…,0),…, εm = (0,0,0,…,1). • Inaczej postacią bazową macierzy Amn nazywa się taką jej postać, w której podmacierzą jest macierz jednostkowa.

Rzędem macierz A nazywamy maksymalną liczbę niezerowych wierszy tej macierzy w postaci trapezowej. Macierz trapezowa – jest to macierz, w której wszystkie elementy pod pierwszą (ostatnią) przekątną lub nad ostatnią (pierwszą) przekątną są równe 0.

Wyznaczanie macierz odwrotnej metodą operacji elementarnych • Metoda ta polega na dopisaniu z prawej stron do danej macierz nieosobliwej macierzy jednostkowej, a następnie na poddaniu obu macierzy takim operacjom elementarnym, które macierz A przeprowadzą w I. Wtedy na miejscu dopisanej macierzy I pojawi się macierz A-1. A | I → I | A-1. • W przypadku, gdy dla A nie istnieje macierz odwrotna, nie będzie można przekształcić jej do postaci macierzy jednostkowej. Rząd takiej macierz jest wtedy mniejszy od n.

Dziękuję za uwagę...