Macierze cz - Materiały do zajęć z matematyki. WSB Poznań. PDF

Preview

Summary

Materiały do zajęć z matematyki. WSB Poznań....

Description

MACIERZE część I ANALIZA MATEMATYCZNA- Joanna Pomianowska

Macierz jest to prostokątną tablicą złożona z 𝑚 wierszy – wektorów wierszowych oraz z 𝑛 kolumn – wektorów kolumnowych. Można ją sobie wyobrazid tak, jakby ułożono wektory jeden obok drugiego lub jakby ułożono wektory jeden nad drugim i spięto razem wspólną klamrą. Tutaj każdy element 𝑎𝑖𝑗 może byd traktowany jako 𝑖-ta składowa 𝑗-tego wektora lub 𝑗-ta składowa 𝑖-tego

1. Macierze częśd I

wektora.

Macierz 𝑨𝑚 ×𝑛 możemy jak widad zapisad tak 𝑨𝑚 ×𝑛

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 = … … … … 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

gdzie 𝑎𝑖𝑗 jest elementem 𝑖 -tego wiersza i 𝑗-tej kolumny, 𝑖 = 1,2, … 𝑚, 𝑗 = 1,2, … 𝑛. Składowe 𝑎𝑖𝑗 są liczbami rzeczywistymi. W macierzy zawsze najpierw zapisujemy liczbę wierszy 𝑖 a dopiero potem liczbę kolumn 𝑗. Inaczej macierze zapisujemy tak 𝑎𝑖𝑗 .

Dwie macierze są sobie równe, gdy mają jednakowe wymiary a elementy na jednakowych pozycjach są sobie równe. 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 dla każdego 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Przykład 1.

Macierz 𝑨 =

ln 𝑒

log 3 9

16 2

1 4 9 i macierz 𝑩 = są sobie równe. 2 1 0 sin 𝜋 2

3

0

2. Działania na macierzach

 Dodawanie Dodawad do siebie można tylko i wyłącznie macierze o jednakowych wymiarach.

Niech

𝑨 + 𝑩 = 𝑎𝑖𝑗

+ 𝑏𝑖𝑗

𝑨=

4 1 2

= 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗

5 3 9 −4

1

𝑩=

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 , 5 2

0 −3 7 −2 6

MACIERZE część I ANALIZA MATEMATYCZNA- Joanna Pomianowska

𝑨+𝑩 =

+ 0 −3 7 3 + 7 =3 47 2 210 2 4 + 0 5 + −3 9 + −2 −4 +6 + = 2 9 −4 −2 6 2 2 Można zauważyd, że dodawanie macierzy, to dodawanie do siebie po składowych kolejnych wektorów wierszowych lub kolejnych wektorów kolumnowych. 4

1

5

3

5

1

5

 Odejmowanie Odejmowad można tylko macierze o jednakowych wymiarach. 𝑨 − 𝑩 = 𝑎𝑖𝑗

− 𝑏𝑖𝑗

= 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

4 − 0 5 − −3 0 −3 7 4 5 3 𝑨−𝑩= 1 − 5 =1 5 9 −4 −2 6 − 9 − −2 2 2 2 2

3−7

−4 − 6

= −2

4

8 −4 11 −10

Można zauważyd, że odejmowanie macierzy, to odejmowanie od siebie po składowych kolejnych wektorów wierszowych lub kolejnych wektorów kolumnowych.  Mnożenie macierzy przez liczbę Przez liczbę rzeczywistą można mnożyd macierze o dowolnych wymiarach. Zatem wymiar nie ma znaczenia. 𝑘 ∙ 𝑨 = 𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑎 𝑖𝑗 Niech 𝑘 = −2.

4 5 3 = 𝑘 ∙ 𝑨 = −2 ∙ 1 9 −4 2

−2 ∙ 5 −2 ∙ 4 −2 ∙ 3 −8 −10 −6 1 = 8 −2 ∙ 9 −2 ∙ −4 −1 −18 −2 ∙ 2

Można zauważyd, że mnożenie przez liczbę macierzy, to mnożenie przez liczbę po składowych kolejnych wektorów wierszowych lub kolejnych wektorów kolumnowych.  Mnożenie macierzy przez macierz Przemnażad przez siebie można macierze, z których pierwsza ma taką samą liczbę kolumn jak druga liczbę wierszy. 𝐴𝑚 ×𝒏 ∙ 𝐵𝒏×𝑘 = 𝐶𝑚 ×𝑘 Iloczynem macierzy 𝑨 ∙ 𝑩 nazywamy taką macierz 𝑪 , której elementy mają postad 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 ∙ 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝑏𝑛𝑗 ,

gdzie 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑘.

Obliczmy iloczyn macierzy 𝑨 ∙ 𝑩, gdzie

4 5 3 𝑨= 1 , 9 −4 2

𝑩 = −3 6

2 −4 −1 8

Iloczyn macierzy 𝑨2×3 ∙ 𝑩3×2 = 𝑪3×2 istnieje. Macierze można przemnożyd posługując się schematem Falka. 2

MACIERZE część I ANALIZA MATEMATYCZNA- Joanna Pomianowska

=

11 3 −50 −43

Można zauważyd, że mnożenie macierzy przez macierz jest iloczynem skalarnym wszystkich wektorów wierszowych pierwszej macierzy przez wszystkie wektory kolumnowe drugiej macierzy. Jeżeli któreś z przemnożeo da wartośd zero, to znaczy, że przemnażane przez siebie wektory są prostopadłe do siebie. Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, bo iloczyn, np. 𝑨2×3 ∙ 𝑩3×4 = 𝑪2×4

daje w wyniku macierz o wymiarach 2 × 4 , a iloczyn odwrotny 𝑩3×4 ∙ 𝑨2×3

w ogóle nie istnieje.

Na macierzach nie można wykonad działania dzielenia!

3. Wyznaczniki Definicja wyznacznika zapisana w sposób ściśle matematyczny jest mało czytelna, w związku z tym przyjmijmy, że Definicja Wyznacznikiem nazywamy funkcję, która macierzy kwadratowej jednoznacznie przyporządkowuje liczbę rzeczywistą. Sposób tego przyporządkowania jest przedstawiony na przykładach znajdujących się poniżej. Najpierw jednak zapamiętajmy, że: Wyznaczniki obliczamy tylko z macierzy kwadratowych! Wyznacznik ma na celu wyłapanie, czy wśród wektorów pod wyznacznikiem są wektory liniowo zależne, co wyznacznik pokazuje przyjmując wartośd zero. Jeżeli wszystkie wektory pod wyznacznikiem są liniowo niezależne, wyznacznik przyjmuje wartośd różną od zera.

W zależności od stopnia macierzy (liczby wierszy – kolumn) wyznaczniki obliczamy jak pokazano poniżej: 

wyznacznik z macierzy stopnia pierwszego 3

MACIERZE część I ANALIZA MATEMATYCZNA- Joanna Pomianowska

𝑑𝑒𝑡 𝑎11

= 𝑎11



wyznacznik z macierzy stopnia drugiego



wyznacznik z macierzy stopnia trzeciego –schemat Sarrusa

= 𝑎11 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎33 + 𝑎12 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎 31 + 𝑎13 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎 32 − 𝑎13 ∙ 𝑎22 ∙ 𝑎 31 − 𝑎11 ∙ 𝑎23 ∙ 𝑎32 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎33

Aby obliczyd wyznacznik za pomocą schematu Sarrusa przemnażamy po trzy elementy na czerwonych przekątnych i wyniki do siebie dodajemy, a następnie przemnażamy przez siebie po trzy elementy na zielonych przekątnych, a otrzymane wyniki odejmujemy. 

wyznacznik z macierzy stopnia czwartego i wyższego

Wyznaczniki od stopnia czwartego włącznie należy zawsze obliczad za pomocą rozwinięcia Laplace’a, natomiast wyznaczniki z macierzy stopnia drugiego i trzeciego można obliczad za pomocą rozwinięciem Laplace’a. Jeżeli chcemy zastosowad rozwinięcie Laplace’a wybieramy dowolny wiersz lub dowolna kolumnę względem, którego (której) zastosujemy rozwinięcie Laplace’a. Otrzymamy wynik nie zależy od naszego wyboru. Wybierzmy trzeci wiersz, wówczas rozwinięcie Laplace’a dla tego wiersza wygląda tak

𝑎31 ∙ −1

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 = det 𝑎 31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44

3+1

+𝑎33 ∙ −1 Przykład 2 Oblicz wyznaczniki

𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎 ∙ det 22 𝑎23 𝑎24 + 𝑎32 ∙ −1 𝑎42 𝑎43 𝑎44

3+3

𝑎11 𝑎12 𝑎14 ∙ det 𝑎21 𝑎22 𝑎24 + 𝑎34 ∙ −1 𝑎41 𝑎42 𝑎44

a) det −4 = −4 b) det

−2 3

3+2

𝑎11 𝑎13 𝑎14 ∙ det𝑎21 𝑎23 𝑎24 𝑎41 𝑎43 𝑎44

3+4

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ∙ det𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎41 𝑎42 𝑎43

−5 = −2 ∙ 6 − −5 ∙ 3 = −12 − −15 = 3 6

4

MACIERZE część I ANALIZA MATEMATYCZNA- Joanna Pomianowska

c) det

−5 1 −12 54

1 −1 = −5 ∙ −1 ∙ 3 + 2 ∙ 5 ∙ −2 + 4 ∙ 1 ∙ 0 − −5 02 −2

− −−2 2 ∙ −01 3∙ 4 − 0 ∙ 5 ∙ −5 − 3 ∙ 1 ∙ 2 = 15 − 20 + 0 − 8 − 0 − 6 = −19

2 5 d) det −1 1

0 1 1 5 −2 −3 3 3

0 1 −4 2

Stosujemy rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny 3 1 3 1 0 3 −2 −1 det 1 2 1 4 0 −1 2 3

= 3 ∙ −1

1+1

+1 ∙ −1

3+1

= 3 ∙ det

3 2 −1

∙ det 2 −1

=

3

−2 −1 1 4 + 0 ∙ −1 2 3

1 3 1 ∙ det 3 −2 −1 + 0 ∙ −1 −1 2 3 −2 −1 3 1 4 2 2 3 −1

2+1

4+1

1 3 1 ∙ det 2 1 4 −1 2 3

1 3 1 ∙ det3 −2 −1 = 2 1 4

3 −2 1 3 1 1 1 + 0 + det 3 −2 −1 3 −2 + 0 = −1 2 3 −1 2 2

= 3 ∙ 9 + 8 − 4 − 1 − 24 + 12 + −6 + 3 + 6 − 2 + 2 − 27 = 3 ∙ 0 − 24 = −24

Do obliczenia wyznaczników z macierzy stopnia trzeciego została zastosowana metoda Sarrusa, natomiast zerowe rozwinięcia były równe zero. Ten sposób liczenia nie był najszybszy. Kilka własności wyznacznika ułatwiających obliczanie go: Własności wyznaczników

1. Wartośd wyznacznika nie ulegnie zmianie, gdy do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony (pomnożoną) przez dowolną liczbę rzeczywistą różną od zera. 2. Wyznacznik macierzy o wierszu (kolumnie) złożonym z samych zer przyjmuje wartośd równą zero. 3. Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zero. 4. Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zero. 5. Zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn) w macierzy pod wyznacznikiem, zmiania znak wyznacznika na przeciwny.

5

MACIERZE część I ANALIZA MATEMATYCZNA- Joanna Pomianowska

6. Wspólny czynnik każdego elementu dowolnie wybranego wiersza (kolumny), można wystawid przed wyznacznik. 7. Wyznacznik macierzy transponowanej AT jest równy wyznacznikowi macierzy A. Przykład 2 Wykorzystując własności wyznacznika oblicz wyznacznik

−2 −1 3 4 1 −1 −2 3 det 3 5 1 −6 2 3 2 1

Ten wyznacznik obliczymy za pomocą rozwinięcia Laplace’a względem drugiego wiersza. Z ostał on wybrany ze względu na to, że ma nieduże liczby oraz posiada jedynkę. −2 −1 3 4 𝑘 +𝑘 2 1 1 −1 −2 3 𝑘3 + 𝑘1 ∙ 2 det 3 5 1 −6 𝑘 + 𝑘1 ∙ −3 2 3 2 1 4 −2 −1 + −2 1 −1 + 1 = det 3 5+3 2 3+2 −2 −3 1 0 = det 3 8 2 5

−1 10 0 0 = 1 ∙ −1 7 −15 6 −5

2+1

3 + 2 ∙ −2 −2 + 2 ∙ 1 1+2∙3 2+2∙2

−3 −3 −1 10 ∙ det 8 7 −15 = −det 8 5 6 −5 5

Z trzeciej kolumny można wystawid wspólny czynnik −5 i otrzymujemy = 5 ∙ det

−3 −1 8 7 5 6

4 + −3 ∙ −2 3 + −3 ∙ 1 −6 + −3 ∙ 3 1 + −3 ∙ 2

−2 7 11 0 𝑤1 + 𝑤3 ∙ 2 = 5 ∙ det −7 −11 0 = 5 ∙ 1 ∙ −1 3 𝑤 + 𝑤3 ∙ −3 5 6 1 1 2

−1 10 7 −15 6 −5

3+3

∙ det −7

Zauważmy, że otrzymaliśmy dwa przeciwne wiersze, więc proporcjonalne. Z własności 4 szukany wyznacznik jest równy zero. Macierz, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą osobliwą. Jeżeli macierz ma wyznacznik różny od zera, to nazywamy ją nieosobliwą.

6

7

11 = 0. −11...