Matma wyklad - Notatki z wykładów z matematyki dyskretnej PDF

Preview

Summary

Notatki z wykładów z matematyki dyskretnej...

Description

Niech f będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze A należącym do R. Funkcją pierwotną F funkcji f nazywamy funkcję spełniającą warunek F’(x)=f(x). Własności funkcji pierwotnych: 1. Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to również F(x) + c jest funkcją pierwotną f(x). 2. Jeżeli F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x), to F(x) – G(x) = const. Całka nieoznaczona – Niech funkcja f będzie określona w zbiorze A zawartym w R. Zbiór funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całkę nieoznaczoną i oznaczamy ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. ∫ 𝑥 ∝ 𝑑𝑥 = ∫

1 𝑥 ∝+1 + 𝑐 ∝ +1

𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝑐 𝑥

∝≠ −1 𝑥≠0

∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐 𝑐𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

∫ ∫

𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 𝑠𝑖𝑛2 𝑥

𝑥≠

𝜋 + 𝑘𝜋 2

𝑥 ≠ 𝑘𝜋

∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh 𝑥 + 𝑐 ∫ sinh 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝑐 ∫ ∫ ∫

𝑑𝑥

√1 − 𝑥 2 ∫

𝑑𝑥 = 𝑐𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑐 sinh2 𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

= 𝑡𝑔ℎ 𝑥 + 𝑐

= arcsin 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥

1 + 𝑥2

𝑥 ∈ (−1,1)

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐

Twierdzenie o działaniach na całkach Jeżeli f(x) i g(x) są całkowalne (istnieje całka) to również f(x)+g(x), f(x)-g(x), c*f(x) są całkowalne i zachodzą wzory: ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

W CHUJ WAŻNY WZÓR: ∫

𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝑐

JESZCZE METODY CAŁKOWANIA WARTO POWTARZAĆ Macierze po części są w zeszycie, od początku tam szukać

Twierdzenie Kroneckera – Capelliego (o liczbie rozwiązań układu równań) Układ równań A x = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(U). Jeżeli r(A) = r(U) = n, gdzie n to liczba niewiadomych, to układ jest oznaczony. Jeżeli r(A) = r(U) < n, to układ jest nieoznaczony. Wówczas jego rozwiązania są zależne od n – r(A) parametrów. Jeżeli r(A)≠r(U), to układ jest sprzeczny. Potem rozdział gaussa, logika a następnie Teoria mnogości to dział matematyki zajmujący się analizą zbiorów oraz innych ogólnych pojęć definiowanych za pomocą zbiorów. Twórcą tej teorii jest George Cantor. Zbiór jest pojęciem pierwotnym. Nie definiuje się relacji przynależności elementu do zbioru. Zbiory duże litery, elementy małe litery. Zbiory można określić przez wypisanie elementów, za pomocą funkcji zdaniowej

Wariacja bez powtórzeń: K-elementową wariacją bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego (k...