macierze zadania SGH matematyka PDF

Preview

Summary

zadania z macierzy z matematyki na SGH w roku 2021/2022...

Description

Ćwiczenia nr 12 z matematyki 1. Wyznacz rozwiązanie ogólne układu równań    

x1 − x2 −x1 + x2 a) 2x1 − x2    2x1 − x2   x1 + 2x2 c) 2x1 − x2  3x1 + x2

+ x3 + 2x 3 + x3 + 4x3

= 1, = −1, = 3, = 3,

+

x3

+

x3

= 0, = 5, = 6.

2. Dany jest układ równań Ax = b, gdzie

b)

 

x1 + −2x1  x1 +

A=



1 2

x2 3x2

−1 1 −1 0 1 −1

− + −



,

x3 + x4 = 1, 2x 3 + 3x 4 = 2, x3 + 6x4 = 3,

b=



−5 −1



.

a) Wyznacz dwa nieujemne rozwiązania bazowe v, w tego układu. b) Wykaż, że różnica v − w jest rozwiązaniem szczególnym układu jednorodnego o macierzy A. c) Jaki warunek muszą spełniać parametry α, β ∈ R, żeby wektor αv + βw był rozwiązaniem szczególnym układu Ax = 7b? 3. Uzasadnij, że



2x1 + 3x2 = x 1 − 3x 2 =

5, jest układem Cramera i wyznacz jego rozwiązanie. 4

  px 4. Wyznacz liczbę rozwiązań układu px  x

+

y

−

y

+ z + z + pz

5. Wyznacz rozwiązanie ogólne układu   z = 2,  px + y +  px1 + a) b) px + z = 1, x1 +   x − y + pz = −2, x1 +

= 2, = 1, w zależności od wartości parametru p ∈ R. = −2,

x2 + 2x3 = 1, px2 + 3x3 = 1, x2 + 4x3 = p,

w zależności od wartości parametru p ∈ R. Wyznacz rozwiązania bazowe w przypadku, gdy układ jest nieoznaczony. Dla podpunktu a) wyznacz te wartości parametru p, dla których istnieje rozwiązanie szczególne układu leżące na płaszczyźnie o równaniu x = 1.   2x1 −x1 6. Dany jest układ równań 

− x2 + 2x 2 3x2

+ + +

x3 x3 3x3

+ x4 − x4 − x4

= 6, = k + 2, = 14,

gdzie k ∈ R.

Dla jakich k układ jest niesprzeczny? Rozwiąż układ dla tej wartości k i wyznacz takie rozwiązanie bazowe, w którym x4 6= 0. 

k 0 7. O układzie równań  2 1 0 k+1

    1 −1 x1 0   x2  =  0  wiadomo, że jest nieoznaczony. 1 m x3

a) Wyznacz wartości parametrów m, k ∈ R. b) Wyznacz dwa różne rozwiązania bazowe v, w układu. 

 c c) Sprawdź, dla jakiej wartości parametru c ∈ R wektory v, w, u =  2  są liniowo niezależne. 3 d) Sprawdź, że każdy wektor y, gdzie y ∈ [v, w] jest rozwiązaniem szczególnym układu. 8. Wyznacz te wartości parametrów k, m ∈ R, dla których układ    x1    m 1 2 3  x2  = 1 k 3 2m x3

jest sprzeczny....