Calki - przykładowe zadania z matematyki stosowanej PDF

Preview

Summary

przykładowe zadania z matematyki stosowanej...

Description

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki

1

Zadanie 1. Stosując wzór sumacyjny Simpsona dla przedziału całkowania podzielonego na k = 3 podprzedziały obliczyć całke: I=

Z

3

(x3 + 2x)dx

−3

Odpowiedź: Całkę można policzyć dwoma sposobami: • I. Korzystamy z ogólnego wzoru Simpsona: Z b h f (x)dx ≈ [f0 + fn + 2 (f2 + f4 + · · · + fn−2 ) + 4 (f1 + f3 + · · · + fn−1 )] . 6 a Mamy zatem: I = h6 [f (−3) + f (3) + 2(f (−1) + f (1)) + 4(f (−2) + f (0) + f (2))] = = 26 [−33 + 33 + 2 · (−3 + 3) + 4 · (−12 + 0 + 12)] = 0 • II. Korzystamy ze wzoru Simpsona obliczając sumę trzech całek: I= Stąd: I =

2 6

Z

−1

(x3 + 2x)dx +

−3

1

(x3 + 2x)dx +

−1

[−33 + 4 · (−12) − 3] +

Uwaga: h = xi+2 − xi ,

Z

2 6

Z

3

(x3 + 2x)dx.

1

[−3 + 4 · 0 + 3] + 62 [3 + 4 · 12 + 33] = 0

gdzie i = 0, 2, 4.

Zadanie 2. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): I=

Z

3 1

 2  x − 3x + 5 dx ,

a) metodą prostokątów środkowych, b) metodą trapezów, c) metodą Simpsona.

Zadanie 3. Stosując wzory Newtona–Cotesa przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia, obliczyć całkę: I=

Z

2

(−8x3 + 4x2 + 20x + 8)dx

−1

Odpowiedź: Dla stopnia n = 3: h = 2−(3−1) = 1, x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, f0 = 8 + 4 − 20 + 8 = 0, f 1 = 8, f2 = −8 + 4 + 20 + 8 = 24, f3 = −64 + 16 + 40 + 8 = 0. Korzystając ze wzoru Newtona–Cotesa dla n = 3 otrzymujemy:   1 1 3 3 I =3·1· · 0 + · 8 + · 24 + · 0 = 36 8 8 8 8

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki

2

Zadanie 4. Obliczyć metodą prostokątów lewych, prawych, środkowych oraz trapezów całki (n – liczba podprzedziałów): Z

Z 2 dx x3 dx, n = 4, , n = 4, 1 x 0 Z 1 Z 3 p x 1 + x2 dx, n = 6, sin πx dx, n = 6, 0 0 Z Z 2π 1 x sin x dx, n = 8, x2 ex dx, n = 8. 3

0

0

Dodatkowo obliczyć powyższe całki stosując metodę Simpsona oraz wzory Newtona–Cotesa (stopnia 3, 4, 5) dla n = 1. Zadanie 5. Stosując trzypunktową kwadraturę Gaussa znaleźć wartość całki I=

Z

√ √ 5+ 3 √ √ (4x − 5+ 3

4

− 2x2 )dx

Czy otrzymany wynik jest dokładny? Dla trzypunktowej kwadratury Gaussa węzły i wagi są następujące: q q ξ0 = −

3, 5

ξ1 = 0, ξ2 =

3 5

w0 = 95 , w1 = 89 , w2 =

5 9

Odpowiedź: Stosując podstawienie

√ √ √ √ √ 5+ 3+ 5− 3 x = mξ + n gdzie m = = 5 2 √ √ √ √ 5+ 3− 5+ 3 √ = 3 n= 2  √ √ √ √  sprowadzamy całkę w przedziale − 5 + 3; 5 + 3 do całki w przedziale h−1; 1i Po zastosowaniu trzypunktowej kawadratury Gaussa do otrzymanej całki ostateczny rezultat wynosi √ √ 5 5 8 1000 5 I = 5( · 0 + · 30 + · 522) = . 9 9 3 9 Otrzymany wynik jest dokładny ponieważ trzypunktową kwadraturą Gaussa można całkować ściśle wielomiany do stopnia 5-go włącznie.

R √3+1

ex/2 (sin x − 1) dx dwupunktową √ kwadraturą Gaussa. Wagi wi = 1.0, współrzędne węzłów xii = + − 1/ 3.

Zadanie 6. Obliczyć przybliżoną wartość całki :

√ − 3+1

Zadanie 7. Obliczyć kwadraturą Gaussa całki, przyjmując n = 2 i n = 3: Z

3

1 Z 1 0

dx , x

Z

sin πx dx,

0

2

x3 dx, Z

0

Z

0

2π

3

x

p

x sin x dx,

1 + x2 dx, Z

0

1

x2 ex dx.

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki

3

Zadanie 8. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): I=

Z

3

9

 x2 − 12x + 36 dx ,

a) metodą Simpsona, b) metodą dwupunktową Gaussa. c) Wyznacz błąd bezwzględny dla każdego z przypadków wiedząc, że dokładne wartości całek wynoszą: I = 18.0 . Odpowiedź: a) Metoda Simpsona: Z

3

Z

9

 x2 − 12x + 36 dx =

3

9

(x − 6)2 dx =

 9−3  (3 − 6)2 + 4 · (6 − 6)2 + (9 − 6)2 = 18 6

b) Metoda Gaussa: w1 = w2 = 1.0 √ √ 12 3 9−3 x1 = − · =6− 3 2 3 2 √ √ 12 3 9−3 x2 = · =6+ 3 + 2 3 2  2 √  f1 = 6 − 3 − 6 = 3 f2 = Z

3

9



6+

(x − 6)2 dx =

2 √  3 −6 =3

9−3 (1 · 3 + 1 · 3) = 18 2

c) Błąd bezwzględny dla obu metod wynosi: ∆I =| Ie− I |= 0...