Zadania z szeregów liczbowych. PDF

Preview

Summary

Download Zadania z szeregów liczbowych. PDF

Description

1

Zakład Matematyki Dyskretnej, FTiMS, PG

Zadania z szeregów liczbowych. Zadanie 1 Zbadaj zbieżność szeregu. O ile to możliwe, znajdź jego sumę. a)

∞ P

1 (3n−2)(3n+1)

b)

∞ P

7n +3n 10n

f)

n=1

e)

n=1

i)

n=2

ln (1 −

∞ P

1 n(n+1)

n=1

j)

∞ P

m)

n=1

(0.999998)n

∞ P

( 17 −

√ √ 2 − 3)n

q)

∞ P

n ln n+1

∞ P

√ ( n+1 2 −

∞ P

1 n2 +5n+6

n=1

g)

d)

k)

n=1

(− 34 )n+1

√ 2)

n+2

n=0

∞ P π ( πe e )n

r)

n=0

ln (1 + n1 )

∞ P

h)

√1 √ n=1 (n+1) n+n n+1

l)

∞ P

1) sin π(2n− 4

∞ P

( 31n −

n=1

∞ 2n+1 P 3

n)

∞ P

n=1

n=1

n=0

∞ √ P

n=0

c)

1 √ √ n+ n+1 n=1

n=1

p)

1 n2 )

∞ P

∞ P 2+22 +23 +...+2n 3n

ł)

∞ P

o)

23n+2

n=0

∞ P 2n sin 3pn , p ∈ [0, 3π] n=1

s)

∞ P

n=1

a)

∞ P n+2

b)

∞ P

f)

n+100

n=2

100n2 +1

n=1

n=1

e)

∞ P (−1)n n2

(1 − n1 )n

∞ P

n=0

πn en +3n

c)

∞ P

1000

n=2

n=2

g)

∞ q P n n

d)

n ln n

∞ P n ( 3n+1 n+2 )

h)

∞ P

n=2

n=1

arc tg n arc ctg(−n)

Zadanie 3 Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnij podane równości. n100 n n→∞ 3

a) lim

5n n→∞ n!

=0

b) lim

=0

(2n)! n n→∞ n

c) lim

=∞

d) lim

n→∞

(3n)!(5n)! (7n)!

Zadanie 4 Korzystając z kryterium całkowego zbadaj zbieżność szeregów. a)

∞ P

1 3n+1

b)

∞ P

1 n ln n

f)

n=1

e)

∞ P

n=1 ∞ P

n=2

n=2

1 4n2 +9

c)

1 n ln n ln (ln n)

g)

∞ P n

d)

∞ P √n 1+n n=1

h)

n=1

en

∞ P arc tg n

n=1 ∞ P

n=1

n2 +1

2n 16n −1

Zadanie 5 Wskaż, które szeregi są zbieżne. a)

∞ P 1

b)

∞ P

f)

n

1 √ e 3 n=1 n

n−3

∞ P

(n − 10)− 2

2

c)

n=1

n=3

e)

∞ P

n=11

∞ P 1

d)

∞ π P n

h)

n4

g)

n=1

ne

1 √ 3 n

∞ P

1 √ π e n

n=1

n=1 1

∞ P

n=1

=∞

1 n(n3 +1)

√

Zadanie 2 Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnij, że podane szregi są rozbieżne.

1 ) 3n+1

2

Zakład Matematyki Dyskretnej, FTiMS, PG

Zadanie 6 Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność następujących szeregów. a)

∞ P

1 n2 +n

b)

∞ P

arc tg n n2

f)

n=1

e)

∞ P

n=1 ∞ P

√1 n+1

n sin

c)

d)

∞ P 2+sin n

h)

n2

1 n3

g)

n

n=1

∞ P n+1

n2 −n

n=2

n=2

n=1

n=1

∞ P ln n

∞ √ P 3

n tg

1 n

n=1

Zadanie 7 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadaj zbieżność następujących szeregów. a)

∞ P 2n3 −n2 +2

b)

∞ P

f)

n=1

e)

n=1 ∞ P

i)

n5 −n3 +3

∞ P

n=1

arc sin n1

∞ P

1 n(n+1)

c)

√

2

j)

(1 − n sin

1 n)

∞ (3n +1)3 P

n=1

n=1

d)

∞ P arc ctg n n

h)

∞ P

1 √ n

l)

n=1

n=1

ln ( n n+1 2 )

∞ n n P 3 −2

g)

n=1

k)

(5n +1)2

4n −3n

n=1

n

∞ P

(1 − cos 1n )

n=1

∞ √ P n

( 3 − 1)

n=1

n

∞ P

1 n

sin

n=1

Zadanie 8 Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadaj zbieżność następujących szeregów. a)

∞ n P 2

b)

∞ P

f)

n!

n=2

c)

∞ n P 3 n!

g)

n2

ln n πn

n=1

∞ (n!)3 P

d)

∞ n n P 2 +3

h)

n=1

n=1

n=1

e)

∞ n P 2

nn

n=1

(2n)!

3n +4n

∞ P nn n!

n=1

∞ P (2n)!(3n)! (5n)!

n=1

Zadanie 9 Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadaj zbieżność następujących szeregów. a)

∞ P n−1 n ( 2n+1 )

b)

∞ P

f)

n=1

n=1

e)

n ( n+2 n+3 )

2

∞ P

tg2n+1 ( π6 + n1 )

j)

3n +4n 2n +5n

∞ P

n( 35 )n

d)

∞ √ P n+1

h)

n=1

(arc cos n1 )n

g)

∞ P

1 lnn n

k)

nn +1

n=1

∞ P

1 nn

∞ P n100 πn

n=1 ∞ P

lnn (2 + 1n )

n=2

l)

∞ P ln nn

lnn n

n=2

n=123

n=2

n=1

c)

∞ P

n=1

n=1

i)

∞ P

Zadanie 10 Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnij zbieżność następujących szeregów. a)

∞ P (−1)n

b)

∞ P

f)

n=1

e)

3n+1

n+2 n (−1)n+1( 3n−1 )

n=1

∞ P

(−1)n+1 nn+2 2 +3

c)

1 (−1)n n−ln n

g)

n=1 ∞ P

n=1

∞ P cos√nπ

d)

∞ P (−2)n

h)

n=1

n=1

n n

n!

∞ P

(−1)n+1 lnnn

n=1

∞ P ln (n(−1)n ) πn n=2

3

Zakład Matematyki Dyskretnej, FTiMS, PG

Zadanie 11 Zbadaj zbieżnośc podanych szeregów. Podaj jej rodzaj (bezwzględna/warunkowa...).

a)

∞ P (−2)n

b)

∞ P

(−1)n 4nn

f)

(−1)n 3nn

j)

n2

∞ P

n=1

ł)

∞ P (−1)n+1

g)

n (−1)n n lnln(ln n)

∞ P

h)

n3 +1

n)

∞ P

n=1

(−1)n nn+1 3 +n

l)

∞ P

o)

(2n)!

(−1)n n!

∞ sin ( π +nπ) P 2

n=1

∞ P (−1)n

n=1

∞ P (−1)n n2

n=1

d)

3n+2

n=1

k)

n ln2 n

n=2

∞ P ( 1−2n)n

n=1

∞ P cos nπ

m)

n ln n

n=2

∞ P

n

3 2

n=2

n=1

i)

c)

n=1

n=1

e)

∞ P (−1)n+1

n2 +1

∞ P cos nπ n

n=1

(− ln1n )n

∞ P

(−1)n (1 − cos n1 )

n=1

n=2

Zadanie 12 Oblicz iloczyny podanych par szeregów. a)

∞ ∞ P P 1 1 2n 2n , n=0

n=0

b)

∞ ∞ P P (−1)n 1 3n , 3n

n=0

c)

n=0

Sumy ważniejszych szeregów liczbowych: ∞ P

n=1 ∞ P

n=1 ∞ P

n=0 ∞ P

n=0 ∞ P

1 n(n+1)

π2 6

1 n2

=

1 n!

=e

(−1)n n!

=1

=

(−1)n+1 n

n=1 ∞ (−1)n+1 P 2n−1 n=1

1 e

= ln 2 =

π 4

∞ ∞ P P (−1)n 1 3n , 3n

n=2

n=3

d)

∞ ∞ P P 1 1 2n 2n ,

n=3

n=2...