Zahlensysteme und -formate PDF

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Zusammenfassung Zahlensystem und -formate WiSe 2019/2020...

Description

Zahlensysteme und -formate - Zahlensysteme für Computer - Dezimalzahlen im Stellenwertsystem - Ziffern 0 bis 9 - Stellenwertsystem: jede Stelle in einer Zahl wird durch bestimmte Wertigkeit bestimmt -> Eigenschaften Stellenwertsystem: - es gibt Ziffer mit Wert Null - Verschiebung um Position nach links entspricht einer Multiplikation mit Basis b - Verschiebung um Position nach rechts entspricht einer Division mit Basis b - Dezimalzahl = a0*100 + a1*101 + a2*102 + a3*103 + … + an-1*10n-1 -> bei Null anfangen zu zählen - Binäre Zahlen - Ziffern 0 und 1 - Binärzahl = a0*20 + a1*21 + a2*22 + a3*23 + … + an-1*2n-1 - zur Unterscheidung: Basis des Zahlensystems in Suffix schreiben - Hexadezimalsystem - Basis 16 - Ziffern 0 bis 9 und A bis F - Hexadezimalzahl = a0*100 + a1*161 + a2*162 + a3*163 + … + an-1*16n-1

- Oktalsystem - Basis 8 - Ziffern 0 bis 7 - spielt nur untergeordnete Rolle - Oktalzahl = a0*80 + a1*81 + a2*82 + a3*83 + … + an-1*8n-1 - Bits und Bytes - Stelle in binärer Zahlendarstellung: Bit - Byte: besteht aus 4 Bits - 2 Byte: ein Wort - 2 Wörter: ein Langwort - wichtige binäre Maßeinheiten

Bezeichnung

Abkürzun g

… entspricht

Anzahl in Byte

2n

1 Kilobyte

kB, KB

1024 Byte

1024

210

1 Megabyte

MB

1024 KB

1048576

220

1 Gigabyte

GB

1024 MB

1073741824

230

1 Terabyte

TB

1024 GB

1099511627776

240

1 Petabyte

PB

1024 TB

1125899906842624

250

1 Exabyte

EB

1024 PB

1152921504606846976

260

1 Zettabyte

ZB

1024 EB

1180591620717411303424

270

1 Yottabyte

YB

1024 ZB

120892581961462917470617 6

280

- Least Significant Bit: niedrigwertigste Bit einer Binärzahl -> aus Wertigkeit 20: LSB = 1: ungerade Zahl; LSB = 0: gerade Zahl - Most Significat Bit: höchstwertigste Bit einer Binärzahl

- Umwandlung von Bits -> Tabellen hilfreich - Umwandlung zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem: Vierergruppen von Bits betrachen

Binär

Dezimal

Oktal

Hexadezimal

0000

0

00

0

0001

1

01

1

0010

2

02

2

…

…

…

…

0111

7

07

7

1000

8

10

8

1001

9

11

9

1010

10

12

A

1011

11

13

B

1100

12

14

C

1101

13

15

D

1110

14

16

E

1111

15

17

F

- Umwandlung von Bytes -> Tabellen hilfreich; Achtergruppen von Bits - Konvertierung zwischen den Zahlensystemen -Stellenwertdarstellung verallgemeinert: für jede beliebige Basis b kann eine allgemeingültige Summenformel für die Stellenwertdarstellung angegeben werden, indem die bisher konkrete Angabe des Stellenwerts durch eine Potenz von b ersetzt wird -> z = a0*b0 + a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 + … ( z ist ganze Zahl) - Reelle Zahlen - bestehen aus Vorkomma- und Nachkommaanteil - Vorkommaanteil: in b-adischer Darstellung -Nachkommaanteil: entsprechender Stelligkeit

als

Summe

der

Koeffizienten

multipliziert

-> bsp: 0,62510: 6*0,1+2*0,01+5*0,001 = 6*10-1+2*10-2+5*10-3 -> zn = a-1*b-1 + a-2*b-2 + … + a-m+1*b-m+1 + a-m*b-m

- Verfahren für das Umrechnen - Division mit Rest: Restwertmethode - Konvertieren Vorkommaanteil

mit

- Konvertieren Nachkommaanteil

- Rechnerinterne Zahlenformate - negative ganze Zahlen - Vorzeichen muss ins Binäre umgewandelt werden -> Einerkomplement - einfachster Weg einen vorzeichenbehafteten Wert in eine binäre Darstellung zu konvertieren -> Vorzeichen wird in einem einzelnen binären Wert kodiert: 0: positiv; 1: negativ -> im MSB gespeichert -> Zweierkomplement - entspricht für alle n

∈

N

dem Einerkomplement

-> identisch bei positiven Zahlen - negative Zahlen: erst Einerkomplement bilden, dann 1 subtrahieren -> doppelte Darstellung 0 fällt weg -> Intervall gegenüber dem Einerkomplement vergrößert; unsymmetrisch - häufigste Darstellung - bei Reellen Zahlen: Normalisierung - Nachkommanormalisierung

- Komma zwischen z v und zn wird soweit verschoben, bis links davon eine Null steht und rechts vom Komma eine Ziffer ungleich Null - Verschiebung wird in Exponent vermerkt; jede Verschiebung der Kommastelle im Dezimalsystem entspricht einer Zehnerpotenz (bsp. -4,75 = -0,475 * 101) - Ziffernfolge aus Vor- und Nachkommaanteil heißt Mantisse - Gepackte Vorkommanormalisierung Im IEEE-754-Format vorkommanormalisiert dargestellt

werden

Gleitkommazahlen

-> vor Komma steht immer eine 1, das erste Mantissen- Bit ist ungleich Null - Codierung des Exponenten als Charakteristik - Zweierkomplement nicht nutzen!! - Exponent wird als Dualzahl gespeichert -> Wert wird um konstanten Bias verringert : C = E + Bias; E = C - Bias - Besonderheiten der Charakteristik C - C = 0..02: alle Bits der C gleich Null. Fall dass auch Mantisse gleich Null: gespeicherte Zahl wird als Null interpretiert - C = 1..12: alle Bits der C gleich Eins. Fall dass Mantisse gleich Null: gespeicherte Zahl als Unendlich interpretiert - Genauigkeitsverluste - durch begrenzte Anzahl an Bits für Speicherung rationaler Zahlen...