Zusammenfassung Datenerhebung und Statistik PDF

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Sommersemester 2019, FOM Hagen, Dr. Christian Soost...

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Zusammenfassung - Sauer Datenerhebung & Statistik (FOM Hochschule für Oekonomie & Management)

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Datenerhebung und Statistik Wissenschaftstheorie Drei Schlussarten der Wissenschaft Induktion = Sammlung vieler Einzelbeobachtungen, Verallgemeinernde Schlussfolgerung + Nahe an der „Wirklichkeit“ - praktisch, aber nicht unfehlbar, Einzelaussagen können nie sicheres Wissen erzeugen Beispiel:

Katze streicheln  weiches Fell; noch eine Katze streicheln  auch weiches Fell  alle Katzen haben weiches Fell

Abduktion = Lose verknüpfte Einzelbeobachtungen werden zu einer Theorie verknüpft, „Spekulation“ + kreativ, schafft neues Wissen - Fehleranfällig Beispiel:

eine weiße Katze sitzt auf dem Sofa  ein weißes Haar liegt auf dem Teppich  es muss von der Katze sein!

Deduktion = aus Allgemeinaussagen (Theorie) Hypothesen logisch abgeleiten, logische Schlussfolgerung + sicheres Wissen bei korrekter Ausführung - keine wirklich neuen Erkenntnisse möglich Beispiel:

ich bürste eine weiße Katze  die Haare, die in der Bürste hängen bleiben, sind weiß

Werte in der Wissenschaft Nachprüfbarkeit = wissenschaftl. Ergebnisse nicht glauben; jeder soll es nachprüfen können Kritik = höchste Standards setzen, um bessere Antworten und Fragen zu finden Kreativität = „Neuland des Denkens“, „Natur versteckt sich“ Bescheidenheit = andere Erklärungen können und werden irgendwann besser sein als die jetzigen Pseudo- oder Anti-Wissenschaft - Aussagen müssen geglaubt und dürfen nicht überprüft werden - Autoritäten, die nicht kritisiert werden oder unfehlbar sind - Kritik wird bestraft

Theorie

= Sammlung von Hypothesen vorläufige Antwort auf offene Frage interessiert an kausalen Beziehungen

- nicht-sachliche Methoden oder Meinungsbildung - einige Hypothesen sind „tabu“ - Recht zur freien Rede eingeschränkt - Nachdenken wird behindert - Falsifikation wird unmöglich gemacht

kaum in vollem Umfang (auf einmal) prüfbar z. B. Darwins Evolutionstheorie

gute Theorie: ermöglichst präzise Vorhersagen, stiftet Nutzen in der Welt Hypothese

= aus Theorie abgeleitete Aussage weniger umfangreich Vermutungen über Sachverhalt überprüfbar  nicht beweis-/bestätigbar, aber falsifizierbar (also zeigen, dass sie falsch ist)

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Messen Skalenniveaus

, Größen können im Verhältnis stehen

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Univariate Deskriptivstatistik  gibt Überblick über Daten, hilfreich bei großen Datenmengen Lagemaße  gibt die „Lage der Mitte“ oder „zentrale Tendenz“ an, 1 Wert soll alle Werte gut repräsentieren Arithmetisches Mittel Auch: Mittelwert, aM, Durchschnitt - ab intervallskalierten Daten verwendbar - Berechnung: Summe der Einzelwerte geteilt durch die Anzahl der Werte - blaue Balken = jeweilige Abstände zum Mittelwert  Summe = Null - Länge der Balken überhalb der Mittelwertslinie = Länge der Balken unterhalb der Mittelwertslinie Median = mittlerer Wert einer Verteilung, zudem es gleich viele kleinere und größere Werte gibt - ab ordinalskalierten Daten verwendbar 7

- Vorteil gegenüber Mittelwert: Median sehr robust, lässt sich von Extremwerten weniger beeinflussen (Beispiel: durchschnittliches Gehalt, wenn Bill Gates dabei ist) Modus / Modalwert = häufigster Werte einer Verteilung - verwendbar ab nominalskalierten Daten Streuungsmaße Mittlere Absolutabweichung (MAA) = durchschnittliche Absolut-Abweichung (Vorzeichen ignorieren) zwischen dem Mittelwert und den gemessenen Werten Varianz = durchschnittliche quadrierte Abweichung zwischen dem Mittelwert und den gemessenen Werten Standardabweichung (sd) = Quadratwurzel der Varianz  sd = √var - kleine Standardabweichung = gemessene Werte liegen nahe am Mittelwert - große Standardabweichung = gemessene Werte streuen weit um den Mittelwert Die Normalverteilung z-Werte  Transformation des Wertes x in den Wert z µ = Mittelwert, sd = Standardabweichung, i = Person, x = Wert

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Die Normalverteilung - Gestalt

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Zusammenhangsmaße bei metrischen Variablen Zusammenhang = wenn ein Wert hoch ist, ist der andere Wert auch hoch

 Rückschlüsse möglich  KEINE Rückschlüsse möglich

Abweichungs-Rechtecke

Kovarianz = durchschnittliches Rechteck = durchschnittliches Produkt der Abweichungen von X u. Y = Maß für linearen Zusammenhang zweier Variablen  unabhängig von der Anzahl der Werte  kein minimaler und maximaler Wert

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Kovarianz ist somit „unge-deckelt“  Aussage, ob sie groß ist, ist schwierig Korrelationskoeffizient „r“ Wertebereich von -1 (perfekte negative lineare Korrelation) über 0 (kein linearer Zusammenhang) bis 1 (perfekte positive lineare Korrelation) beide Variablen werden z-transformiert

 Stärke und Richtung des Zusammenhang wird unabhängig von Skalierung / Varianz der Variablen  unempfindlich gegenüber Maßstabsunterschieden in den untersuchten Merkmalen  Korrelation wird dadurch nicht beeinflusst

Korrelation = „durchschnittliches Rechteck“ der z-transformierten Variablen

Variablen Aufaddieren aller Anzahl Rechtecke grobe Faustregel von J. Cohen: r ≈ ±.1  „schwach“ r ≈ ±.3  „mittel“ ab r ≈ ±.5  „stark“ r = +1 / -1  perfekte Korrelation (alle Messwertpaare liegen auf einer Geraden)

Einschränkung des Ranges Verringerung des Wertebereichs und damit der Streuung  Verringerung der Höhe der Kovarianz und damit der Korrelation  eine von zwei zu korrelierenden Variablen hat fast keine Varianz  kleine Korrelation  wenn zwei Variablen korrelieren, heißt das nicht (unbedingt), dass es einen ursächlichen (kausalen) Zusammenhang gibt! Beispiel: Babys – Störche

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Zusammenhangsmaße bei dichotomen Variablen

 „Das Chancenverhältnis Odds-Ratio für ein einwandfreies  Produkt beträgt 1,25 zu 1.“

Chancenverhältnis misst die Stärke des Zusammenhangs zweier dichotomer (zweiwertiger) Variablen Chance = Verhältnis zweier Häufigkeiten oder relative Häufigkeit OR  Wert von 1 Variablen hängen nicht zusammen, unabhängig von einander Wert größer als 1  Zusammenhang positiv (gleichsinnig) Wert kleiner 1  Zusammenhang negativ (gegensinnig) Untere Grenze von OR = 0 Obere Grenze von OR = unendlich Interpretation von OR  Anordnung der Kategorien beachten! beide Werte von OR sind Kehrwerte voneinander

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Einflussanalyse (Regression)  will Vorhersagen treffen + Einflussfaktoren bestimmen  Güte der Vorhersage / „Trefferquote“ wichtig!

Kriterium = soll vorhergesagt werden = abhängige Variable (AV)

Prädiktor = Variable, um vorherzusagen = unabhängige Variable (UV)

Vorgehensweise anhand des Beispiels:

Annahme des Mittelwertes, „wenn ich nichts weiß“ bzw. wenn Prädiktor unbekannt

Welchen Fehler mache ich damit (insgesamt)?

 gut als Schätzwert

 „gut sitzende“ Gerade in die Daten legen

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 Vergleich zweier Varianzen (mit + ohne Prädiktor)

 grüner Balken = Verbesserung, nachdem Prädiktor bekannt

m = Steigung = Einflussstärke

x = Prädiktorvariable

t = Vorhersage für Prädiktor = 0

Bestimmtheitsmaß R²  Zu wie viel Prozent wird die Kriteriumsvariable durch die Variation der X-Werte linear erklärt?

 Anteil der Verbesserung (der Vorhersage)

Perfekte Korrelation (R² = 1)  alle Punkte auf der Geraden  100 % Fehlerverbesserung Schlimmster Fall (R² = 0)

 Vorhersage genauso gut, als wie wenn man Mittelwert des Prädiktor zur Vorhersage individueller Werte heranzieht  0 % Fehlerverbesserung

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Regressionsanalyse in R

 Einflussstärke Estimate = Schätzwert der Steigung

Achsenabschnitt 

Beispiel:

Steigung der Geraden  pro Ehejahr mehr kommen im Schnitt 0,11 Seitensprünge dazu Bei 0 Ehejahren hat man 0,55 Seitensprünge (Intercept)

Multiple Regression  3. Eigenschaft der Regressionsanalyse: Wichtigkeit einzelner Prädiktoren feststellen  jeder Prädiktor hat ein Einflussgewicht (Regressionsgewicht)  jeweils bereinigt von den Werten der anderen Prädiktoren Vgl. Babies – Störche  Babies – Ländlichkeit und Störche (Störche in Prädiktor „Ländlichkeit“ enthalten)

Faustregeln zur Effektgröße: ab R² ≈ .02

kleiner Effekt

ab R² ≈ .13

mittelstarker Effekt

ab R² ≈ .26

großer Effekt

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Explorative Datenanalyse Ziele: Aufdecken von Anomalien Daten überblicken Aufdecken von Mustern

(Ausreißer, Abweichungen von der Normalverteilung) (generelle Trends) (Gruppenunterschiede in den Trends z. B. durch Brushing / farbig markieren)

Diagrammtypen Histogramm  um die Häufigkeitsverteilung metrischer / kontinuierlicher Variablen darzustellen - Daten werden in Klassen eingeteilt und diese abgebildet (keine ideale Anzahl an Klassen) - für nicht-kontinuierliche Variablen  Balken-Diagramm

Hitzediagramm / Heatmap  Tabelle wird anhand eines „farbigen Schachbretts“ dargestellt, Werte der Zellen werden mit einer Farbe aus einem Farbverlauf dargestellt + guter Überblick über Verteilung der Daten - unübersichtlich bei großen Tabellen

Streudiagramm  stellt Wertepaare zweier metrischer Variablen dar - Abhängigkeiten (Korrelationen) zwischen Variablen gut erkennbar - „Glättungslinie“ zeigt den „rollenden Mittelwert“ und somit einen Trend + „ehrliche“ Darstellung der Abhängigkeit der beiden Variablen - Stärke der Abhängigkeit nicht mit bloßem Auge präzise messbar

- Facettierung = Diagramm nach Gruppen ausspalten - Farbe und Größe der Punkte  weitere Variablen

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Streudiagramm-Matrix  Kombination mehrerer Streudiagramme, um die Zusammenhänge zwischen mehreren Variablen-Paaren zu visualisieren

Boxplot  prägnante Zusammenfassung einer Verteilung in fünf Werten (Median, 1. Und 3. Quartil, obere und untere Randwerte)  Median = zentrale Tendenz, IQR = Streuung, Antennen = Extrembereiche + prägnant, robust (Median, Interquartilsabstand) - Berechnung der „Antennen-Länge“ nicht intuitiv einleuchtend und teilweise unterschiedl. definiert

innere 50% Höhe (oder Breite) der Box  Streuung der Werte

Balkendiagramm  vergleicht einzelne Werte pro Gruppe + optisch gut erkennbar - informationsarm, Länge der Balken irreführend wenn die Null willkürlich ist (intervallskalierte Variablen)  Zusammensetzung ungefähr erkennbar

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 Items innerhalb einer Kategorie gut vergleichbar z. B. Produkte in versch. Ländern

 Fokus auf einzelnen Items

Liniendiagramm  graphische Darstellung eines funktionellen Zusammenhangs zweier Merkmale in Linienform  Punkte auf Linie oft sinnvoll, gut geeignet für Zeitverläufe + komprimierte Darstellung vieler Einzelwerte möglich, informationsreich, Trendverläufe erkennbar - Linie suggeriert kontinuierlichen Verlauf, in Wirklichkeit können es aber disjunkte (zeitlich getrennte) Daten sein  y-Achse trunkiert = abgeschnitten

Inferenzstatistik  Ziel: von vorhandenen Daten / Stichproben auf Grundgesamtheit schließen Stichproben und Population (= Grundgesamtheit) Stichprobe = kleine Teilgruppe der Population Grundannahmen:  je größer die Stichprobe, umso wahrscheinlicher kommt die Stichproben-Statistik dem Populationswert nahe  Ziehungen müssen unabhängig voneinander (= Wahrscheinlichkeit einen best. Wert zu ziehen, hat keinen Einfluss darauf, welchen Wert ich als nächstes ziehe)  Zufälligkeit (jeder Wert der Population sollte dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, gezogen zu werden) Der zentrale Grenzwertsatz  Verteilung der Mittelwerte von Stichproben nähert sich immer einer Normalverteilung an (unabhängig von der Verteilung in der Population) Beliebige Verteilung 

Normalverteilte Stichprobenmittelwerte 

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Standardfehler (SE) = Streuung / Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte Kleiner Standardfehler

 Mittelwerte der verschiedenen Stichproben variieren nur gering (nahe am Mittelwert der Population) Großer Standardfehler  Mittelwerte der verschiedenen Stichproben variieren stark (je größer der Standardfehler, desto ungenauer der Schluss auf den Populationswert) Bestimmt von zwei Faktoren: Standardabweichung der Population: Wenig Streuung in der Population  wenig Streuung in den Stichprobenmittelwerten Je größer Standardabweichung / Varianz in der Population  umso größer der Standardfehler Stichprobengröße je größer die Stichprobe  umso kleiner die Streuung der Stichprobenmittelwerte/der Standardfehler steigende Stichprobengröße  Mittelwert der Stichproben nähert sich dem wahren Mittelwert Kleine Stichprobe  große Streuung der Stichprobenmittelwerte Formel für Standardfehler (wenn sd der Population und n der Stichprobe gegeben)

Das „Nullhypothesen-Signifikanz-Testen“ - Hypothesen können nur falsifiziert werden  es wird die Gegen- bzw. Nullhypothese getestet - man hofft, die „nicht gewollte“ H ₀ zu verwerfen  damit wird indirekt die eigene Hypothese gestärkt (nicht verifiziert!) p-Wert

„ab dem kritischen Wert bin ich bereit, die Hypothese H₀ zu verwerfen“ i.d.R: 5% auf einer bzw. 2,5% je Seite 

 Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit unserer (oder noch extremerer) Daten, wenn die H₀ gilt.

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↓ ist die Wahrscheinlichkeit sehr klein bzw. sehr unwahrscheinlich, muss die H₀ falsch sein, i h f i

p-Wert ermitteln - z-Wert mit Formel ausrechnen - in R: pnorm(z-Wert)  Prozentrang - 100 - Prozentrang bzw. 1-pnorm(z-Wert) = p-Wert Einseitiges und zweiseitiges Testen Einseitiger Test prüft  gerichtete Hypothese Zweiseitiger Test prüft  ungerichtete H.

z. B. … sind schlauer als… z. B. Intelligenz v. A entspricht nicht der von B (ungleich)

Meistens:

3 Schritte des Hypothesentestens 1) Hypothese + Gegenhypot. aufstellen 2) Stichprobenverteilung erstellen (viele Stichproben ziehen mit best. Anzahl n) 3) Möglichkeitenraum der H₀  mein Ergebnis damit abgleichen  bin ich im Randbereich? H₀ verwerfen

Alpha- und Beta-Fehler Zwei mögliche Fehler beim (inferenzstatistischen) Testen: Fehlalarm / „Alpha-Fehler“  man meint fälschlicherweise, einen Effekt entdeckt zu haben Fehlender Alarm, Übersehfehler / „Beta-Fehler“  man entdeckt einen vorhandenen Effekt nicht Effekt = H₀ verwerfen können

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Einflussgrößen des Beta-Fehlers: - Stichprobengröße: je größer die Stichprobe, umso „schmäler“ die Verteilung  Beta wird kleiner - Effektgröße: ist Effekt in Population relativ klein, besteht die Gefahr, ihn nicht zu entdecken Kalkulation von Vertrauensintervallen = Verfahren, um einen Populationsparameter zu schätzen Vertrauensintervall = Schätzbereich bei dem wir zu 1- α % davon ausgehen, dass der Populationsparameter enthalten ist Typischerweise: 95%  α = 0,05  „mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der Mittelwert der Population in dem Intervall“ Berechnung der UG und OG des Konfidenzintervalls Untere Grenze:

- qnorm(α /2) x SE X = Mittelwert 1-α = Vertrauensintervall Obere Grenze:

+ qnorm(1-(α /2)) x SE Angabe: Das Konfidenzintervall erstreckt sich von …UG… bis …OG… Kritik am Signifikanzprinzip Je größer die Stichprobe  desto schneller kann ich verwerfen  desto kleiner ist der Standardfehler (Streuung der Stichprobenverteilung)

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SE = Standardfehler

Typische Kennwerte eines Krebstest

90% Zuverlässigkeit  Wie viele der Kranken erwische / identifiziere ich?  p-Wert

1% Grundrate  Nur 9 von 108 haben tatsächlich Krebs

Wie viele der Kranken erwische / identifiziere ich? VS. wenn ich ein positives Ergebnis habe, zu welcher Wahrscheinlichkeit bin ich wirklich krank?

 wenn ich ein positives Ergebnis bekomme  Hypothesen-Wert

p(D|H)  Wahrscheinlichkeit der Daten WENN H₀ gilt = p-Wert p(H|D)  Wahrscheinlichkeit der Hypothese H₀ WENN die Daten vorliegen = Hypothesen-Wahrscheinl.keit

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Unterschiede von Mittelwerten testen Die t-Verteilung Wenn Populationsvarianz unbekannt df = Stichprobengröße  muss aus Stichprobenvarianz geschätzt werden  t-Test notwendig = kleine Korrektur („Dickmacher“) beim Schätzen  geschätzte Streuung sonst etwas zu klein (große Stipro  nur wenig Korrektur nötig kleine Stipro  mehr Korrektur nötig) t-Verteilung = der Normalverteilung ähnlich, geht mit zunehmender Stichprobengröße in die Normalverteilung über t-Test  Verwendung bei kleinen, „geraden“ (im Sinne einer schönen Verteilung) Stichproben

Prüfgröße (der sog. t-Wert) ist analog zum z-Wert zu interpretieren In Außenbereichen: mehr Wahrscheinlichkeitsanteil bei der t-Verteilung  je größer die Stichprobe, umso geringer der Effekt

t-Test bei unabhängigen Stichproben z. B. Vergleich zweier Mittelwerte aus unabhängigen Stichproben Beispiel: Parken Frauen schneller ein als Männer?  t-Test soll prüfen, ob Unterschied statistisch signifikant  Nullhypothese, dass sich die Mittelwerte in der Population nicht unterscheiden, wird getestet  Überprüfung, ob die Differenz der Mittelwerte größer als ein kritischer Wert ist (meist α = 5%)

t-Wert wie z-Werte interpretieren 

↓p-Wert

 kritischer Wert z. B. t > 2 Wenn p-Wert größer 0,05  nicht signifikant!

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Bedeutung:  Effekt nicht signifikant! H₀ beibehalten p-value  Wahrscheinlichkeit unserer Daten (Excel-Tabelle) beträgt ca. 77 % t-Wert  nahe an Null t-Test bei abhängigen Stichproben  i. d. R. Vorher-Nachher-Messung z. B. Veränderung von Personen

p < α  statistisch signifikant  führt zu Verwerfung der H₀, da Ergebnis unwahrscheinlich, wenn H₀ gilt Statistisch signifikant heißt, dass ein Stichprobenergebnis unwahrscheinlich unter einer getesteten Hypothese ist

Effektstärke beim t-Test

 „Überlappung“ der Kurven verdeutlicht Stärke des Effekts  Größe des Unterschieds (Überlappung) abhängig von: Mittelwerte (μ1 – μ2) und Streuung Ø(sd1, sd2) Cohens d  Effektgröße von Mittelwertsunterschieden zwischen zwei Gruppen  gibt an, um wie viele SD-Einheiten der Mittelwert der einen Gruppe größer ist als der Mittelwert der zweiten Gruppe Größe des Abstandes der Mittelwerte μ1 – μ2 (Reihenfolge egal)

Øsd (Streuung)

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Varianzanalyse (ANOVA): Mittelwert bei mehr als 2 Gruppen testen  erweitert den t-Test, gleiches Ziel: Mittelwerte vergleichen, Unterschiede feststellen  zerlegt Gesamt-Varianz von zwei oder mehr Gruppen Unabhängige Variable (UV) = Gruppierungsvariable  kann 3+ Gruppen umfassen z. B. Schminkstatus Aufteilung der Streuung bei der Varianzanalyse Gesamt-Quadratsumme = Gesamt-Streuung (SS-T)  Streuung der abhängigen Variable  wie sehr unterscheiden sich die Messwerte über...