Zusammenfassung Statistik: - Kapitel 14 - Schützung von Parametern PDF

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2 33209 WS 2012/13 14 | Schätzung von Parametern

 Brückenschlag von der Stichprobe zur Grundgesamtheit : Verwendung von Verteilungsmodellen, die das Verhalten eines Merkmals X in der Grundgesamtheit charakterisieren.  Von Interesse ein mit bezeichneter unbekannter Parameter der Verteilung von X, z.B. der Erwartungswert, die Varianz oder ein Anteilswert p  Stichprobeninformation wird zu einer Stichprobenfunktion aggregiert.  Die abgeleiteten Schlüsse sind natürlich nicht fehlerfrei und je größer die Stichproben, desto zuverlässiger die abgeleiteten Schlüsse. Punktschätzungen  Man verwendet die Realisation einer Stichprobenfunktion g(x1, x2, …, xn)  Schätzwert ist die Realisation einer Zufallsvariablen g(X1, X2, …, Xn), die Schätzfunktion, Schätzstatistik oder Schätzer genannt wird. - Die Verwendung von ^ über einer Kenngröße ist in der Statistik als Kennzeichnung von Schätzungen üblich. Gütekriterien für Schätzfunktionen :  Erwartungstreue / Unverzerrtheit: o Beinhaltet, dass der Schätzer im Mittel den unbekannten zu schätzenden Wert genau trifft:

 Verzerrung / Bias: o Differenz, die entsteht, wenn ein Schätzer nicht erwartungstreu ist: o o

Ein Schätzer ist Erwartungstreu, wenn seine Verzerrung Null ist Manchmal ist ein Schätzer zwar verzerrt, allerdings mit einer Verzerrung die gegen Null strebt, wenn der Umfang n des Datensatzes gegen ∞ strebt  asymptotisch erwartungstreu bzw. asymptotisch unverzerrt

 Standardfehler: o Anhand der Varianz oder der Standardabweichung ausgedrückte Variabilität einer Schätzung (kleine Varianz)

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 Entscheidung zwischen Schätzern : Gütekriterium, das sowohl die Verzerrung, als auch die Streuung berücksichtigt  Mittlerer quadratischer Fehler, MSE (mean squared error): o Additive Verknüpfung von Varianz und quadrierter Verzerrung o Man bevorzugt dann den Schätzer, dessen MSE kleiner ausfällt

Schätzung von Erwartungswerten, Varianzen und Anteilen Erwartungswert: - Stichprobenmittelwert liefert eine unverzerrte Schätzung für den Erwartungswert

-

Wenn die Stichprobenvariablen alle unabhängig sind und die feste Varianz 2 haben, dann ist die Varianz der Schätzfunktion V( ) = 2 / n Wegen der Unverzerrtheit des Schätzers , stimmt V( ) mit dem MSE( ) überein

Varianz: - Schätzung der Stichprobenvarianz liefert eine verzerrte Schätzung - Unterschätzt den wahren Wert von 2, allerdings strebt die Schätzung mit steigendem Umfang n der Stichprobe gegen Null

-

Zur unverzerrten Schätzung der Varianz zieht man daher die korrigierte Stichprobenvarianz S*2 heran

Anteile: - Stichprobenmittelwert findet auch bei der Schätzung des Erwartungswertes p = E(X) bernoulli-verteilter Merkmale X Anwendung. - Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen A und mit Wahrscheinlichkeit p = P(A) und 1 – p = P() - Für die Schätzfunktion des Erwartungswertes p gilt:

-

Die Varianz des Schätzers :

Intervallschätzungen  Bei der Intervallschätzung werden die beiden Aspekte „mittlere Lage“ und „Streuung“ einer Schätzfunktion auf andere Weise verknüpft: Ermittlung eines Intervalls, das den zu schätzenden Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 1 – enthält.  Intervall soll eine möglichst geringe Länge aufweisen / möglichst klein sein.  Intervallschätzung bei bekannter Varianz: o Für den standardisierten Stichprobenmittelwert Z gilt die Wahrscheinlichkeitsaussage: Seite 2 von 3

o

Daraus folgt, dass der unbekannte Verteilungsparameter mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – im KI (Intervall liegt)

o o o

Gilt aber nur, wenn die Varianz oder Standardabweichung bekannt ist und nicht erst geschätzt werden muss. Die Intervallgrenzen sind Zufallsabhängig. Länge des Intervalls ist gegeben durch:

o o

Mit wachsender Irrtumswahrscheinlichkeit nimmt die Länge zu Mit zunehmendem n wird das Konfidenzintervall schmaler

 Verdopplung von n führt dazu, dass die Länge des Intervalls sich um den Faktor 1 / verändert und somit auf 71% der vorherigen Länge schrumpft  Intervallschätzung bei unbekannter Varianz: o Ausgangspunkt nun nicht mehr der Stichprobenmittelwert, sondern die mit n-1 Freiheitsgraden t-verteilte Zufallsvariable o Statt einer festen Größe hat man nun die Zufallsvariable S* und statt zweier Quantile der Standardnormalverteilung und die entsprechenden Quantile der tVerteilung

o

Konfidenzintervall ist im Mittel länger als bei bekannter Varianz

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