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PRACTICA DE INTERÉS COMPUESTO...

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE INTERÉS COMPUESTO MONTO CON P CONSTANTE E i CONSTANTE 1. ¿Qué monto compuesto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros, del 4 al 16 de octubre del mismo año, si percibe una TEM de 0,03 y su depósito inicial fue 2 500 u.m.? SOLUCIÓN: S=? P = 2 500 u.m. i = TEM = 0,03 n = 12/30 meses 12 30

S=P ( 1+i ) → S=2 500 ( 1+ 0,03 ) → S =2 529,73 u . m . n

2.

¿Qué monto debe dejarse en letras de cambio con vencimiento dentro de 38 días, si después de descontarlas en un banco se requiere disponer de un importe neto de 20 000 u.m.? Esta operación devenga una TEM de 0,035. SOLUCIÓN: S=? P = 20 000 u.m. i = TEM = 0,035 n = 38/30 meses 38 n

30 S=P ( 1+i ) → S=20 000 ( 1+0,035 ) → S =20 890,77 u . m .

3.

Si la población de un país es 24 millones de habitantes y su tasa promedio de crecimiento anual es 0,0201, ¿cuántos habitantes habrá dentro de año y medio? SOLUCIÓN: S=? P = 24 millones de habitantes i = TEA = 0,0201 n = 1,5 años S=P ( 1+i )n → S=24 ( 1+0,0201 )1,5 → S=24,727 millones

4.

El 1 de abril el precio de una materia prima fue 20 000 u.m. por tonelada; 45 días después se incrementó a 22 000 u.m. ¿Cuál es el precio por pagar por el nuevo stock que se renovará dentro de 180 días contados a partir del 1 de abril, si el proveedor manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días), en el mismo porcentaje original?

SOLUCIÓN: P = 20 000 um. S = 22 000 um. i=? n = 180/45 = 4 22000 S −1→ i=0,1 i= −1→ i= 20 000 P S 1=P ( 1+i )n → S 1=20 000 ( 1+ 0,1 ) 4 → S1 =29 282u . m . 5.

En el último semestre el precio de la gasolina se incrementó en 2% cada 18 días en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si el precio de hoy es 3,50 u.m.? SOLUCIÓN: S=? P = 3,5 u.m. i = TES = 2% = 0,02 n = 360/18 = 20 20 n S=P ( 1+i ) → S=3,5 (1+0,02 ) → S=5,20u . m .

6.

Hace 4 meses se colocó en un banco un capital que devenga una TEM de 0,03, lo que permitió acumular un monto de 2 000 u.m. ¿Cuál fue el importe de ese capital? SOLUCIÓN: P=? S = 2 000 u.m. i = TEM = 0,03 n = 4 meses P=

7.

S 2000 → P=1 776,97u . m . → P= n ( 1+i ) ( 1+0,03 ) 4

Determine el importe del principal que, colocado en un banco, devengó una TEM de 0,03 durante 87 días y generó un monto de 500 u.m. SOLUCIÓN: P=? S = 500 u.m. i = TEM = 0,03 n = 87/30 meses

P=

8.

500

( 1+0,03 )

87 30

→ P=458,93 u .m .

Después de 3 meses de haber abierto una cuenta con un principal de 3 000 u.m. se obtuvo un monto de 3 500 u.m. ¿Cuál fue la TEM aplicada en la operación? SOLUCIÓN: P = 3 500 u.m. S = 3 500 u.m. n = 3 meses i = TEM = ? i=

9.

S → P= ( 1+i ) n

√ n

√

S 3 3 500 −1=0,052727→ i=5,27 % −1 →i = 3 000 P

Se adquirió una máquina cuyo precio de contado es 6 000 u.m., se pagó una cuota inicial de 2 000 u.m. y el saldo fue financiado con una letra a 45 días por el monto de 4 150,94 u.m. ¿Cuál fue la TEM cargada en esta operación? SOLUCIÓN: P = 6 000 – 2 000 = 4 000 u.m. S = 4 150,94 u.m. n = 45/30 meses i = TEM = ?

√

√

45

30 4 150,94 S i= −1 →i= −1=0,025001 →i=2,5 % P 4 000 n

10. Un bono fue comprado en 2 000 u.m. y vendido al cabo de 90 días en 2 315,25 u.m. ¿Cuál fue la TEM que generó esta operación? SOLUCIÓN: P = 2 000 u.m. S = 2 315,25 u.m. n = 90/30 = 3 meses i = TEM = ? i=

√ n

√

S 3 2 315,25 −1=0,049962 →i=5 % −1 →i= 2 000 P

11. ¿Cuál fue la TEM que devengó una inversión de 10 000 u.m., si se convirtió en un monto de 10 915,44 u.m. al cabo de 67 días? SOLUCIÓN: P = 10 000 u.m. S = 10 915,44 u.m. n = 67/30 meses

i = TEM = ? i=

√ n

√

67

30 10 915,44 S −1=0,040000 → i=4 % −1 →i= 10 000 P

12. La población de una ciudad se triplica cada 40 años. Dado un crecimiento exponencial, ¿qué tasa de crecimiento promedio anual tiene? SOLUCIÓN: P=1 S=3 n = 40 años i = TEA = ? i=

√ n

√

S 40 3 −1=0,027846 → i =2,7846 % −1 →i = 1 P

13. Una persona deposita 2 000 u.m. en el banco Norsur y percibe una TEM de 0,04. En la misma fecha deposita 5 000 u.m. en el banco Surnor y percibe una TNA de 0,48 con capitalización trimestral. Calcule la TEM promedio que devengó por ambos depósitos durante 8 meses. SOLUCIÓN: Banco Norsur Banco Surnor P = 2 000 u.m. P = 5 000 u.m. i = TEM = 0,04 i = TET = 0,48/4 = 0,12 n = 8 meses n = 8/3 trimestres SN = ? SS = ? n

S N =P (1+i )

S S =P ( 1+i )

S N =2 000 (1+0,04 )

8

S N =2 737,138101u . m .

S S =5 000 (1+ 0,12 )

√ n

√

8 3

S S =6 764,225305u . m .

Luego, tenemos: P = P1 + P2 = 2 000 + 5 000 = 7 000 u.m. S = S1 + S2 = 2 737,14 + 6 764,23 = 9 501,37 u.m. n = 8 meses i = TEM = ? i=

n

8 9 501,37 S −1 →i= −1= 0,038929 → i=3,89 % P 7 000

14. ¿En qué tiempo se podrá triplicar un capital colocado a una TEA de 0,201? SOLUCIÓN: n= ? P=1 S=3 i = TEA = 0,201 Lo g n=

( SP ) → n=

log ( 1+ i )

log

( 31 )

log ( 1+0,201 )

=5,99 → n=6 años

15. Después de colocar un capital de 1 000 u.m. que devenga una TEM de 0,03 se obtuvo un monto de 1 425,76 u.m. ¿A qué tiempo se colocó el capital? SOLUCIÓN: n= ? P = 1 000 u.m. S = 1 425,76 u.m. i = TEA = 0,03 log n=

( SP) → n= log( 11425,76 000 ) =11,99→n=12 meses

log (1+i )

log ( 1+ 0,03)

16. ¿En cuántos años se triplicará y cuadruplicará un capital colocado a una TEA de 0,18? SOLUCIÓN: Se Triplicará Se Cuadriplicará P=1 P=1 S=3 S=4 i = TEA = 0,18 i = TEA = 0,18 n=? n=? log n=

( SP)

log (1+i )

log n=

( 31 )

log (1+0,18 )

log n=

( SP)

log (1 +i )

log n=

( 41 )

log (1 +0,18 )

n=6,63756 años

n=8,375670 años

17. ¿En cuántos meses se acumularán 5 341,18 u.m. si se coloca un capital de 5 000 u.m. que devenga una TET de 0,02? SOLUCIÓN: n= ? P = 5 000 u.m. S = 5 341,18 u.m. i = TET = 0,02

()

(

)

log S log 5 341,18 5 000 P n= → n= =3,333330∗3=9,9999→ n=10 meses log (1+i ) log ( 1+0,02) 18. Hace 4 meses una persona depositó 1 101,12 u.m. en una cuenta de ahorros que genera una TEM de 0,02. Hoy se efectuó un segundo depósito de 1 500 u.m. ¿Qué tiempo adicional deberá transcurrir para que la cuenta acumule un monto de 4 000 u.m.? SOLUCIÓN: n= 4 meses P = 1 101,12 u.m. S=? i = TEM = 0,02 4

n

S=P ( 1+i ) → S=1 101,12( 1+0,02 ) → S=1 191,8877 u . m .

n= ? P = 1 191,8877 + 1 500 = 2 691,8877 u.m. S = 4 000 u.m. i = TEM = 0,02

()

(

)

4 000 log S log 2 691,8877 P n= → n= =19,999999 → n=2 0 meses log (1+i ) log ( 1+ 0,02) 19. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un principal sean iguales al mismo principal colocado en un banco a una TEM de 0,02? SOLUCIÓN: n= ? P=1

S=2 i = TEM = 0,02

( SP) → n=

()

log 2 1 n= → n=35 meses log (1+i ) log ( 1+0,02 ) 20. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la relación entre un principal de 8 000 u.m. colocado a una TEM de 0,04 y su monto, sea 4/10? SOLUCIÓN: n= ? P = 8 000 u.m. S = 20 000 u.m. i = TEM = 0,04 log

8 000 4 8 000∗10 → S=20000 u . m. = → S= 4 S 10 log n=

000 ( SP) → n= log( 208 000 ) →n=23,362419 meses

log (1+i )

log ( 1+ 0,04)

MONTO CON P CONSTANTE E i VARIABLE 21. Se requiere calcular el monto compuesto que produjo una cuenta abierta con un principal de 7 000 u.m., la cual se mantuvo vigente del 11 de julio al 24 de setiembre del mismo año. La TEA que originalmente fue 0,24, se redujo a 0,22 el 28 de agosto y se mantuvo en este valor hasta el término del horizonte temporal. SOLUCIÓN: H = 75 días P = 7 000

h2 = 27 días

h1 = 48 días

11/07

28/08 TEA1 = 24% F1= 360días

S=P

24/09 TEA2 = 22% F2= 360 días

[

Z

∏ (1+ik ) n K=1

k

]

S=?

S=7 000 [( 1+0,24 )

48 360

¿( 1+ 0,22 )

27 360

] → S=7 311,92u . m .

22. El 11 de julio se suscribió un contrato de crédito por 80 000 u.m. que devenga una TEM de 0,015 y que puede variar durante el plazo del crédito cuyo horizonte temporal es 120 días. La TEM varió a 0,014 el 26 de agosto y a 0,013 el 5 de setiembre. ¿Cuál es el monto por cancelar al vencimiento del crédito? SOLUCIÓN: H = 120 días P = 80 000

h1 = 46 días

11/07

h2 = 10 días 26/08

05/09

TEM1 = 1,5% F1= 30 días

TEM2 = 1,4% F2= 30 días

S=P

[

46

h3 = 64 días

10

[

Z

(1+ik ) n ∏ K=1

k

S=? 08/11

TEM3 = 1,3% F3= 30 días

]

64

S=80 000 (1+0,015 ) 30 ¿ ( 1+0,014 ) 30 ¿ ( 1+0,013 ) 30

]

S=84 524,78u . m . 23. El 20 de setiembre debe cancelarse una deuda de 1 000 u.m. Al vencimiento del plazo la deuda en mora devengará una TEM de 0,05, la misma que se incrementará a 0,06 el 1 de octubre y a 0,07 el 1 de noviembre. ¿Qué monto debe pagarse el 19 de noviembre del mismo año, fecha en que el cliente canceló la deuda? SOLUCIÓN: H = 60 días P = 1 000

h1 = 11 días

20/09

h2 = 31 días 01/10

TEM1 =5% F1= 30 días

h3 = 18 días 01/11

TEM2 = 6% F2= 30 días

S=? 19/11

TEM3 = 7% F3= 30 días

[

S=P

[

11 30

Z

n ∏ (1+ik ) K=1

31 30

S=1 000 ( 1+ 0,05 ) ¿ ( 1+0,06 ) ¿( 1+ 0,07 )

18 30

k

]

]

S=1 126,03 u .m .

24. Calcule el monto que será necesario invertir para fabricar 5 000 artículos dentro de 6 meses cuyo costo unitario de fabricación hoy es 20 u.m., y se prevé que en ese plazo los costos se incrementan 2% mensual durante el primer trimestre y 3% mensual durante un segundo trimestre. SOLUCIÓN: H = 180días S= ? n1= 3

P = 100 000 0

1

2

3

n2=3 4

5

TEM1 = 2%

TEM2 = 3%

F1= 30 días

F2= 30 días

6

[∏ ( ) ] Z

S=P

1+ik

nk

K=1

S=100 000 [ ( 1+0,02 )3 ¿ ( 1+ 0,06 )3 ] → S=115961,06 u . m. 25. El día 11 de julio se requiere calcular el valor presente de un título valor que vence el 30 de diciembre cuyo valor nominal es 5 000 u.m., con un TEA de 0,18 a partir del 11 de julio y una TEA de 0,20 a partir del 30 de setiembre hasta el vencimiento del plazo. SOLUCIÓN: H = 111 días P= ?

h1 = 81 días

11/07

h2 = 91 días 30/09

TEA1 = 18% F1= 360días

S = 5 000 30/12

TEA2 = 20% F2= 360 días

S

P=

[∏ ( ) ] Z

1+i k n

K =1

5 000

P=

( 1+0,18 )

81 360

¿ ( 1+0,20 )

91 360

k

→ P=4 600,25u . m .

26. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco que percibió una TEM de 0,02, la cual varió a 0,022 el 16 de octubre y el 11 de noviembre a 0,025. El día 25 de noviembre del mismo año, el saldo de la cuenta es 6 500 u.m. ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa de interés acumulada? SOLUCIÓN:

H = 62 días P= ?

h1 = 22 días

24/09

h2 = 26 días 16/10

h3 = 14 días 11/11

TEM1 = 2% F1= 30 días

TEM2 = 2,2% F2= 30 días S

P=

[∏ ( ) ] Z

K =1

P=

6500 22 30

26 30

14 30

1+i k

nk

→ P=6 214,57 u . m .

( 1+0,02 ) ¿( 1+0,02 ) ¿( 1+0,02 ) Tasa de interés acumulada TEM=? n= 62/30 P= 6 214,57 u.m. S= 6 500 u.m.

S 6 500 i= = −1=0,045929 →i=4,5929 % P 6 214,57

S = 6 500 25/11

TEM3 = 2,5% F3= 30 días

27. Calcule el valor presente de un monto de 15 000 u.m. que se recibirá dentro 30 días, si la vigencia de la TEM es 8 días a 0,02 y 22 días a 0,015. SOLUCIÓN: H = 30 días P= ?

h2 = 22 días

h1 = 8 días

0

8 TEM1 = 2% F1= 30días

S = 15 000 30

TEA2 = 1,5% F2= 30 días S

P=

[∏ ( ) ] Z

K =1

P=

15 000 8 30

( 1+0,02 ) ¿( 1+0,015 )

26 30

1+ik

nk

→ P=14 758,97 u . m .

MONTO CON P VARIABLE E i CONSTANTE 28. Un préstamo de 30 000 um que devenga una TEA de 0,12 se concedió el 15 de julio para cancelarse el 15 de diciembre del mismo año. Durante ese periodo se efectuaron los pagos a cuenta que se presentan a continuación: Fecha 08/08 14/09 07/10 20/11 Importe(um) 5 000 7 000 10 000 4 000 Calcule el saldo de la cuenta que permita cancelar el préstamo en la fecha de su vencimiento. SOLUCIÓN: 29. Contra una línea de crédito de 50 000 u.m. que devenga una TET de 0,04, vigente desde el 9 de marzo, se han efectuado los retiros y pagos que se muestran en la siguiente tabla: Fecha 09/03 30/04 16/06 20/07 09/08 Operación Retiro ( R) Pago (P) Pago (P) Retiro (R) Saldo Importe(u.m. 45 000 10 000 20 000 5 000 ¿? ) Calcule el saldo de la cuenta al 9 de agosto del mismo año. SOLUCIÓN: MONTO CON P VARIABLE E i VARIABLE 30. El 11 de julio se colocó en el Banco del Éxito un importe de 5 000 u.m. y a partir de esa fecha se depositaron 1 000 u.m. y 500 u.m. el 2 de octubre y 15 de noviembre,

respectivamente; el 18 de noviembre se retiraron 800 u.m. El 24 de noviembre del mismo año se cancela la cuenta. Calcule el monto si al inicio de la operación la TEM fue 0,03, y a partir del 1 de noviembre cambió a una TEM de 0,032. SOLUCIÓN: H = 136 días P0 = 5 h 000 1 = 83 días 11/07

h2 = 30 días

02/10

h3 = 14 días 01/11

Depósito 1 000

h4 = 3 días

15/11

18/11

Depósito 500

Retiro 800

TEM1 = 3% F1= 30 días

S= ?

h5 = 6 días

24/11

TEM2 = 3,2% F2= 30 días

n

S=P ( 1+i )

S1 = 5 000 (1 +0,03) S1 = 5 426,081668

83/30

S3 = 6 618,864118 (1 +0,032) S3 = 6 716,875895

S2 = (5 426,081668 + 1 000) (1 +0,03) S2 = 6 618,864118 14/30

1

S4 = (6 716,875895 + 500) (1 +0,032)

3/30

S4 = 7 239,643931

S5 = (7 239,643931 - 800) (1 +0,032) S5 = 6 480,34 u.m.

6/30

31. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectadas por la empresa Agroexport S.A. se muestran en la siguiente tabla: 0 Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Flujo de Caja 2 000 2 000 2 200 2 400 2 500 Tasa de Inflación 2% 1,8% 1,6% 1,65% Calcule el valor presente de dichos flujos, utilice como tasa de descuento la tasa de inflación. SOLUCIÓN:

P = 2000 +

2 000 1 ( 1+0,02 )

+

2200 2 ( 1+0,018 )

+

2400 3 ( 1+0,016 )

+

2500 4 ( 1+0,0165)

P = 10 713,65 u.m. 32. ¿En cuánto tiempo (contado desde el momento 0, un monto de 6 000 u.m. sustituirá deudas cuyos importes son: 2000 u.m., 1 000 u.m. y 2 987,83 u.m.; las cuales vencen

dentro de 30, 60 y 90 días, respectivamente? Utilice como costo de oportunidad del dinero una TEM de 0,03. SOLUCIÓN: 60 días

X 30 días X

0

2 997,83 90

1 000 60

2 000 30

S= 6000 n=? X

TEM1= 3% 2000 ( 1+ 0,03) X

[

60+ X 30

30+ X 30

+1000 ( 1+0,03 ) 60

30

X 30

90 30

+2997,83 ( 1+0,03 ) =6000 ( 1+0,03 ) 1

]

( 1,03 ) 30 2000 ( 1,03) 30 + 1000( 1,03 ) 30 +2997,83( 1,03 ) 30 =6556,362 X log 1,03+log [ 2000 (1,03 )2 +1000 (1,03 ) 1+3000,785198] =log 6556,362 30 X log 1,03=⌊ log 6536,362−log6152,585198 ⌋ 30→ X =64,5 ≈ 65 días

INTERÉS COMPUESTO CON P CONSTANTE Y i CONSTANTE 33. ¿Cuánto interés se pagará por un préstamo de 6 000 u.m. que devenga una TET de 0,02? El crédito se ha utilizado durante 17 días. SOLUCIÓN: I=? P = 6 000 u.m. I ¿ P[ ( 1+i) n −1] TET = 2% = 0,02 n = 17 días I ¿ 6 000 [ ( 1+0,02 )

17 / 90

−1] =22,485→ I =22,49 u .m .

34. Calcule el interés producido por un capital de 7 000 u.m., colocado en un banco a una TEM de 0,01, por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año. SOLUCIÓN: I=? I ¿ P[ ( 1+i) n −1] P= S/.7 000 TEM= 1%=0,01 n= 64 días I ¿ 7 000 [ ( 1+ 0 , 01 )64/ 3 0−1] I = 150,18 u.m.

35. Calcule el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de 5 000 u.m., colocado a una TNA de 0,24 capitalizable trimestralmente. SOLUCIÓN: I=? P= 5 000 u.m. I ¿ P[ (1+i ) n −1] TNA= 24%=0,24 60/ 9 0 0,24 −1 n= 60/90 m= 360/90=4 I ¿ 5 000 1+ 4 i= j /m = 0,24/4 I = S/.198,05 u.m.

[(

)

]

36. Si se requiere ganar un interés de 1 000 u.m. en el plazo de 2 meses, ¿qué principal debe colocarse en un banco que remunera los depósitos con una TEM de 0,015%? SOLUCIÓN: P=? I P ¿ I= S/.1 000 n (1+i ) −1 n= 2 meses 1 000 = 33 085,19 u.m. TEM= 1,5%= 0,015 P= 2 (1 +0,015 ) −1

37. Una inversión efectuada en la bolsa de valores produjo un interés de 1 300 u.m. durante 77 días; en ese lapso de tiempo la tasa de interés efectiva acumulada fue 0,054. ¿Cuál fue el importe original de la inversión? SOLUCIÓN: P=? I P ¿ I= S/.1 300 (1+i )n−1 n= 77 /77 = 1 1 300 TEA= 5,4%= 0,015 P= = 24 074,07 u.m. (1 +0,054 )1−1 38. La rentabilidad en 23 días que produjo un paquete, accionario adquirido en la bolsa fue 500 u.m.; dicho paquete accionario acumuló en 30 días una tasa efectiva de interés de 0,039. ¿Cuál fue el precio de adquisición hace 23 días? SOLUCIÓN: P=? I I= S/.500 P ¿ n (1+i ) −1 n= 23 /30

TEM= 3,9%= 0,039

500 (1+0,039 )23/30 −1

P=

= 16 797,69 u.m.

39. ¿Cuánto principal debe colocarse en un banco que ofrece una TEM de 0,01 para ganar un interés compuesto de 500 u.m., en un plazo de 45 días? SOLUCIÓN: P=? I I= S/.500 P ¿ n (1+i ) −1 n= 45 /30 500 i= 0,01 P= = 33 250,35 u.m. 45 / 30 −1 (1+0,01 ) 40. ¿Qué TEM debe aplicarse a un principal de 5 000 u.m. colocado en un banco para que produzca una ganancia de 800 u.m. durante 4 meses? SOLUCIÓN: TEM=? n I i= P= S/.5 000 +1−1 P

√

I= S/.800

√

n= 4 meses

i=

4

800 +1−1 =0 , 037802 → i=3 , 78 % 5 000

41. ¿A qué TEA debe colocarse un principal para que se duplique en 42 meses? SOLUCIÓN: TEM=? P= 1

i=

√ n

I +1−1 P

S= 2 S = P+ I

√

4 2= 1 + I i= 1 +1−1 1 I= 1 n = 42 meses

i = 0,219014

≈

21,90%

42. Calcule la TEA a la que se colocó un principal de 5 000 u.m., que en el ...