02 03 Eventos Disjuntos, Independientes y Prolly Condicional PDF

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02 _ 03_ Eventos Disjuntos, Independientes y Prolly Condicional.docx...

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2) Sucesos disjuntos, sucesos independientes y sus probabilidades. ¿Pueden ser independientes dos sucesos disjuntos? Eventos Disjuntos: Si Ø es el conjunto vacío, dos eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si A∩B = ∅. Dicho de otra forma, A y B son disjuntos si no tienen elementos en común. Ver más. Eventos Independientes: Se dice que los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de B no modifica la ocurrencia de A. Es decir si P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B). Definición: A y B son independientes ⟺ P(A ∩B) = P(A) . P(B) Dos sucesos disjuntos no pueden ser independientes y viceversa. Ver más. 3) Probabilidad condicional. Probabilidad total. Significado de la Regla de Bayes. Probabilidad Condicional: Dados dos eventos A y B y P(B) > 0 la probabilidad condicional de A dado B se nota “P(A/B)” y cumple con: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) Ver interpretación y más. Teorema de la Probabilidad Total: Sea {Ai}i=1,2...n una partición de Ω, es decir,

,

y P(Ai) > 0, entonces si B es un evento:

Ver Interpretación. Ver Demostración. Ver Axiomas y Propiedades. Teorema de Bayes: Sea que

una partición de Ω de forma que

,

y

. Sea B un evento tal

entonces:

El teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que expresa la probabilidad de A dado B en función de la probabilidad de B dado A. Ver interpretación.

Leyes de De-Morgan: 1. 2. Independencia y Disjuntez: Dos eventos no pueden ser disjuntos e independientes. Ya que si dos eventos A y B son disjuntos, la ocurrencia de A hace imposible la ocurrencia de B, modificando P(B) a cero, por lo que no son independientes. Si dos eventos son disjuntos, la probabilidad de la intersección es cero, creando un absurdo en la definición de independencia ya que P(A) y P(B) son números mayores a cero y su producto no puede ser cero. Extra! Extra! Si A y B son independientes A y B’ también lo son. Probabilidad Condicional: Demostraciones e Interpretación La ley puede interpretarse de la siguiente manera. Supongamos que B ocurre, eso quiere decir que los elementos que forman B’ son imposibles, de forma que A∩B’ queda fuera del “nuevo” espacio muestral en el que B ocurrió (ver figura). La única forma de que A ocurra ahora es si ocurre uno de los eventos que forman A∩B. Podemos intuir que si el número de elementos de B es “nB” y el número de elementos de A∩B es “nA∩B” la probabilidad de que ocurra A dado B entonces “P(A/B)” es, según la definición clásica: ¿Suena familiar?

B

A

Ocurre B

Ω

B A

En los diagramas de arriba P(A/B) es la fracción de B que es de A, es decir, la proporción entre área que comparten A y B y el área de B. Dado que estas áreas representan probabilidad, obtenemos:

Regla de la multiplicación: Sea B con P(B) > 0 entonces: Sea A con P(A) > 0 entonces: Demostración: “P(A/B)=P(A).P(B)” Dado que P(A/B)=P(A), de la definición de probabilidad condicional obtenemos:

Interpretación del teorema de la probabilidad total: La probabilidad total después se aplica en el Teorema de Bayes. Demostración:

Probabilidad clásica: La probabilidad de un suceso A indica con que frecuencia ocurre cuando se produce un gran número de repeticiones del experimento aleatorio.

Definición Axiomática de Probabilidad: Sea Ω un espacio muestral y A un evento o suceso entonces se le asigna a A un número real llamado la “probabilidad de A” que cumple los siguientes axiomas: 1. 2. 3. Propiedades que se deducen de los Axiomas: 1. 2. 3. 4. 5. Extra: Teorema de Bayes: Interpretación La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades a priori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).1

1 Ver: http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P terminados/Probabilidad/doc/Unidad%201/1.3.5.htm...