04 Angulos Cuadrantales trigonometria y matematica fsfsfdf PDF

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Summary

fssgdgdfsnsjabsjqnskanskadnkanskadnkadnskadnk na nska nsdka nskan ska nka nka nsk ans kan skan ska nska nska nka nks nk nak snak snak nak snak snka nskna skan skan s...

Description

A ca d e m ia P R E U N IV E R S IT A R IA

UNO ANGULOS EN POSICION NORMAL Y CUADRANTLES PLANO CARTESIANO Es aquel que se forma por la intersección perpendicular de dos rectas numéricas en el origen de ambos. Estas rectas al intersecarse determinan en el plano, cuatro regiones denominadas cuadrantes. Eje de las ordenadas Y + CUADRANTE CUADRANTE + II I + + + + Eje de las – – – – –+ + + + + O X abscisas – CUADRANTE CUADRANTE – III IV – – –

RADIO VECTOR ( r ) La medida del radio vector es la medida del segmento que tiene por extremos el origen y el punto P(x; y) del Plano Cartesiano, es siempre positivo y su valor está dado por: r = x 2 + y 2 ; r>0

Y

r

i aR I A

mI T d eR S

E V caNI

AP R E U

COORDENADAS DE UN PUNTO Se denomina coordenadas de un punto “P” al par ordenado (x; y) en donde “x” es la abscisa y “y” la ordenada. Un punto P en el plano cartesiano se representa por P(x; y), donde: x: abscisa de P Y y: ordenada de P P(x;y) y

P(x;y)

y

U

A

O

N

O

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en posición normal estándar o canónica, si su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas y su lado inicial con el semieje positivo de las abscisas y su lado final contiene cualquier punto del plano. Y P(x;y) Lado final

 X Lado inicial

O O

x

X

x

X

 Lado final 1

1

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

ÁNGULOS CUADRANTALES Son ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano. Son de la forma:  = (90º ) n; (n  ZZ ) ó   = .n ; ( n  ) 2

 y  son las medidas de dos ángulos en posición normal.  positivo y  negativo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL. Sea “” un ángulo en posición normal y P(x; y) un punto cualquiera (distinto de O) de su lado final como se observa en la figura. Y

x: abscisa y: ordenada r: radio vector

Y+

P(x;y) II - C

r

I-C 90º



180º

X

O

X-

X+ 360º 270º

Luego se define: Sen  =

ordenada y = radio vector r

abscisa x Cos  = = radio vector r Tan  =

ordenada abscisa

=

Csc  =

radio vector

Sec  =

radio vector

y

ordenada

Cot  =

x

abscisa

abscisa ordenada

=

=

r

=

r

IC

IIC

IIIC

IVC

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

Razones

2

IV - C Y-

y

x Los ángulos cuadrantales no pertenecen a x cuadrante alguno.

y

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES Teniendo en cuenta que la medida del radio vector es siempre positiva y que el valor de la abscisa y la ordenada de un punto pueden ser negativos o positivos de acuerdo al cuadrante en que se encuentre el punto. Se tiene: Cuadrantes

III - C

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Consideremos la circunferencia trigonométrica: Y 90º (0;1)

(–1; 0) 180º

O

r=1  1

(1;0) 0º X 360º

(0; –1) 270º

2

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

0° 0 2k 

90° /2

180° 

270° 3/2

(4K + 1)

(2K − 1)

(4K − 1)

0 -1 0 ND -1 ND

-1 0 ND 0 ND -1

2

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

0 1 0 ND 1 ND

2

1 0 ND 0 ND 1

360° y ; Tan = 2 −x 2k  −y Tan(− ) =  Tg( −) = −Tg  −x 0 1 Sen(–) = –Sen() Csc(–) = –Csc() 0 ND Cos(–) = Cos() Sec(–) = Sec() 1 ND Tan(–) = –Tan()

Cot(–) = –Cot()

ND: No definido VARIACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD EJERCICIOS

Sen   − 1;1 

−1  Sen  1

Cos   − 1;1 

−1  Cos  1

Tan  − ; + 



Cot  − ; + 



−  Tan  +

I.

−  Cot  +

II.

  −; − 1  

Sec  −; −1

1; + 

Csc 

1; + 

Sen 2 0 Cos3 i aR I A  0 A 4 0 mITg T

III. a) VVV dI VeE R S a N cd)U FVV

AP R E

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS DE MEDIDA NEGATIVA P(x; y)

Y

Indique la proposición verdadera (V) o falsa (F).

1)

N

c) VFV

Calcular:

2)

U

Sen  + Sec0 − Ctg 270º −Sec   Csc90º − Cos  + Tg180º − Cos 2

a) 1 d) –2

r

O

b) VFF e) FFV

b) –1 e) 0

c) 2

 O

X

Sen810º− 2Cos540º+ 3Tg1440º

r

a) 5 d) –3 4) Hallar:

P(x;–y) Se tiene: Sen  =

y

;

r Sen(−) = −Sen Cos  =

Evaluar:

3)

–

Sen(− ) =

−y r



−x −x ; Cos( −) =  Cos (−) = Cos  r r

b) 1 e) –2

c) 3

3Sen 90º − 2Cos180º + Sen 270º 4Cos 360º − 5Cos180º − 2Sen 90º a)

1 7

d) 3

b)

1 2

c)

4 7

e) –1

3

3

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

5)

Simplificar la expresión:

a 3 + b3 Cos 2  3 2  − b Cos  a 2 Sen 2 + abSen3 2 2 a) a + b b) a − b c) a 3 + b3 3

d) a − b 6)

3

R = L+ M+ V

a) 1 d) 4 7)

2

L = Cos 0 + Sen90º 3 M = Cos − 2Sen 2 V = 3Sec 400g + 6 Cos (  Sen 0 )

Si:

Hallar:

2

e) a + b − ab

b) 3 e) 5

c) 2

Dado:

Sen 2x +Sen 4x −Sen 6x Cos 2x + Cos 4x + Tg x − 4Sec 4x   Hallar: " f   ".  4 1 c) –1 a) 1 b) 2 1 d) –2 e) – 2 f ( x) =

Simplificar "F", si 2x =  y

E=

a 2 Sen x + b2 Sec 4x − ab ( Cos 2x − 1) 2 ( a + bSec 2x ) + 3bCos 0º + a Sec 2x b) 2 ( a + b)

d) a + b

e) a + b

9)

4

2

c) 3ab

2

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) 0  csc212º II) 0  cot315º III) 0  sec111º

C)FVFV

10) Encontrar el número de ángulos cuadrantales entre –270° y 270°. A) 3 B) 0 C) 5 D) 7 E) 6 11) Determine el valor de:

E= A) 1/2 D) –1

sen90º.cos180º cos 360.sec180º B) 1 E) -1/2

C) 0

12) Determinar las razones trigonométricas que no existen I) Cos90º II) Tan180º III) Csc180º IV) Sec90º A) solo I D) III y IV

B) solo III E) II y III

C) solo IV

13) Calcular el valor de:

E=

sen90º +cos 90º +tan 0  sec180º + csc 270º

A) 1/2 D) –1

8)

a) − ab

IV) 0  sen222º La secuencia correcta, es: A)VFVF B)FFVV D)VVFF E)FFVV

B) 1 E) –1/2

C) 0

14) Determinar las razones trigonométricas que no existen Csc I) II) Tan

3 2 3 IV) cot 2 III) sec

A) solo I D) I y III

B) solo III E) II y III

C) solo IV 4

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

15) Determinar el máximo valor de la expresión: − 2 sec 2 x + 1 .

A) 1 D) –1

21) (CEPRU

B) 0 E) 2

2 + cos180º + 2sec0º− 2cos180º

B) 2

I dI VeE R S a c N

,

C) 3

E) 1

19) Determinar la variación de la expresión.



E)

C) 0

existe.

3 3 5 5a i IA D)  −1;1 m T A R

es:

D)

B) 1 E) 2

A) − ;

C) 3

2 3 sec360º − sen90º + 3cos 0º− csc 270º

B)

que:

5a +1 , halle el intervalo de 2 variación de "a" para el cual la sec x no

el máximo valor de la

18) (UNSAAC 2001-II) El valor de:

A) − 5,5 

Sabiendo

22) Si sec x =

= 2 Cos 4x − 1 .

  5sec  x −  4 

2016-INT)

A) –1 D) –2

A)  –;–3  3;+ B)  –;–3]  [ 3;+ C)  –;–1]  [ 3;+ D)  –;–2]  [ 2;+ E)  –;–3]  [ 1;+

3 D) 2 3

C)  ;1

x f (x) = cos + tan 2x + sec x , el valor 2 de: f ( ) + f (2) − f (3) es:

16) Determinar la variación de 2Cscx − 1 .

A)

1  2 

B)  ;  4 4

C) 

B) 0 E) –

17) Determinar expresion y A) –1 D) 1

 1 9   1 9 E) ; 4 4

 9   9 D) 0;  4 A) 0;  4

U E AP R23)

N

(UNSAAC

3 1 5 5 E) −2;2 

O

2001-I)

4 csc 270  − 4 cos 0 es: sec180 − 11 4 2 A) B) 5 3 2 3 E) D) − 2 3

U

C) −1;1

B) − .

El

valor

de

C) 0

24) (UNSAAC 2002-PO) El valor de:

 

C) − 1,1

Sen(−270 ) − 3Cos(−180) 5Cos( −270) − Cos( −180 ) − 2Sen( −270 ) , es:

1 2 D) − 2 A)

20) Determinar la variación de la expresión.

B) 4

C) −

1 2

E) − 4

1 +Cosz(1+Cosz) 4 5

5

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

25) Determinar el máximo valor de la expresión: (3 − tan x)(1 + tan x) . A) –1 B) 1 C) 3 D) 4 E) 2 26) (CEPRU

2017-II)

El

valor

de

30) Reducir la expresión:

E=

( a + b) 2 cos(−360º ) − ( a − b) 2 sen(− 270º ) a.sen180º +ab.sen270º + b.sen360º A) –4

B) 1

C) 2

3  D) –2 E) 4 (a + b) Sen   + (a −b) 2Sen 5   2 2     E= 31) En que cuadrantes se encuentra “ ”, si se 2abCos( ) 2 − Cos , es: 0 cumple que: A) 2 B) –1 C) 0 − Sen 2

D) –2

8

E) 1

27) Hallar entre que valores varía “n” si se cumple que: Sen =

1 +1 n

1

− ; −1

A) − ; −  2

B)

C) − ; −2

1 D)  ; +  2



E) 1; +  28) Determine el signo de: 2

P=

Sen 200º Cos280º Tan3 300º Csc230º

A) (–) D) 

A) IC y IIC B) IIIC y IVC C) IC y IIIC D) Todos los cuadrantes E) Ningún cuadrante

32) En el orden correspondiente, indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F)

  Sen (4k − 1)  = − 1 ; k  2    II) Csc (4k − 3)  = 1 ; k  2  k III) Sec( (2k − 1) ) = − 1 ;

I)

IV) Cos( 2(k − 1) ) = 1 ; A) VFVF D) FVVF

B) FVFV E) FVVV

k C) VVVV

B) (+) C) + ó E) indeterminado 33) Calcular el valor de:

29) En que cuadrante se encuentra , si:

1− Sen 0 Tan A) IC y IIIC B) Sólo IIC C) Sólo IVC D) IIC y IVC E) Todos los cuadrantes 6

    E = Tg Sen  Cos  + Cos Tg( Sen )  2    A) 1 D) 4

B) 2 E) 0

C) –1

34) Para ángulos en posición normal. Determine el valor de verdad (V) o 6

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

falsedad (F) proposiciones:

de

las

siguientes

E)FVV

38) Si  es la medida en radianes de un ángulo cuadrantal, tal que 0    3 , el valor de L = Sen +Cot +Cos , es:

8  IC 17 10  IIC II) 19 24  IIIC III) 23 I)

La secuencia correcta, es: A)VFF B)VVV D)VVF E)FFV

D)VVV

A) 3 D) –2

C)FVV

35) Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: 0  Sen210º I) II) 0  Tan310º III) 0  Cos110º IV) 0  Csc200º La secuencia correcta, es: A)VFVF B)FFVV C)FVFV D)VVFF E)FFVV

B) 2 E) 0

C) 1

39) Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) 0  Sen 4 II)

0  Tan3

III) 0  Cos2 IV) 0  Csc1 La secuencia correcta, es: A)VFVF D)VVFF

i aIA

B)VVVF E)FVVF

C)FVFV

O

40) Calcular m T A R el valor de:

I dI VEeE R=S Sen 270  + Cos 90  − Tg 0  a Cos 450  + Ctg 270  + Sec180  c N

N

36) Determine el valor de verdad (V) o E U A a) -1 b) 1 c) -2 falsedad (F) de las siguientes P R d) 1 e) 1/2 proposiciones: I) Cos90º  Sen90º 41) Determine el valor de verdad (V) o II) Tan180º  Cos180º falsedad (F) de las siguientes II) Csc270º  Sen180º proposiciones: IV) Csc90º  Csc270º I) 0  Sen( −200º ) La secuencia correcta, es: II) 0  Tan(− 100º ) A)VVFF B)VVVV C)FVFV III) 0  Cos(− 50º ) D)VVVF E)VFVF La secuencia correcta, es: B)VVV C)FVF 37) Determine el valor de verdad (V) o A)VFV E)FFF falsedad (F) de las siguientes D)VVF proposiciones: 42) Determinar la variación de la expresión 8 9 I) Sen .cos 0 1 + senx(1 + senx) . 7 7

U

6 10  0 .cot 11 11 6 12 .csc 0 III) sec 13 13

II)

tan

A)VVF

B)VFV

C)VFF

6  13  A) 0,  6  13  D) 0 ,  6

1 13  1 13   6 , 6  C) 6 , 6  1 13  E) −  12 , 6  B)

7

7

Academ i a P R E U N IV E R S I T A R I A

UNO

8

8...