05 Enunciado Ejercicios LTI PDF

Preview

Summary

Download 05 Enunciado Ejercicios LTI PDF

Description

Xesti´on de Infraestructuras Ejercicios Tema 5 Sistemas LTI (Linear and Time Invariant)

13 de octubre de 2019 1. Determine si los siguientes sistemas cumplen las propiedades de linealidad e invarianza en tiempo a) y(t) = kx(t − T ) donde k y T son n´ umeros reales b) y(t) = x(t) − x(t − T ) donde T es un n´ umero real c) y(t) = x(−t) d ) y(t) = tx(t) e) y(t) = x(2t) f ) y(t) = exp(x(t)) Soluciones: a) es LTI; b) es LTI; c), d), e) es lineal pero no invariante en el tiempo; f) es no lineal pero s´ı invariante en el tiempo.

2. Considere un sistema en el que la relaci´on entre la entrada, x(t), y la salida, y(t) viene dada por y(t) = x2 (t) a) Demuestre que el sistema es no lineal. b) Demuestre que el sistema es invariante en el tiempo. c) Determine la salida cuando x(t) = cos ωt. 1

Soluci´ on: c) y(t) =

1 2

+

1 2

cos 2ωt;

3. Considere que la se˜ nal x(t) = A cos(ωt + φ) es la entrada a un sistema LTI real cuya respuesta en frecuencia es H(ω) = |H(ω)|ej∠H(ω) . Demuestre que la respuesta del sistema LTI tiene la forma y(t) = |H (ω)|A cos(ωt + φ + ∠H (ω)) 4. Considere un sistema LTI de respuesta en frecuencia H(ω) =

a a + jω

donde a es un n´ umero real positivo. a) Determine el valor de H(ω) a las frecuencias ω = 0, ω = a y ω = 2a ¿Qu´e tipo de filtro es el sistema? b) Determine el valor de H(ω) a las frecuencias ω = −a y ω = −2a ¿Qu´e relaci´on tienen con el resultado del apartado anterior? c) Demuestre que el sistema LTI es real porque H(ω) cumple lo siguiente H (−ω) = H ∗ (ω) d ) Determine la salida cuando la entrada es x(t) = cos(at) e) Determine la salida cuando la entrada es x(t) = cos(2at) 1 1 = √1 −j45 = √1 e−j63 ; e , H(2a) = 1+2j Soluci´ on: a) H(0) = 1, H(a) = 1+j 5 2 ◦ ◦ 1 b) H(−a) = 1−j = √12 ej45 = H ∗ (a), H(−2a) = 1−12j = √1 ej63 = H ∗ (2a); ◦

◦

d) y(t) =

√1 2

cos(at − 45◦ ); e) y(t) =

1 √ 5

5

cos(2at − 63◦ )

5. Considere la siguiente se˜ nal que es la entrada a un sistema LTI x(t) =

1 1 + cos(2πt − 45◦ ) + cos(4πt + 60◦ ) 2 4

a) Determine la salida de un sistema cuya respuesta en frecuencia es H(ω) =

2π 2π + jω

b) Determine la salida de un sistema cuya respuesta en frecuencia es H(ω) = 2

jω 2π + jω

c) Determine la salida de un filtro paso bajo de frecuencia de corte W = π. d ) Repita el apartado anterior cuando la frecuencia de corte del filtro paso bajo es W = 3π y W = 5π e) Determine la salida de un filtro paso alto de frecuencia de corte W = π. f ) Repita el apartado anterior cuando la frecuencia de corte del filtro paso alto es W = 3π y W = 5π cos(2πt − 90◦ ) + 4√1 5 cos(4πt − 3◦ ) b) y(t) = cos(4πt + 87◦ ); c) y(t) = 12 ; d) y(t) = 12 + cos(2πt − 45◦ ),

Soluci´ on: a) y(t) = 1 √ 2

1 2

+

√1 2

1 cos(2πt) + 2√ 5 y(t) = 12 + cos(2πt − 45◦ ) + 14 cos(4πt + 60◦ ); e) y(t) = cos(2πt − 45◦ ) + 1 1 ◦ ◦ 4 cos(4πt + 60 ); f) y(t) = 4 cos(4πt + 60 ), y(t) = 0.

6. Considere un filtro paso bajo ideal de frecuencia de corte W = 6π a) Dibuje la respuesta en frecuencia. sen(4πt) πt sen(8πt) c) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = πt sen(2πt) d ) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos(4πt) πt sen(2πt) e) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos(6πt) πt b) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) =

sen(4πt) sen(6πt) sen(2πt) cos(4πt); ; c) x(t) = ; d) y(t) = πt πt πt sen(πt) cos(5πt) e) x(t) = πt

Soluci´ on: b) x(t) =

7. Considere un filtro paso alto ideal de frecuencia de corte W = 2π a) Dibuje la respuesta en frecuencia. sen(4πt) πt sen(8πt) c) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = πt b) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) =

Soluci´ on: b) x(t) = 2

sen(3πt) sen(πt) cos(3πt); c) x(t) = 2 cos(5πt) πt πt

3

8. Considere un filtro paso banda ideal de frecuencia central 2π y ancho de banda 2π a) Dibuje la respuesta en frecuencia. sen(4πt) πt sen(2πt) c) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = πt sen(πt) cos(2πt) d ) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = πt sen(πt) e) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos(3πt) πt b) Determine la salida y(t) cuando la entrada es x(t) =

3π sen( π2 t) sen(πt) cos( t); d) y(t) = cos(2πt); c) x(t) = 2 πt 2 πt sen( π2 t) 5π sen(πt) cos(2πt); e) x(t) = cos( t) πt πt 2

Soluci´ on: b) x(t) = 2

9. Sea x(t) la siguiente se˜ nal paso banda x(t) = A1

sen 2πt sen 2πt cos 16πt + A2 cos 24πt πt πt

Considere que x(t) es la entrada al sistema de la figura 1 donde el filtro paso bajo es ideal y tiene una frecuencia de corte ωL = 4π . a) Determine la salida del filtro paso bajo, y(t), cuando ωc = 16π . b) Determine la salida del filtro paso bajo, y(t), cuando ωc = 24π . Soluciones: (a) y (t) = A1 sen(2πt) 2πt , (b) y (t) = A2

sen(2πt) 2πt .

10. Sea x(t) la siguiente se˜ nal paso banda x(t) = A

sen 2πt cos 16πt πt

Considere que x(t) es la entrada al sistema de la figura 2 donde el filtro paso banda es ideal, y tiene una frecuencia central 8π y un ancho de banda 6π . a) Determine la salida del filtro paso bajo, y(t), cuando ωc = 8π . b) Determine la salida del filtro paso bajo, y(t), cuando ωc = 24π . cos (8πt). Soluciones: (a) y (b) y (t) = A sen(2πt) 2πt

4

Figura 1

Figura 2

5...