07 - Cap. 7 - Dinámica de las rotaciones PDF

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Dinámica de las rotaciones El siguiente paso en complejidad luego del movimiento de la partícula puntual, que constituye la máxima simplificación posible, consiste en estudiar el movimiento general de un cuerpo rígido, que siempre se puede considerar como la superposición de un movimiento de traslación más uno de rotación. En este capítulo veremos cómo obtener las leyes que corresponden al movimiento de rotación a partir de las leyes para el movimiento de la partícula puntual, que también describen directamente el movimiento de traslación pura de los cuerpos rígidos. Con estos elementos, también abarcamos la descripción de los movimientos de cualquier aparato o mecanismo que se pueda descomponer en partes rígidas, en cuyo caso podrán aplicarse estos conceptos a cada una de esas partes.

Capítulo

7

7.1. Generalidades sobre el movimiento de rotación El movimiento de rotación es un movimiento de los cuerpos rígidos en el cual hay una recta denominada eje de rotación cuyos puntos permanecen fijos. Por la rigidez del cuerpo, los demás puntos describen movi- Fig. 7.1. Varios casos diferentes de rotación. mientos circulares manteniendo todas sus distancias o posiciones relativas invariables. Este movimiento, además de poder ser uniforme o variado de diversas maneras, ROTACIÓN PURA, puede combinarse a su ROTACIÓN PURA e INTRÍNSECA NO INTRÍNSECA, vez con otros moviOSCILATORIA mientos, como el de traslación, o con otras rotaciones alrededor de otros ejes, pudiendo obtenerse una gran variedad de situaciones posibles. El caso más simple posible se denomina rotación pura, y se da cuando el eje permanece fijo. Si además el ROTACIÓN + ROTACIÓN del EJE ROTACIÓN + TRASLACIÓN eje contiene al centro (PRECESIÓN) Dinámica de las rot aciones

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de masa del cuerpo, se dice que la rotación es intrínseca: en un leguaje coloquial, cuando un cuerpo ejecuta una rotación intrínseca, se dice que el cuerpo rota sobre sí mismo, ya que mantiene fijo el centro de masa (la palabra inglesa “spin”, que significa “retorcer”, o “girar algo sobre sí mismo”, se utiliza para este tipo de rotación a nivel de partículas atómicas). Por otra parte, si el eje se mueve tenemos una rotación que no es pura; este movimiento puede ser simple, pero también puede llegar a ser muy complicado. Un caso más bien simple es el de las ruedas de los vehículos cuando viajan en línea recta: la rueda gira alrededor de su eje, fijo respecto del vehículo, mientras éste se traslada. El resultado es la combinación de rotación con traslación. En la figura 7.1 se ilustran éste y algunos otros casos. En este capítulo desarrollaremos, esencialmente, los conceptos que tienen que ver con la rotación pura.

Rotación pura Consideremos un cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo. El cuerpo se considera integrado por partículas de masa mi, cada una ellas describe una circunferencia de radio i en un plano que permanece fijo, perpendicular al eje, como se muestra en la figura 7.2. Es importante notar que cada punto material describe su propia circunferencia de centro Ci y radio i. El centro de cada circunferencia es el punto intersección del eje con el ρ plano de movimiento de la partícula considerada, y en geρ neral no es el origen de las coordenadas. El origen de las coordenadas O se fija arbitrariamente. Por ejemplo, en el caso de la figura 7.3, se fija en algún punto del eje, que podría ser también el centro de masa, aunque eso no es importante. El vector posición de la partícula i es ri , cuyo módulo en general no es igual al radio de la circunferencia descripta por ella, ya que éste es i, que es la distancia de la partícula al eje (tomada perpendicularmente). Fig. 7.2. Cuando un cuerpo describe una Sólo para los puntos que giran en el mismo plano que contiene al origen de coorrotación pura los pun- denadas O, se cumple que r =  . i i tos del eje permanecen inmóviles, mien tras los otros describen circunferencias en planos perpendiculares al eje. Como se ilustra, el cuerpo en rotación no necesita tener simetría ni forma determinada.

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ρ

ρ

Fig. 7.3. Cada partícula i describe, en un plano perpendicular al eje, una circunferencia cuyo centro Ci es la intersección de dicho plano con el eje. El radio de esta circunferencia es i , que resulta ser la proyección del vector posición ri sobre el plano del movimiento, y que indica también la distancia desde la partícula hasta el eje. M ecánica Básica

La condición de que el cuerpo sea rígido implica que, aunque cada punto material recorre su propia trayectoria circular con su propia velocidad lineal vi , todos tienen la misma velocidad angular , porque todos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo. Si recordamos que, según (5.16),  = v / radio, para este caso tenemos: ω=

vi : igual para todos los puntos del cuerpo ρi

(7.5)

7.2. Momento de una fuerza con respecto a un eje Efecto de las fuerzas sobre la rotación Una descripción dinámica de la rotación implica poder establecer cómo varía la velocidad de rotación en función de las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo. Para esto, lo primero que hay que tener en cuenta es que: una fuerza sólo influye sobre un movimiento de rotación si se la aplica de manera de tener componente en la dirección en la cual el eje permite el movimiento del punto sobre el cual actúa. Así es que, una fuerza aplicada sobre un punto A de un cuerpo en rotación pura, en el mismo sentido en que se mueve el punto, hará un trabajo positivo y aumentará la velocidad de la rotación, mientras que aplicada en sentido contrario hará trabajo negativo, y hará disminuir dicha velocidad. De las consideraciones sobre el trabajo que la fuerza puede hacer se deduce que, dada una fuerza exterior cualquiera FA que se aplique en un punto A, fuera del eje, para el efecto sobre la rotación sólo interesa la componente en la dirección tangencial a la circunferencia descripta por A; las otras dos componentes, Faxial , paralela al eje, perpendicular al plano de la circunferencia descripta por A, y Fradial, en dicho plano, en la dirección de la recta que pasa por el centro de dicha circunferencia, no hacen trabajo y no tienen efecto sobre la rotación (figura 7.4). Fig. 7.4. Se muestra el vector hueco F A, indicativo de una fuerza aplicada en A, y con flechas llenas, sus componentes axial, radial y tangencial. En línea de trazos también se muestra la proyección de F A sobre el plano del movimiento del punto A, vector cuyas componentes en ese plano también son F radial y F tang. Para considerar efectos sobre la rotación sólo interesa F tang. Se ilustra un cuerpo en rotación que no tiene simetría ni forma determinada. Dinámica de las rot aciones

ρ

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Para el caso especial de una fuerza aplicada exactamente en algún punto del eje, queda claro que no puede influir sobre la rotación, ya que estos puntos no se mueven y, por lo tanto, la fuerza no hace trabajo (para estos puntos no hay dirección tangencial). Es decir, en general la fuerza aplicada puede tener las tres componentes, F A = F axial + F radial + F tang , pero la única componente con posibilidades de influir sobre la rotación es la Ftang .

Momento de una fuerza respecto de un eje

Fig. 7.5. (a) Estas fuerzas aplicadas tangencialmente a la misma circunferencia tienen el mismo poder de rotación con respecto a O a condición de tener igual intensidad, independientemente del punto particular de la circunferencia sobre el que actúan. (b) si una fuerza se aplica oblicuamente, su poder de rotación está dado exclusivamente por su componente tangencial, independientemente de la existencia de la componente radial.

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Ahora tratemos usar estas ideas para establecer una expresión para lo que denominaremos “momento de la fuerza con respecto a un eje”, concepto que representa el poder de la fuerza para modificar (producir, detener, etc.) la rotación de un cuerpo alrededor del eje. A veces, también le diremos poder de rotación de la fuerza con respecto al eje. Para simplificar los razonamientos, consideremos una rotación orientada con el eje perpendicular al plano de la hoja, de manera que en nuestros esquemas veamos la rotación directamente hacia un lado u otro en el plano del papel. Para facilitar las ideas pensemos en un disco o plato redondo de radio R que tiene absoluta libertad de rotación alrededor del eje, que será el punto O en nuestros dibujos. Cualquier fuerza que apliquemos sobre un punto del disco podrá producir o no rotación, pero no logrará cambiar la ubicación del eje (éste está montado sobre cojinetes que le permiten girar pero no desplazarse). Ahora bien, es claro que si una fuerza FT se aplica en A tangencialmente a la circunferencia de centro O, tiene el mismo poder de rotación que si se aplica tangencialmente en cualquier otro punto de esta circunferencia, como se sugiere en la figura 7.5(a). Por otra parte, si en A se aplica F oblicuamente, para comparar su poder de rotación con el de FT sólo se necesita ubicarla angularmente con respecto a dicha circunferencia, y descomponerla según las direcciones radial y tangencial. La componente radial indicará una acción tendiente a desplazar el eje, que será equilibrada por las reacciones en los soportes del eje que impiden su desplazamiento, mientras que la componente tangencial expresará estrictamente la acción de la fuerza tendiente a producir rotación (figura 7.5(b)). Ahora bien, dada una fuerza aplicada en A nos interesa saber cuánto debe valer una fuerza aplicada en otro punto, para equilibrar el poder de rotación de la primera, y para resolver eso es suficiente con advertir, en la figura 7.5, que F podría ser equilibrada en todos sus efectos, incluido su poder de hacer rotar, por – F que se aplicara en cualquier punto B, C, etc, de la misma recta de acción. Ahora, tracemos una circunferencia con centro en O, tangente a la recta de la fuerza en el punto B (figura 7.6), e imaginemos la fuerza –F aplicada en B (la denominamos FB). Esta fuerza actúa tangencialmente a su circunferencia, y tiene el mismo poder de rotación resM ecánica Básica

pecto de O que cualquier fuerza de módulo FB aplicada tangencialmente en cualquier punto de la circunferencia de radio OB. Además, ella puede equilibrar la acción de F aplicada en A, cuyo poder de rotación es el de FT (a la cual denominamos ahora FA), aplicada tangencialmente en A o en cualquier punto de la circunferencia de radio OA. Ahora bien, observando la figura 7.6, vemos que FA /F = OB/OA, de donde se deduce que la relación entre los módulos de las fuerzas que hay que aplicar tangencialmente en puntos de dos circunferencias de diferente radio para tener el mismo poder de rotación está dada por: FA× OA = FB × OB(7.6) Podemos decir que esta expresión define precisamente el poder de rotación de cada fuerza con respecto a O, ya que expresa una cantidad proporcional a la fuerza aplicada, tal que si comparásemos su valor para dos fuerzas cualesquiera orientadas de esta manera, aquélla para la cual este producto sea mayor, superará en poder de rotación a la otra. En el lenguaje matemático se acostumbra a denominar “momento Fig. 7.6. Dada FB aplide la cantidad tal con respecto a un eje o punto”, al producto de esa cantidad por la dis- cada tangencialmente tancia al eje o al punto, de manera que según la expresión que hemos hallado, al poder en B, para encontrar de rotación le corresponde precisamente la denominación “momento” (que no debe in- la fuerza que pueda equilibrar su poder de terpretarse como algo que tiene que ver con el tiempo o el instante). aplicada tanDe manera que, definimos el momento o poder de rotación con respecto a O de una rotación gencialmente en una fuerza F aplicada en A formando un ángulo  con la línea OA: circunferencia de MF,O = F  OA  sen

(7.7)

En donde, MF,O significa el momento de F con respecto a O, y se sobreentiende, en esta expresión y en las otras similares, que OA indica la longitud del segmento OA. Teniendo en cuenta que, como se ve en las figuras 7.5 y 7.6, F sen es FT, la componente de F tangencial a la circunferencia que puede describir el punto A alrededor del eje, y que OAsen es igual a la distancia OB entre el eje y la recta de acción de la fuerza, tenemos que son definiciones equivalentes del momento: MF,O = F  OB = FT  OA

mayor radio, debe prolongarse la tangente en B hasta cortar a la circunferencia mayor. En ese punto, denominado A, se proyecta tangencialmente  FB y se obtiene FA.

(7.7’)

La distancia OB entre el eje y la recta de acción de la fuerza se denomina “brazo de palanca” de la fuerza respecto del eje, y utilizaremos para ella en general la letra b. Nota 1. Acerca del brazo de palanca

Cuando la fuerza se aplica en A de la manera más efectiva, tangencialmente a la circunferencia por la que se desplazará el punto A, resulta  = 90°, sen =1, y el brazo de palanca coincide con OA. En este caso el momento vale F×OA, que es el máximo valor que puede tomar para las distintas orientaciones posibles de la fuerza. El caso opuesto, de mínimo valor para la misma fuerza aplicada en el mismo lugar A, es cuando la fuerza está alineada con el centro O. En ese caso la Fig. 7.7. Caso de momento máximo y de momento nulo, para una fuerza distancia de O a la recta de acción de la fuerza aplicada a distancia OA del punto eje O. es cero, ya que la recta pasa por O. Dinámica de las rot aciones

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Fig. 7.8: Cuando la fuerza se aplica oblicuamente, el brazo de palanca debe buscarse como la distancia entre O y la recta de acción de la fuerza, tomada perpendicularmente a la recta (la distancia de un punto a una recta sólo tiene sentido entendida de esta manera).

Nota 2. Acerca del sentido de la rotación

La rotación ocurre en el espacio, tiene orientación, y se puede describir con ayuda de ciertos vectores especiales (ver Anexo 7.2). Por ahora, en un planteo simple, digamos que, observando de manera de ver de frente el plano de la rotación (en el cual tienen lugar las circunferencias descriptas por los puntos que giran), es decir viendo “de punta” el eje, se acostumbra a asignar signo + al sentido de rotación antihorario, y signo  al sentido horario.

Por supuesto que esta asignación de signos es arbitraria, y puede ser modificada si se lo desea: una rotación horaria es vista como antihoraria desde detrás del plano.

7.3. Leyes de la dinámica de la rotación pura Inercia de la rotación pura Ahora bien, para establecer leyes de una manera lo más parecida posible a las que ya conocemos para los movimientos lineales, comencemos considerando el caso más simple, en el cual no se aplique ninguna fuerza exterior sobre los puntos del cuerpo fuera del eje. En este caso, una rotación no podrá iniciarse espontáneamente, ni tampoco detenerse: si no se aplican fuerzas con momento sobre un cuerpo rígido que está rotando, entonces, por inercia, su rotación continuará, manteniendo constante el valor de la velocidad angular. Vale aclarar que, en este caso, necesariamente actúan fuerzas interiores sobre cada partícula del cuerpo, ya que cada una describe un movimiento circular, que para mantenerse requiere de la acción de una fuerza centrípeta. En el cuerpo rotante se desarrollan tensiones cuyo efecto es aplicar una fuerza centrípeta neta sobre cada partícula. Estas fuerzas, tanto la acción sobre cada partícula (centrípeta), como la reacción (centrífuga) de ella sobre las vecinas, tienen la dirección estrictamente radial, y por ello no tienen momento con respecto al eje, y no contribuyen de ninguna manera a iniciar, ni a mantener, ni a detener la rotación.

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M ecánica Básica

m3 →

F3

→ v3

→

F1 →

F2 m2

v→ 1 m1

→ v2

(a)

Fig. 7.9. Aún en el caso en que un cuerpo rota libremente, sin ninguna fuerza exterior aplicada, hay fuerzas sobre cada una de sus partículas constituyentes. Estas fuerzas son aplicadas sobre cada partícula por las partículas vecinas, y tienen la dirección hacia el centro, como se ilustra en (a) para tres partículas genéricas con vectores huecos. En (b) se ilustran las tensiones normales, de tracción, que aparecen tanto en cualquier superficie cilíndrica, Sc, como en cualquier plano radial que contenga al eje, Sr . El cuerpo podría romperse si estas tensiones se hicieran demasiado grandes, y a partir de ese momento, cada parte continuaría con un movimiento diferente.

Ley del Impulso para las rotaciones Consideremos ahora un cuerpo rígido con un eje que es mantenido fijo por cojinetes ideales sin rozamiento, que permiten al cuerpo ejecutar sólo rotaciones puras. Sobre este cuerpo se aplican varias fuerzas exteriores en distintos puntos, para lograr una rotación de determinadas características. Si consideramos la masa mi de una partícula cualquiera del cuerpo, podemos aplicarle la Ley del Impulso en la dirección tangencial, y decir que en un intervalo de tiempo t, su velocidad (tangencial) vi sufrirá una variación vi tal que: Fi t = mi vi En esta expresión, Fi es la resultante de todas las fuerzas tangenciales sobre la partícula i. Estas fuerzas son ejercidas por todas las partículas vecinas (según el principio de acción y reacción), más los agentes exteriores que actúen allí, si los hay. Notar que los agentes exteriores, en general, actúan sobre algunos puntos particulares, mientras que todas las partículas vecinas se ejercen fuerzas mutuas unas con otras; estas fuerzas son consideradas interiores para el cuerpo que rota, aunque sean exteriores para una partícula determinada. ∑ FT ; i ∆t + ∑ FT ; i ∆t = mi vi ejercidas por agentes exteriores

ejercidas por otras partículas

Ahora bien, como el cuerpo es rígido, la velocidad tangencial sólo puede cambiar porque cambie la angular, de manera que el miembro derecho puede ser escrito como mi i . Como nos interesa escribir este cambio en función de los momentos de las fuerzas actuantes, podemos multiplicar toda la expresión por i : ∆t ∑ FTe x t;i ρi + ∆ t ∑ FT in t;i ρi = mi i  i

(7.8)

Ahora bien, en el primer término del miembro izquierdo está expresada la suma de los momentos de las fuerzas exteriores aplicadas sobre cada partícula. El resultado de esa suma es el momento total de las fuerzas exteriores que estén aplicadas sobre esa partícula, Dinámica de las rot aciones

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si las hay, con respecto al eje. Si además nos planteamos sumar ese resultado sobre todas las partículas, simplemente tendremos el momento total de las fuerzas exteriores sobre el sistema completo con respecto al eje. (7.9) ∑ ( ∑F ρ ) = M Text; i

i

total fuerzas exteriore

i

En cambio, en el segundo término del miembro izquierdo está expresada una suma que considera los momentos de las fuerzas sobre una partícula, debidas a sus vecinas. Estas fuerzas, por acción y reacción, son opuestas a las que ella ejerce sobre sus vecinas . De manera que si se suman todos estos términos sobre todas las partículas, el resultado, que es el momento neto debido a todas las fuerzas interiores, debe ser nulo. Momento neto de fuerzas interiores

∑ ( ∑ FT in t ;i ρi ) = 0 (7.10) i De manera que, sumando ambos miembros sobre todas las partículas obtenemos lo que podemos considerar como Ley del Impulso para una rotación pura: Mfuerzas exteriores t = ∆ ω ∑ mi ρi2

(7.11)

i

Revisemos los términos de esta expresión, mientras la comparamos con la corresponr diente al movimiento lineal: r F ∆t = ∆ (m v ) r r F ∆ t = m∆ v

Impulso angular Sabemos que el momento de las fuerzas es el concepto que juega, para las rotaciones, el papel que las fuerzas juegan para los movimientos lineales. De manera que M t, es decir el momento de la fuerza, por el tiempo que actúa, juega el papel del impulso para las rotaciones, al cual denominaremos “impulso angular”, con respecto al eje correspondiente. Impulso angular = M t (7.12) Vale decir que así como el impulso ...