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Cap. 6 Armaduras

Pág. 6-1 Por: Jorge Rodríguez Hernández, Dr. Ing. Sección de Ingeniería Mecánica Área de Diseño

Cap. 7 Armaduras 7.1 Concepto de armadura •

Armadura:

es una estructura compuesta por un cierto número de barras unidas en sus extremos por medio de pasadores sin fricción para formar una armazón rígida. Las armaduras se utilizan frecuentemente para soportar techos y puentes.

c

Fig. 6-2

Fig. 6-1 •

Barra:

es un elemento esbelto cuya dimensión transversal es pequeña en relación con su longitud. Así, cualquier barra de una armadura puede ser idealizada por su eje. t

 <

Fig. 6-4

 Fig. 6-3

•

Se supone que las fuerzas externas y las reacciones en los apoyos que sustentan la armadura están en el mismo plano de la estructura y actúan solamente sobre los nudos.

Fig. 6-5

c

Fig. 6-6

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•

Pág. 6-2

Se supone que la línea axial de cada barra coincide con la línea que une los centros de los nudos de sus extremos y que el peso de cada barra es despreciable en comparación con las fuerza externas que actúan sobre la armadura. Si se desea considerar el peso propio de las barras entonces se deberá suponer que el peso está repartido (a mitades) en cada extremo:

≡ W/2

W Fig. 6-7

W/2

•

De las condiciones anteriores (principalmente de la aplicación de cargas solamente en los nudos) se concluye que cada barra de una armadura es un elemento sometido a la acción de dos fuerzas (una en cada extremo).

•

Recordando que si un cuerpo está sometido a la acción de 2 fuerzas, para que se cumpla el equilibrio del cuerpo las dos fuerzas deben ser iguales en magnitud y dirección pero de sentido contrario. Es decir, la barra en equilibrio estará sometida a tracción o a compresión. F

Convención de signos:

F

Barra a tracción

F

Fuerza interna de tracción: + F

Barra a compresión

Fuerza interna de compresión: -

Fig. 6-8

•

El análisis completo de una armadura consiste en la determinación de las fuerzas axiales internas de todas sus barras. Cada barra representa una incógnita de fuerza interior.

•

En realidad una armadura moderna, construida con uniones soldadas, remachadas o atornilladas no es realmente una armadura en el sentido que se acaba de definir, sin embargo, puesto que se consigue un resultado satisfactorio de esfuerzos suponiendo que las uniones son por medio de pasadores, entonces se la puede considerar también como armadura. Ver diferentes posibilidades para la realización del nudo N de la armadura de la fig. 6-9.

Nudo N

a) Detalle de barras articuladas.

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Fig. 6-9

b) Detalle de barras soldadas a la placa de nudo.

Fig. 6-10

c) Detalle de barras atornilladas a la placa de nudo.

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La estructuración más simple de una armadura es un triángulo (ver figura 6-11a). Notar que no es posible ningún movimiento de alguna barra con respecto a otra. Por tanto ese triángulo se comporta como un ente rígido. Si se le añaden dos barras adicionales para formar otro triángulo, el nuevo sistema sigue siendo un ente rígido (ver figura 6-11b). Si añadimos dos barras más para formar otro triángulo, el sistema sigue siendo rígido. Notar que por cada triángulo que se agregue, el número de nudos se incrementa en uno. Una armadura construida de esta manera se denomina armadura simple.

Fig 6-11c

Fig 6-11b

Fig 6-11a

Está claro que luego de construida la armadura tendremos que apoyarla convenientemente para que no se mueva al portar cargas. Por ejemplo como lo muestra la fig. 6-12.

Fig 6-12

Armadura simple: es una armadura rígida plana que puede formarse partiendo de tres barras unidas por pasadores en sus extremos, formando un triángulo, y luego extendiendo dos nuevas barras por cada nuevo nudo.

Fig 6-13

Fig 6-14

Armadura compuesta: si dos o más armaduras se unen para formar un conjunto rígido, la armadura formada se denomina armadura compuesta. La unión entre dos armaduras simples puede realizarse por medio de tres vínculos no paralelos ni concurrentes o por medio de un tipo equivalente de unión. Por ejemplo: Armaduras unidas por medio de tres barras:

Fig 6-16

Fig 6-15

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Armaduras unidas por una articulación y una barra:

Fig 6-17

7.2 Estabilidad y determinación estática de estructuras planas 7.2.1 Estabilidad Diremos que una estructura es estable si todos sus miembros están adecuadamente soportados o restringidos en sus apoyos. Para ello no bastará que se satisfagan las ecuaciones de equilibrio en cada uno de los miembros. Por el contrario, diremos que una estructura es inestable si hay menos reacciones que ecuaciones de equilibrio, lo cual significará que el sistema no está completamente restringido. Definimos el número de grados de libertad GDL como: → donde:

GDL = 3 N − (VE + VI ) N VE VI

número de barras número de vínculos (reacciones) externos número de vínculos (reacciones) internos

si GDL ≤ 0

estructura estable, excepto si hay restricciones inapropiadas.

si GDL > 0

estructura inestable.

Se denominan restricciones inapropiadas a aquellas que permiten el movimiento de la estructura o de alguna de sus partes (reacciones concurrentes o paralelas). Ejemplos:

Analizar la estabilidad de los siguientes sistemas planos. N =1 VE = 3

a)

GDL = 3 (1) − 3 = 0

La estructura es estable. Fig 6-18

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b) Fig 6-19

N = 2 , Ve = 6 , Vi = 2

→

GDL = 3 (2) − (6 + 2) = − 2

⇒

estable

c) Estructura inestable pues las reacciones son concurrentes (la estructura no está impedida de girar alrededor de la articulación fija). Fig 6-20

d) Fig 6-21

Estructura inestable pues las reacciones son paralelas (la estructura no está impedida de trasladarse en dirección perpendicular a las reacciones). 7.2.2 Determinación estática Diremos que una estructura es estáticamente determinada si todas las fuerzas actuantes en los vínculos externos e internos pueden determinarse utilizando solamente las ecuaciones de equilibrio. Cuando se tienen más fuerzas incógnitas que ecuaciones de equilibrio se dice que la estructura es estáticamente indeterminada. La determinación del número de las ecuaciones de equilibrio y de las fuerzas incógnitas se puede realizar muy fácilmente a partir de los diagramas de cuerpo libre (DCLs) de los elementos que componen la estructura o, cuando se tiene un poco de experiencia y se puede realizar el conteo mental. Cuando una estructura es estáticamente indeterminada, las ecuaciones que faltan para encontrar todas las fuerzas incógnitas se obtienen a partir del análisis de los desplazamientos (lineales y/o angulares) de algunos puntos característicos de la estructura. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad y para plantearlas se necesita conocer las características físicas (propiedades mecánicas del material) y geométricas (área transversal, momento de inercia, p.e.) de cada parte de la estructura. Denominando N al número de barras de la estructura plana y R al número de reacciones (fuerza o momento) en todos los vínculos (internos y externos) de la estructura, entonces: si R = 3 N si R > 3 N si R < 3 N

estructura estáticamente determinada o isostática estructura estáticamente indeterminada o hiperestática de grado ( R − 3 N ) estructura hipostática o mecanismo

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En este punto debe quedar claro que lo más importante es que una estructura sea estable. Si no lo es, no tiene sentido práctico ni importancia alguna continuar el análisis para determinar si la estructura es estáticamente determinada o no. Ejemplos:

Analizar la determinación estática de los siguientes sistemas planos.

a) Fig 6-22

R = 3, N = 1

⇒

R =3N

⇒

estáticamente determinada.

b) Fig 6-23

R = 4 , N =1

⇒

R >3N

⇒

estáticamente indeterminada de 1° grado.

c) Fig 6-24

R = 8, N = 2

⇒

r > 3N

⇒

estáticamente indeterminada de 2° grado.

d)

Fig 6-25

r = 9, N = 3

⇒

R =3N

⇒

estáticamente determinada.

En el capítulo 7 (marcos y bastidores) daremos más ejemplos. Ahora aplicaremos estos conceptos a las armaduras (tema principal de este capítulo).

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7.3 Estabilidad y determinación estática de armaduras Los principios que acabamos de analizar en el acápite anterior son válidos para cualquier estructura plana, sin embargo, dado que las armaduras tienen ciertas particularidades, adaptaremos los mencionados conceptos del acápite 6.2 para poder realizar el análisis de manera más sencilla. 7.3.1 Estabilidad de una armadura Aquí utilizaremos la expresión deducida para estructuras planas en general. Es decir, el número de grados de libertad del sistema está dado por:

GDL = 3 N − (VE + VI ) donde:

N VE VI

es el número de cuerpos planos es el número de vínculos externos es el número de vínculos internos

si GDL ≤ 0

armadura estable, excepto si hay restricciones inapropiadas

si GDL > 0

armadura inestable.

Estabilidad externa En general una estructura (en este caso una armadura) es inestable externamente si las reacciones en los soportes externos son paralelas o concurrentes. En la fig. 6-26 se puede ver que la armadura puede girar (colapsar) girando alrededor del apoyo A.

A

B Fig. 6-26

En la fig. 6-27 se puede ver que la armadura puede desplazarse en dirección horizontal si es que sobre ella actúa una carga con componente horizontal. Las reacciones en los apoyos se originan en dirección vertical y son paralelas entre sí.

Fig. 6-27

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Estabilidad interna La idea es determinar que no hay nudo alguno o parte de una armadura que pueda moverse en modo de cuerpo rígido con respecto a otro nudo o parte de la estructura. Una armadura simple será siempre internamente estable. En el caso de armaduras compuestas y complejas se deberá realizar una inspección visual o por computadora. Se debe notar que lo importante es si la armadura es estable o no. Si es inestable ya no importará si la estructura es estáticamente determinada o no. Está claro que en la práctica no se debe utilizar estructuras inestables. Ejemplos:

Determinar la estabilidad de las siguientes armaduras.

1

a)

2

N = 7 barras

3

Vínculos externos:

VE = 3

Vínculos internos: 4

5

2 articulaciones simples: 2 articulaciones de 3 elementos: 1 articulación de 4 elementos:

Fig. 6-28

→ GDL = 3 (7) − (3 + 18) = 0

b)

1

5

7

6

VI = 18 armadura estable

N = 10 VE = 3 V I = 26

4

3

2

→

2(2) = 4 2 (3-1) (2) = 8 1 (4-1) (2) = 6

GDL = 3 (10) − ( 3 + 26) = 1

→

inestable

Fig. 6-29

c)

4

N =7 VE = 3 V I = 18

5

GDL = 3 N − (VE + VI ) = 3 (7) − (3 + 18) = 0

3

2

1

→

estable

Fig. 6-30

Nota 1:

En el caso que las barras 2–3 y 3–4 estén alineadas, tendremos, al igual que en el caso anterior: 2

3

4

5

1 Fig. 6-31

N =7 VE = 3 V I = 18

GDL = 3 N − (VE + VI ) = 3( 7) − (3 + 18) = 0

→

estable (¿?)

Pero en realidad será inestable, pues en el nudo 3 convergen sólo 2 barras alineadas.

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Nota 2:

Pág. 6-9

En el caso que los apoyos sean como se muestran a continuación (generan reacciones paralelas), la armadura será inestable.

3

2

4

1

5 Fig. 6-32

7.3.2 Determinación estática Sean:

número de barras de la armadura número de reacciones externas número de nudos

N Re n

Disponemos de dos ecuaciones de equilibrio por cada nudo. Entonces tenemos 2n ecuaciones en total. Como en una armadura cada barra soporta solamente carga axial (incógnita interna) y el conjunto total está sustentado mediante Re reacciones externas, tendremos en total ( N + Re ) incógnitas. Ahora podemos afirmar que: si N + Re = 2 n

armadura estáticamente determinada o isostática

si N + Re > 2 n

armadura estáticamente indeterminada o hiperestática

Definimos el grado de indeterminación o de hiperestaticidad en armaduras planas: GH = N + Re − 2 n Hay que tener cuidado en este aspecto pues puede suceder que una armadura estáticamente determinada o una estáticamente indeterminada sea inestable. Ello se puede determinar a través de una cuidadosa inspección o por análisis de fuerzas. Ejemplos: a)

6

Analizar la determinación estática y estabilidad de las siguientes armaduras. 5

1

3

2 Fig. 6-33

N=9 VE = 3 VI = 24 →

Hiperestaticidad:

GDL = 3 N − (VE + VI )

Estabilidad:

4

    

GDL = 3 (9) − (3 + 24) = 0

armadura estable

GH = N + Re − 2 n

N = 9 , Re = 3 , n = 6

→

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GH = 9 + 3 − 2(6) = 0

→

armadura isostática

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b)

Pág. 6-10

5

6

1

3 2

Fig. 6-34

GDL = 3 N − (VE + VI )

Estabilidad:

4

N=8 VE = 3 VI = 20

    

GDL = 3 (8) − (3 + 20) = 1

→ GH = N + Re − 2 n

Hiperestaticidad:

N = 8 , Re = 3 , n = 6

c)

6

armadura inestable

5

GH = 8 + 3 − 2( 6) = −1 →

→

3

1 2

Fig. 6-35

GDL = 3 N − (VE + VI )

Estabilidad:

4

N=8 VE = 4 VI = 20

    

GDL = 3 (8) − ( 4 + 20) = 0

→

armadura estable

GH = N + Re − 2 n

Hiperestaticidad:

N = 8 , Re = 4 , n = 6

d)

mecanismo

2

GH = 8 + 4 − 2(6) = 0

→ 3

1 10

5

4

9

→

armadura isostática

6

7 8 Fig. 6-36

Estabilidad:

GDL = 3 N − (VE + VI ) = 3 (16) − ( 4 + 44) = 0

Hiperestaticidad:

GH = N + Re − 2 n = 16 + 4 − 2 (10) = 0

→ →

estable isostática

Otra manera de determinar la estabilidad de la armadura: observando que se trata de una armadura compuesta y que en tal caso cada armadura simple (sombreada en la figura) se comporta como un miembro de la armadura compuesta:

Fig. 6-37

Estabilidad:

GDL = 3 N − (VE + VI ) = 3 ( 2) − ( 4 + 2) = 0

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→

estable

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7.4 Nudos bajo condiciones especiales de carga a)

Las fuerzas internas en elementos opuestos deben ser iguales. c

b θ

θ

a d Fig. 6-38

La demostración es sencilla: la suma de fuerzas en el nudo debe ser nula en cualquier dirección. Tomemos la dirección perpendicular a cd. Si observamos con atención veremos que en la sumatoria contribuirán las componentes de Fa y Fb en esa dirección. Además, dichas fuerzas tendrán que ser opuestas para anularse. Entonces podemos escribir: Fb cos θ − Fa cos θ = 0

→

Fb = Fa

Para completar el equilibrio en el nudo no queda otra opción que se cumpla: b)

P b

Nudo con tres elementos y carga: dos de los elementos están alineados y el restante está alineado con la carga. Como en el caso anterior:

a c

Fa = Fb Fc = P

y para completar el equilibrio:

Fig. 6-39

c)

b a

Fc = Fd .

Caso anterior pero sin carga en el nudo. Fc = 0

Razonando a partir del anterior caso b): c Fig. 6-40

d)

Dos barras no colineales convergen en un nudo sin carga: a

→ θ

Fa = Fb = 0

b

Fig. 6-41

Nota: Si es que existen simetría geométrica y simetría en la aplicación de las cargas, entonces podremos aprovechar dichas simetrías para analizar sólo la mitad de la armadura, pues la otra mitad se comportará de manera simétrica. 2P P

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Fig. 6-42

P

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7.5 Análisis de armaduras planas Si deseamos determinar todas las reacciones externas y también las fuerzas axiales (internas) en todas las barras de la armadura, el método más adecuado será el de los nudos. Sin embargo habrá ocasiones en que solamente desearemos determinar algunas de las incógnitas de la armadura, en cuyo caso será más aconsejable utilizar el método de los cortes. Este último caso se presenta como aconsejable, además, para el análisis de armaduras compuestas.

7.5.1 Método de los nudos Se basa en el hecho de que, como la armadura que se analiza está en equilibrio, entonces cada parte de ella debe estar también en equilibrio. En particular cada nudo estará en equilibrio. Si cada nudo ...