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09. Movimiento periódico

Índice 

Descripción de la oscilación



Oscilador armónico (masa-muelle horizontal)  Ecuación del movimiento (Sears 13.2) 

Solución de la ecuación del movimiento. Posición, velocidad, aceleración (Sears 13.2) Descripción de la oscilación (Sears 13.1)



MAS como proyección de un movimiento circular uniforme (Sears 13.2)  Energía en el MAS (Sears 13.3) Aplicaciones del MAS (Sears 13.4)



Péndulo simple (Sears 13.5)  Péndulo físico (Sears 13.6) Oscilaciones amortiguadas



Ecuación del movimiento (parcialmente en Sears 13.7), energía en oscilaciones amortiguadas (Sears 13.7) Oscilaciones forzadas (Sears 13.8)







(Todos los apartados se refieren a la 12ª edición del libro) 2

DESCRIPCIÓN DE LA OSCILACIÓN 

El movimiento periódico es un movimiento que se repite en un ciclo definido.



Oscilación: Se presenta siempre que un cuerpo tiene una posición de equilibrio estable y una fuerza de restitución que actúa cuando el cuerpo se desplaza de la posición de equilibrio.



Movimiento armónico simple (MAS): Vibración o movimiento oscilatorio (periódico en el tiempo) de una partícula alrededor de una posición de equilibrio estable bajo la influencia de una fuerza restauradora (o fuerza de restitución) proporcional al desplazamiento, que tiende a llevar al cuerpo a la posición de equilibrio.  Muchas situaciones físicas (péndulo, diapasón, vibración de maquinaria, circuitos LC o RLC, etc.) pueden modelarse como MAS o composición de MAS, o llevan a ecuaciones análogas a las que obtendremos en este tema.



Oscilaciones libres, amortiguadas y forzadas  Caso ideal (MAS ): El objeto se mueve entre dos posiciones sin pérdida de energía mecánica.  En los casos reales, en mayor o menor grado, la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo: oscilaciones amortiguadas. El amortiguamiento también puede ser deliberado (ej: amortiguadores de un vehículo)  Si la energía perdida se aporta mediante fuerza externa  oscilaciones forzadas Péndulo: imagen de Tibbets 74 bajo licencia Creative Commons Attributions-Share Alike 3.0 Masa-muelle: imagen de Oleg Alexandrov cedida al dominio público.

3

T

Tipler, Mosca, 5ª ed., Ed. Reverté

MOVIMIENTO PERIÓDICO

Amplitud (A): Magnitud máxima del desplazamiento. Ciclo: Desplazamiento completo en ambos sentidos. Período (T): Tiempo empleado en recorrer un ciclo.

Frecuencia (f): Número de ciclos por unidad de tiempo (1 Hz = 1 s-1). Frecuencia angular o pulsación (ω): Representa la rapidez de cambio de una magnitud angular, la cual no necesariamente está asociada con un movimiento rotacional. 4

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Uno de los sistemas más sencillos para estudiar oscilaciones es el de una masa unida a un muelle ideal, que se puede desplazar horizontalmente con rozamiento despreciable. La fuerza que el muelle ejerce sobre la partícula es una fuerza restauradora (tiende a devolver al sistema a la posición de equilibrio) proporcional al desplazamiento: Fuerza de restitución: 2ª Ley de Newton: Ecuación Diferencial del Movimiento Armónico Simple:

Solución:

5



Podemos comprobar que efectivamente esta función sinusoidal es una solución de la ecuación diferencial del movimiento:

x = A cos(ωt + φ ) vx =

dx dt

ax =

dv x dt



= − Aω sin( ωt + φ ) vx = − Aω sin(ωt + φ ) =

d 2x dt 2

= − Aω 2 cos( ω t + φ ) = −ω 2 x



k m

k m

x = 0 , que se cumple siempre ∀t ⇔ ω 2 =

x=0

k m

El período y la frecuencia de las oscilaciones es entonces

T= 

a x = −ω 2 x

2 Sustituyendo a x = −ω x en la ecuación del movimiento a x +

tenemos − ω 2 x +

Tipler, Mosca, 5ª ed., Ed. Reverté

MAS: Sistema masa muelle

2π

ω

= 2π

m k

f = T1 =

1 2π

k m

Observamos que: 

x, vx y ax varían sinusoidalmente pero no están en fase. T y f son independientes de la amplitud de la oscilación.



ax es proporcional al desplazamiento pero tiene sentido opuesto.



6

ANALOGÍA ECUACIONES DEL MAS Y DEL MCU Ecuación del MAS:

Ecuación del MCU:

El punto Q realiza un MCU y su proyección sobre el eje x, el punto P, realiza un MAS en el eje x.

El Movimiento Armónico Simple es equivalente a la proyección sobre un diámetro del Movimiento Circular Uniforme con velocidad angular ω. El vector giratorio A en el MCU se denomina fasor.

7

ANALOGÍA ECUACIONES DEL MAS Y DEL MCU Ecuación del MAS:

Ecuación del MCU: El punto Q realiza un MCU y su proyección sobre el eje x, el punto P, realiza un MAS en el eje x.

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ANALOGÍA ECUACIONES DEL MAS Y DEL MCU Ecuación del MAS:

Ecuación del MCU: El punto Q realiza un MCU y su proyección sobre el eje x, el punto P, realiza un MAS en el eje x.

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ANALOGÍA ECUACIONES DEL MAS Y DEL MCU ECUACIONES DEL MAS

ECUACIONES DEL MCU Donde

Aquí

representa la pulsación del MAS

y representa la velocidad angular del MCU. Entonces:

Si

Si 10

VARIACIONES DEL MAS 

Consideremos, de nuevo, el sistema masa-resorte ideal horizontal, cuya fuerza de restitución es:

a) Si aumenta la masa m, disminuye la aceleración y aumenta el periodo. b) Si aumenta la constante del resorte k, se incrementa la fuerza de restitución, aumenta la aceleración y disminuye el periodo. c) Si aumenta la amplitud A, se incrementa la fuerza de restitución máxima, , aumenta la aceleración máxima,

, pero el periodo se mantiene invariable.

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Condiciones iniciales del MAS  La ecuación general del MAS se puede escribir como:

donde A y vienen determinados por las condiciones iniciales de desplazamiento, x 0, y velocidad inicial, v0. • Si en , entonces . y • Si en , entonces

Las tres curvas muestran el MAS con el mismo periodo T y amplitud A, pero con ángulos de fase  distintos.

Cálculo de A y



en función de

t=0

ωt A

 x0

x

:

) A) 12

MAS vertical Ejemplo (Apdo. 13.4 Sears). Determinar la ecuación diferencial del movimiento y su solución para el sistema formado por un resorte ideal de constante elástica k, del que cuelga una masa m, en los siguientes casos: a) Tomando el origen de coordenadas en la posición de equilibrio del resorte con la masa (véase la figura). b) Tomando el origen de coordenadas en la posición de la longitud natural del resorte.

13

ENERGÍA DEL MAS Ejemplo: MAS horizontal del resorte ideal con una masa m Energía potencial resorte ideal (fuerza conservativa): Energía mecánica del sistema (resorte con la masa): – (Constante, no hay fuerzas disipativas)

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APLICACIONES DEL MAS 

El movimiento de cualquier sistema que, cuando se perturba, es devuelto hacia la posición de equilibrio por una fuerza de restitución proporcional al desplazamiento, satisface una ecuación de la forma

d 2x ω2 x = 0 2 + dt donde el valor de ω2 depende de cada sistema particular. Por ejemplo:  Masa-muelle: ω2 =k/m 



Péndulo simple: ω2 =g/L

Para muchos sistemas físicos, un desplazamiento suficientemente pequeño a partir de la posición de equilibrio resulta en una fuerza restauradora aproximadamente proporcional al desplazamiento  en un movimiento aproximadamente armónico simple en torno a la posición de equilibrio. Es decir, para estos sistemas se obtiene la ecuación del movimiento de un MAS si se pueden hacer aproximaciones del tipo sin θ ≈ θ cos θ ≈ 1

Válidas si los ángulos se expresan en radianes 15

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. EJEMPLOS 

Péndulo simple. Obtenga la ecuación diferencial del movimiento de una masa puntual m, suspendida de un hilo inextensible , de masa despreciable y longitud L (péndulo simple); cuando realiza pequeñas oscilaciones.

Para pequeñas oscilaciones

16

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. EJEMPLOS 



Péndulo físico. Cualquier SR que se cuelga de un punto que no sea su centro de masa puede oscilar si se separa de su posición de equilibrio. Dicho SR recibe el nombre de péndulo físico. Deduzca la expresión del período de pequeñas oscilaciones de una barra delgada y uniforme de masa M y longitud L, que oscila sin rozamiento en un plano vertical respecto a un eje que pasa por uno de sus extremos.

Para pequeñas oscilaciones

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OSCILACIONES AMORTIGUADAS En los movimientos periódicos reales hay fuerzas disipativas: amortiguamiento. El movimiento periódico resultante se llama oscilación amortiguada. Es un movimiento periódico en el que la amplitud disminuye con el tiempo. Ejemplo: Sistema masa – resorte ideal con amortiguación viscosa. Fuerza de amortiguación: Fuerza de restitución:

x=0 Solución de la Ecuación Diferencial si Fa es pequeña:

x

La amplitud no es constante disminuye en el tiempo con el factor: 18

OSCILACIONES AMORTIGUADAS Disminuye al aumentar la amortiguación, b. Amortiguamiento crítico Sobreamortiguamiento i. Si

Amortiguamiento

crítico. No oscila, se mueve hacia la posición de equilibrio. ii. Si

. Sobreamortiguamiento. No oscila, se mueve

hacia la posición de equilibrio más lentamente. ii. Si

. Subamortiguado. Oscila. A medida que aumenta

el amortiguamiento (b mayor): • La amplitud disminuye más rápidamente. • El período aumenta. (T0 es el período sin amortiguamiento).

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ENERGÍA EN OSCILACIONES AMORTIGUADAS La fuerza de amortiguación no es conservativa. La energía mecánica del sistema disminuye con el tiempo. Ejemplo: Sistema masa – resorte ideal con amortiguación viscosa. La energía mecánica total en el instante t: 1 1  () =  2() + 2 () 2 2 Derivamos respecto al tiempo para determinar su variación:

x=0

   +  =    +  =  ( + ) =      +  = − ⇒

x

 = −  2  La potencia realizada por la fuerza amortiguadora es equivalente a la rapidez de disminución de la energía mecánica: (− ) =  ·  20

OSCILACIONES FORZADAS Si aplicamos una fuerza impulsora (distinta de la fuerza de restitución) que varíe periódicamente con frecuencia angular ωd, a un oscilador armónico amortiguado, el oscilador sufrirá una oscilación forzada. • La frecuencia angular natural, ω’, del oscilador armónico amortiguado depende sólo de k, m y b, es independiente de la fuerza impulsora. • La frecuencia a la que oscila el sistema es la frecuencia impulsora, ωd. • Si ωd = ω’ el sistema entra en resonancia: la amplitud de la oscilación es máxima.

ωd, rad/s 21...