1. VL KL2 Zahnräder 1 - Vorlesungsnotizen 1 PDF

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Zahnräder 1 Verzahnungsgesetz: Voraussetzung für einen gleichmäßigen Lauf eines Zahnradpaares ist eine stets konstant bleibende Übersetzung i=w1/w2= - r2/r1. Diese ist nur gegeben, wenn die Berührungs- oder Eingriffsnormale n-n in Punkt B stets durch den Wälzpunkt C verläuft. Im einfachsten Fall ist der Wälzpunkt C der Berührungspunkt auf der gedachten Verbindungslinie zwischen den Drehpunkten der beiden Zahnräder. Die Form der Zähne kann beliebig sein, solange das Verzahnungsgesetz zutrifft. Anforderungen an die Zahnprofilformen:    

Kinematische Grundforderung (konstante Übersetzung) Hohe Tragfähigkeit, geringe Verluste, Unempfindlichkeit gegen Fertigungsabweichungen Geringe Lärmentwicklung Einfache Fertigungsmöglichkeiten

Evolentenverzahnung: Die Evolentenfunktion „Inv(a)“ ist definiert als: rb · (ay + inv(ay))= rb·tan(ay) Inv(ay)= tan(ay) – ay Bei einer „Nullverzahnung“ (keine Profilverschiebung) ist der Wälzkreis identisch mit dem Teilkreis d. Profilwinkel ay: Mit wachsendem Abstand vom Grundkreis wächst auch die Schräglage der Evolente bzw. der Profilwinkel ay. ay ergibt sich zu: cos(ay) = rb/ry , wobei ry der Abstand von einem bestimmten Punkt der Evolente zum Radmittelpunkt ist und rb der Radius des Innenkreises ist. Eingriffswinkel a: Der Profilwinkel in der Mitte des Zahns, also am Teilkreis d, wird mit dem Eingriffswinkel a bezeichnet. Empfohlen ist ein Eingriffswinkel a von 20. Kleine Eingriffswinkel sind für lärmarme Verzahnungen und große Eingriffswinkel für hohe Stoßbelastungen gebräuchlich. Formelsammlung: Grundkreisteilung pb (Abstand der Zähne am Grundkreis) : pb = pcos(a) Eingriffsteilung pe ist der senkrechte Abstand von zwei benachbarten gleichgerichteten Zahnflanken: pe=pb = mπcos(a) mit p= πm Zahnkopfhöhe ha = ha1,2 = m Zahnfußtiefe hf: hf1,2 =ha1,2 +c Kopfspiel c : mit c= c*m (c* Kopfspielfaktor, normal c* = 0,25) Zahnhöhe h: h1,2 = ha1,2 + hf1,2 Kopfkreisdurchmesser da: da1,2 + 2ha1,2 = z1,2m + 2ha1,2 Fußkreisdurchmesser df: df1,2 = d1,2 – 2hf1,2 = z1,2m – 2hf1,2 Nullachsabstand ad : ad =(d1 + d2)/2 Zahndicke (am Teilkreis) s : s= p-e = p/2 mit Lückenweite e= p/2

Profilüberdeckung Ea: Für eine gleichförmige Drehmomentübertragung muss ga>pe gelten, d.h mindestens ein Zahnpaar muss ständig im Eingriff sein. Das Verhältnis der Eingriffsstrecke durch die Eingriffsteilung ergibt die Anzahl der Flankenpaare, die sich innerhalb der Eingriffsstrecke befinden: ea = ga/pe Unterschneidung: Bei der Unterschreitung einer sogenannten Grenzzähnezahl schneidet die Zahnecke am Kopfkreis des Gegenrades in den Fuß ein. Der Eingriff beginnt erst später, d.h. es gibt eine Verkürzung der Eingriffsstrecke und eine Schwächung des Zahnfußes. Theoretische Grenzzähnezahl: zg = 2ha /(msin2(a)) (Für a=20° ist zg=17 und eine wirkliche Gefährdung bei zg‘ = 5/6zg = 14 Vor- und Nachteile der Evolentenverzahnung: Vorteile  Einfache geradflankige Verzahnungswerkzeuge  Umempfindlich gegen Achsabstandsabweichungen (parallele Verschiebungen)  Satzrädereigenschaften  Konstante Zahnkraftrichtungen  Durch Profilverschiebung bei gleicher Zähnezahl und Grundkreisteilung Änderung des Achsabstandes möglich  Unterschiedliche Zahnformen und Achsabstände mit gleichem Werkzeug herstellbar

Nachteile  Unterschnitt bei kleinen Zähnezahlen  Ungünstige Pressungsverhältnisse bei Außenverzahnungspaarungen (Im Vergleich zu speziellen Kreisbogenverzahnungen)

Geometrie der Schrägverzahnung: Der Zahneingriff erfolgt nicht über die ganze Breite gleichzeitig, sondern kontinuierlich. Das herstellende Werkzeug wird schräg entsprechend dem Schrägungswinkel β eingestellt, so dass im Normalschnitt die Evolvente mit dem Eingriffswinkel 20° vorliegt. Bei einer schrägverzahnten Stirnradpaarung mit parallelen Achsen sind nur Räder mit einer links- und einer rechtssteigenden Verzahnung paarungsfähig. Schrägungswinkel β:  

8°- 20° bei Einfach- und Doppelschrägverzahnungen 30°- 45° bei Pfeilverzahnung

Formelsammlung Schrägverzahnung: Zahndicke: St= Sn/cos(β) Stirneingriffswinkel: tan(at)= tan(an)/cos(β) Normalteilung: pn= mnπ mit mn: Normalmodul Stirnteilung am Teilkreis: pt=mtπ= pn/cos(β) → mt= mn/cos(β) mit mt: Stirnmodul Stirneingriffsteilung: pet = ptcos(a1) = (mn/cos(β))πcos(a1) Teilkreisdurchmesser: dt = zmt = zmn/cos(at)

Grundkreisdurchmesser: db=dtcos(at) Fußkreisdurchmesser: df= dt- 2hf = dt – 2(ha+c) Kopfkreisdurchmesser: da = dt + 2ha = dt+ 2mn (Null-)Achsabstand: ad = (dt1 + dt2)/2= (mn/2cos(β))(z1+z2) Zahnsprung: gβ= btan|β| Sprungüberdeckung: eβ= gβ/pt = bsin(β)/mnπ mit pt: Zahnteilung (axial) Gesamtüberdeckung: e = ea + eβ Vor- und Nachteile der Geradverzahnung: Vorteile  Einfache Herstellung  Geeignet für Schieberäder

Nachteile  Weniger Laufruhe durch geringeren Überdeckungsgrad (Eingriff und Ablösung der Zähne nicht allmähnlich)

Vor- und Nachteile der Schrägverzahnung: Vorteile  Laufen ruhiger und geräuschärmer (größerer Überdeckungsgrad)  Besser für höhere Drehzahlen  Etwas höher belastbar

Nachteile  Axialkräfte: → zusätzliche Belastungen für Wellen und Lager → höhere Reibungsverluste und etwas geringerer Wirkungsgrad  Empfindlicher für Fertigungsabweichungen (Eingriff mehrerer Flankenpaarungen)

Bei einem Schrägungswinkel von unter 10° hat man keine Vorteile durch die Schrägverzahnung. Ab einem Schrägungswinkel von über 30° werden die Axialkräfte zu groß....