10 Ejercicios propuestos Torsión- Cachi Salcedo PDF

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10 ejercicios difíciles resueltos sobre torsión...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

10 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TORSIÓN

ALUMNO: CACHI SALCEDO, CHRISTIAN ANDRÉS

ASIGNATURA: MECÁNICA DE SÓLIDOS I DOCENTE: ING. MAURO CENTURIÓN VARGAS

GRUPO: A

CICLO: 2019 - I

Cajamarca, 05 de julio del 2019

EJERCICIOS Todos los ejercicios propuestos fueron elegidos del libro MECÁNICA DE MATERIALES. Quinta Edición. Ferdinand P. Beer / E. Russell Johnston, Jr. / John T. DeWolf / David F. Mazurek

EJERCICIO 1 Ejercicio 3.6 Un par de torsión T = 3 kN.m se aplica al cilindro de bronce sólido mostrado en la figura. Determine a) el máximo esfuerzo cortante, b) el esfuerzo cortante en el punto D que yace sobre un círculo de 15 mm de radio dibujado en el extremo del cilindro, c) el porcentaje del par de torsión soportado por la porción del cilindro dentro del radio de 15 mm.

SOLUCIÓN a)

d −3 c= =30 mm=30∗10 m 2 −3 4 −6 4 π 4 π J = c = (30∗10 ) =1.27235∗10 m 2 2 3

T =3 kN =3∗10 N . m

τ máx =

3 −3 Tc = (3∗10 N . m)(30∗10 m ) 6 N =70.736∗10 2 −6 4 J m 1.27235∗10 m

τ máx =70.7 MPa b)

ρd =15 mm=15∗10−3 m ρd τ máx (15∗10−3 m)( 70.7 MPa ) = τd= −3 c 30∗10 m

τ d =35.4 MPa 3

c)

τd=

3 J d τ d π ρd τ d ρd T d π T d = ( 15∗10−3 m) (35.4 MPa) = 187.5 N.m = → T d= 2 ρd Jd 2

1

Td 187.5 ∗100 %= 3 ∗100 % =6.25 % T 3∗10

EJERCICIO 2 Ejercicio 3.9 Los pares de torsión mostrados se ejercen sobre las poleas A y B. Si se sabe que cada eje es sólido, determine el esfuerzo cortante máximo a) en el eje AB, b) en el eje BC.

SOLUCIÓN a) En el eje AB: Tab = 300 N.m, d = 0.030 m,

τ máx =

c= 0.015 m

2 T 2∗300 N . m Tc Tc N = = 3= =56588424.21 2 3 3 J π 4 π c π∗0.015 m m c 2

τ máx =56.6 MPa .

b) En el eje BC: Tbc = 300 N.m + 400 N.m = 700 N.m

τ máx =

d = 0.046 m,

c= 0.023 m

2 T 2∗700 N . m Tc Tc N = = = =36626435.49 2 J π 4 π c 3 π∗0.0233 m 3 m c 2

τ máx =36.6 MPa . 2

EJERCICIO 3 Ejercicio 3.11 Bajo condiciones normales de operación, el motor eléctrico ejerce un par de torsión de 2.8 kN m en el eje AB. Si se sabe que cada eje es sólido, determine el máximo esfuerzo cortante a) en el eje AB, b) en el eje BC, c) en el eje CD.

SOLUCIÓN a) En el eje AB: Tab = 2.8 kN.m = 2.8 *103 N.m, d = 0.056 m,

τ máx =

c = d/2 = 0.028 m

3 2 T 2∗( 2.8∗10 )N . m Tc Tc N = 3= =81.20∗106 2 = 3 3 J π 4 πc π∗0.028 m m c 2

τ máx =81.2 MPa .

b) En el eje BC: Tbc = 2.8 kN.m -1.4 kN.m = 1.4 *103 N.m, d = 0.048 m, c = d/2 = 0.024 m

τ máx =

3 Tc Tc 2 T 2∗( 1.4∗10 ) N . m =64.47∗106 N = = = 3 3 2 J π 4 π c3 π∗0.024 m m c 2

τ máx =64.5 MPa . 3

c) En el eje CD: Tab = 2.8 kN.m - 1.4 kN.m - 0.9 kN.m = 0.5 *103 N.m, d = 0.048 m, c = d/2 = 0.024 m

τ máx =

3 2 T 2∗( 0.5∗10 )N . m Tc Tc N = = 3= =23.03∗106 2 3 3 J π 4 πc m π∗0.024 m c 2

τ máx =23.0 MPa .

EJERCICIO 4 Ejercicio 3.20 La varilla sólida BC tiene un diámetro de 30 mm y está hecha de un aluminio para el cual el esfuerzo cortante permisible es de 25 MPa. La varilla AB es hueca y tiene un diámetro exterior de 25 mm; está hecha de un latón para el cual el esfuerzo cortante permisible es de 50 MPa. Determine a) el máximo diámetro interior de la varilla AB para el cual el factor de seguridad es el mismo para cada varilla, b) el máximo par de torsión que puede aplicarse en A.

SOLUCIÓN 1. Varilla sólida BC: τ=

Tc , J

π J = c4 2

d τ permisible=25∗106 Pa ,c = =0.015 m 2 π π T permisible= c 3 τ permisible= (0.015 m ) ( 25∗106 Pa )=132.536 N . m 2 2 2. Varilla hueca AB: 6

τ permisible=50∗10 Pa, T permisible =132.536 N . m c exterior=

d exterior 0.025 = =0.0125 m , c interior =? 2 2

4 4 J∗τ permisible π∗( c exterior −c interior )∗τ permisible T permisible= = 2∗c exterior c exterior

Despejando:

4

4

c interior4=c exterior −

2∗T permisible∗c exterior π∗τ permisible

4

=0.0125 −

(2)(132.356 N .m )(0.0125 m) 6 π (50∗10 )

4 −9 4 c interior =3.3203∗10 m

a)

−3

c interior =7.59 x 10 m=7.59 mm , d interior =2 ¿ c interior

d interior =15.18 mm b)

T máx=132.536 N . m

EJERCICIO 5 Ejercicio 3.28 Un par de torsión con magnitud T 100 N m se aplica al eje AB del tren de engranes mostrado. Si se sabe que los diámetros respectivos de los tres ejes sólidos son d AB = 21 mm, dCD = 30 mm y dEF = 40 mm, determine el esfuerzo cortante máximo en a) el eje AB, b) el eje CD, c) el eje EF.

SOLUCIÓN Por estática: 1. En el eje AB:

TAB = TA = TB = T

2. En los engranajes B y C:

F BC=

Fuerza en engranajes. TC=

rB = 25 mm, rA = 60 mm TB TC = r B rC

r C T B 60 T = =2.4 T rB 25

3. En el eje CD:

TCD = TC = TD = 2.4 T

4. En los engranajes D y E: Fuerza en engranajes.

rD = 30 mm, rE = 75 mm F DE= 5

TD TE = rD rE

T E=

r E T D 75(2.4 T ) = =6 T 30 rD

5. En el eje EF:

TEF = TE = TF = 6 T

6. Máximo estrés constante: τ máx =

Tc 2T = J π c3

a) En el eje AB: T = 100 N.m,

τ máx =

d = 0.021 m,

c = d/2 = 0.0105 m

2(100 N . m ) =55∗106 Pa 3 π (0.0105)

τ máx =55 MPa

b) En el eje CD: T = 2.4(100) N.m = 240 N.m,

τ máx =

d = 0.030 m,

c = d/2 = 0.015 m

2(240 N .m ) =45.3∗106 Pa 3 π (0.015)

τ máx =45.3 MPa c) En el eje EF: T = 6(100) N.m=600 N.m,

τ máx =

d = 0.040 m,

c = d/2 = 0.020 m

2(600 N .m ) 6 =47.7∗10 Pa 3 π (0.020)

τ máx =47.7 MPa

EJERCICIO 6 Ejercicio 3.33 El barco en A ha comenzado a perforar un pozo petrolero en el suelo oceánico a una profundidad de 1 500 m. Si se sabe que la parte superior de la tubería de acero para perforación de 200 mm de diámetro (G = 77.2 GPa) gira dos revoluciones completas antes de

6

1500m

que el barreno en B empiece a operar, determine el esfuerzo cortante máximo causado en la tubería por la torsión.

SOLUCIÓN Sabemos que: GϕJ TL →T= =ϕ GJ L τ=

Tc GϕJc Gϕc = = L JL J

ϕ=2rev=2( 2 π ) rad =12.566 rad

d 200 mm =100 mm=0.1 m c= = 2 2 G=77.2 GPa=77.2∗109 Pa 9

(77.2∗10 Pa)(12.566 )( 0.1m ) 6 =64.7∗10 Pa τ= 1500

τ =64.7 MPa EJERCICIO 7 Ejercicio 3.46 Un agujero se perfora en A sobre una hoja plástica aplicando una fuerza P de 600 N al extremo D de la palanca CD, la cual está rígidamente adherida al eje cilíndrico sólido BC. Las especificaciones de diseño requieren que el desplazamiento de D no exceda de 15 mm desde el momento en que la perforadora toca inicialmente la hoja plástica hasta el momento en que realmente la penetra. Determine el diámetro requerido del eje BC si éste es de un acero con G=77GPa y τ perm= 80 MPa.

SOLUCIÓN T = r * P = (0.3 m) (600 N) = 180 N.m

7

δ

Diámetro del eje basado en el desplazamiento: =ϕ

r

=

15 mm =0.05 rad 300 mm

2 TL TL = =ϕ GJ Gπ c 4 c4 =

2 TL 2(180 N . m )( 0.5 m ) =14.882∗10−9 m4 = Gπϕ π (77∗109)(0.05) −3

c=11.045∗10 m=11.045 mm , d=2 c=22.09 mm Diámetro del eje basado en el Esfuerzo cortante: 6

τ =80∗10 Pa

τ=

Tc Tc 2T 2T (2)(180 N . m) 3 =1.43239∗10−6 m 3 = = ,→ c = = πτ π (80∗10 6 Pa) π 4 π c3 J c 2 −3

c=11.273∗10 m=11.273 mm , d=2 c=22.546 mm Usamos el valor más alto del diámetro: d = 22.5 mm

EJERCICIO 8 Ejercicio 3.50 El motor eléctrico ejerce un par de torsión de 800 N m sobre el eje de acero ABCD cuando gira a una velocidad constante. Las especificaciones de diseño requieren que el diámetro del eje sea uniforme desde A hasta D y que el ángulo de giro entre A y D no exceda 1.5°. Si se sabe que el τmáx ≤ 60 MPa y que G = 77 GPa, determine el diámetro mínimo que puede utilizarse para el eje.

8

SOLUCIÓN Torques: TAB = 300 + 500 = 800 N.m TBC = 500 N.m Esfuerzo de diseño: 6

τ =60∗10 Pa

τ=

Tc Tc 2T 2T (2)(800 N . m) =8.488∗10−6 m 3 = 3 ,→ c 3= = = 6 πτ π (60∗10 Pa) π 4 πc J c 2 −3

c=20.40∗10 m=20.40 mm , d=2 c=40.8 mm −3

Deformación de diseño: ϕDA=1.5 °=26.18∗10 rad

ϕDC=0

ϕCB =

T BC L BC (500 )(0.6 ) 300 = = GJ GJ GJ

ϕBA=

T AB L AB (800 )(0.4 ) 320 = = GJ GJ GJ

ϕDA=ϕDC+ ϕCB +ϕBA =0+

2(620) 620 300 320 620 = = + = GJ GJ GJ π 4 Gπ c 4 G c 2

9

c4 =

2(620) 2(620) −9 4 = =195.80∗10 m Gπ ϕDA (77∗109 )π (26.18∗10−3 rad ) −3

c=21.04∗10 m=21.04 mm , d=2 c= 42.08 mm d = 42.08 mm

EJERCICIO 9 Ejercicio 3.76 Los dos ejes sólidos y los engranes que se muestran en la figura se emplean para transmitir 12 kW desde el motor A hasta la máquina

125 mm

herramienta en D, a una velocidad de 1 260 rpm. Si se sabe que el esfuerzo cortante permisible es de 55MPa, determine el diámetro requerido a) del eje AB, b) del eje CD.

SOLUCIÓN a) En el eje AB: P =12 kW

f=

1260 =21 Hz 60

T AB = τ=

τ =55 MPa

3 P 12∗10 =91 N . m = 2 πf 2 π (21 )

√

3 2T 2T Tc Tc = = 3 c= πτ J π 4 πc c 2

√

c= 3

2 (91 N . m ) =0.01017 m 6 π (55∗10 Pa )

d AB=2 c=2 ( 0.01017 m ) d AB=20.3 mm b) En el eje CD:

T CD=

r c T c 5(91) =151.7 N .m = 3 rb 10

75 mm

τ=

c=

√

3 2T 2T Tc Tc = = 3 c= πτ J π 4 πc c 2

√ 3

2(151.7 N . m ) =0.01206 m 6 π (55∗10 Pa)

d AB=2 c=2(0.01206 m) d AB=24 mm

EJERCICIO 10 Ejercicio 3.139 Un par de torsión T = 5 kN m se aplica a un eje hueco que tiene la sección transversal mostrada en la figura. Desprecie el efecto de las concentraciones de esfuerzos, y determine el esfuerzo cortante en los puntos a y b.

SOLUCIÓN T =5∗10 3 N . m Área encerrada por la línea central: 69mm

Área =A = b * h = (0.069 m) (0.125 m) = 7.935 * 10-3 m2 115mm

En a: t = 6 mm = 0.006 m

τ=

T 5∗103 N . m = =52.5∗106 Pa −3 2 2 tA 2(0.006 m)(7.935∗10 m )

τ =52.5 MPa En b:

τ=

t = 10 mm = 0.010 m

5∗103 N . m T = =31.5∗106 Pa 2 tA 2 ( 0.010 m) ( 7.935∗10−3 m2)

τ =31.5 MPa

11...