Funciones complejas (solución ejercicios propuestos) PDF

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a) Puesto que la función u ฀฀฀2 D) para que sea armónica en D se ha de verificar u  0, u  r,    ur  

 r,   D .

1  cos  sen  r

1  cos   sen  r2

2  cos   sen  r3

1  cos   sen  r 1 1  u  r ,   urr  r ,   ur  r ,   2 u  r ,   0 ,  r ,   D r r u 

1  cos   sen  r

 urr   u  

b) Utilizando las ecuaciones de C-R en coordenadas polares 1  ur  r ,    v  r ,  r 1 1  v  r ,     cos  sen   v r,     sen  cos    r  r r

 v r  r ,   

1  sen  cos    r  r2

1 u  r ,    vr  r ,   r 

1 1 cos   sen    2  sen  cos       r      r   0 2  r r    r  C, C   

 v  r,  

1  cos  sen   C , C   . r

2

Para determinar la función holomorfa f  z 

:

f  z   u  r,    jv  r, 

1 1   cos   sen   j   cos   sen   C   r r  1 1 1   cos   jsen    sen  j cos   jC  e j  je j  jC  r r r 1  j   jC  1  j   jC, C   re j z Alternativamente, 1 1  j   jC , C   1   f  z    cos   sen   j   cos   sen   C   r z r  r z

 f z 



f  j   1  j  C  0 . Por tanto, f  z  

1  j  , z



 0

z 0

1  j  c) Determinar el conjunto de holomorfía de la función g z  Ln    z  1 j Sea w  z Puntos singulares de la función g(z):

z 0 w

1 j   : z

w

1  j  x  jy  x  y  j  x  y   1 j     x  y x 0 x  jy x2  y2 x2  y2

1 j  Por tanto, g  z   Ln   es holomorfa en el conjunto     CR  z  siendo

C R   z   : Re z   Im z  , Re z   0 . 3...