100412 A 762 Ecuaciones Diferenciales Tarea 4 PDF

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TAREA 4 EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: CAMILA ANDREA SEGURA Tutor(a)

Entregado por: NINI YOVANA QUEVEDO ACEVEDO Código: 36291729 ARLISON SANABRIA RAMIREZ Código: 1078750646 CARMEN ASTRID ORDÑEZ Código: 1082776351

Grupo:100412A_762

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES PITALITO JULIO 2020

INTRODUCCION Las ecuaciones diferenciales nos permiten analizar las variables físicas más importantes, realizar diseños de modelos matemáticos y fenómenos físicos, así como la resolución de grandes problemas en el área de ingeniería. Además, constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de mayor complejidad. El presente trabajo se centra en el desarrollo de una serie de ejercicios relacionados con la unidad tres del curso, ecuaciones diferenciales método por series de potencia y transformada de Laplace y sus tres capítulos:

-Método de series de potencias para ecuaciones diferenciales -Transformada de Laplace -Solución de ecuaciones diferenciales con transformada de Laplace

Teniendo en cuenta lo anterior, a continuación, por medio del desarrollo de los diferentes ejercicios lograremos afianzar los temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales como son el conocimiento desde la definición y clasificación de series matemáticas, técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas, hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia y transformada de Laplace.

OBJETIVOS

    

Solucionar ecuaciones diferenciales utilizando la Transformada de Laplace. Apropiación y reconocimiento de las tres temáticas desarrolladas Aplicar correctamente los principios y conceptos básicos de las series de Taylor. Desarrollar correctamente todos los ejercicios planteados. Solucionar ecuaciones diferenciales mediante series de potencia.

TABLA DE ELECCIÓN DE EJERCICIOS:

Nombre del estudiante Nini Yovana Quevedo Acevedo Arlinso Sanabria Ramirez Carmen Astrid Ordoñez

Rol a desarrollar Alertas Entregas Relator

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios

EJERCICIOS INDIVIDUALES 1. SOLUCION ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIE DE POTENCIA

ESTUDIANTE QUE REALIZO: NINI YOVANA QUEVEDO ACEVEDO

a.

y '' +2 y ' + y =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA ∞

∞

y= ∑ am x y '=∑ m am x

m −1

m

m =0

m=1

∞

y ' ' = ∑ m(m−1)a m x m−2 m =2

Se presenta una solución como una serie de este tipo, después se deriva la serie de potencias y obtenemos la primera derivada de y.

∞

∞

∞

RAZÓN O EXPLICACIÓN

m (m−1)am xm −2+2 ∑ m am x m−1+ ∑ am x m=0 ∑ m=0 m=1 m=2

Se vuelve a derivar ya que es una ecuación de segundo orden. Sustituimos las sumatorias en la ecuación diferencial y nos queda

∞

∑ m (m−1)am x

m −2

∞

∞

+2 ∑ m am x

m−1

m=1

m=2

+ ∑ am x m=0 m=0

Realizamos las respectivas multiplicaciones y utilizamos esta propiedad ∞

∞

m=k

m=0

∑ f ( m) = ∑ f (m+k ) ∞

∞

∞

(m+2)(m +1)am+2 x m +2 ∑ ma m x m + ∑ am x m=0 ∑ m =0 m =0 m=0 (m +2 )(m+ 1)am +2 [¿ + 2mam + am ] x m=0 ∞

Se realizan las operaciones añadiendo el cero también indicando la relación de m=0 luego se pueden juntar estas tres sumatorias

∑¿

m =0

(m + 2)(m + 1)am +2+2mam + a m x m =0 (m + 2)(m + 1)am +2+ 2(m + 2)am =0

Luego se despeja el a que tenga mayor índice,

am +2=

2(m +2) a ( m+ 2)(m + 1) m

factorizamos queda

2( 2 ) m=0, a2 = a =2 a0 2∗1 0

2(0) a =0 m=2, a 4= (4)(3) 2

(

)

2(1) −1 1 −1 a a1 = a3= 10 30 1 3 (5)(4)

nos

Sustituimos los enteros y realizamos las operaciones, todos los coeficientes pares a partir de a 4 valen 0

2(2) m=4,a 6= a =0 (6)(5) 4

a7 =

y

También se debe hacer la relación de recurrencia entre los coeficientes sustituimos el valor de m desde m=0

2(1) 1 m=1, a3= a1 = a 1 3 (3)( 2)

m=3, a5=

am

−1 a 210 1

a8 =0 a9 =

−1 a 1512 1

a10=0 2

3

4

5

6

7

8

y =a0 + a1 x + a2 x +a3 x + a4 x + a5 x +a 6 x +a7 x +a8 x + …

1 1 1 1 5 a x 9 −… a x⁷ − y =a0 + a1 x +2 a 0 x 2 + a1 xᶟ− a1 x − 1512 1 210 1 30 3

(

1 9 1 5 1 7 1 x− x −… y=a0 ( 1+2 x ) + a1 x xᶟ− x − 1512 210 30 3 2

)

Separamos los coeficientes a0 a1 y y de factorizamos encontrando la solución.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ARLINSO SANABRIA RAMIREZ

''

2

'

y − x + y =0

B.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Se tiene la formula general

∞

∞

y =∑ n c n x

y=∑ c n x

n −1

'

n=1

n

n=0

∞

y ' =∑ n(n−1)c n x

Se deriva de acuerdo a las necesidades del ejercicio hasta y´´

n−2

n=2

∞

∞

Se

n−2 n−1 2 n ( n−1 ) c n x + ∑ n c n x −x =0 ∑ n=1 n=2

reemplaza

la

ecuación

original ordenando los términos

∞

∞

Se igualan las sumatorias para

n=0

n=0

que inicien en 0 y el termino no

−x 2 ∑ ( n+2) (n+1 )c n +2 x n + ∑ (n+1 )c n +1 x n=0

homogéneo a la mayor potencia disponible se usa la siguiente propiedad ∞

∞

n=k

n=0

∑ f (n)=∑ f (n+k )

∞

Se juntan las sumatorias

−x 2 ∑ [ ( n+ 2)( n+1 ) c n +2+( n+1 ) c n+1 ] x n=0 n=0 ∞

2+ ¿ + ∑ [ (n +2 )(n +1 ) c n+2 +( n+ 1) c n +1 ] x n n=0

−x 2+2 c 2 +c 1 +( 6 c 3 +2 c 2) x +(12 c 4 +3 c 3 ) x

¿

Se opera hasta conseguir elevar l x hasta el exponente del término fuera de la sumatoria

∞

2 2 c 2+ c1 + ( 6 c3 +2 c 2 ) x + (12 c 4 +3 c 3−1 ) x + ∑ [( n+2 )( n+1 ) c n+ 2+ ( n

Se iguala a 0

n=3

2 c 2+ c1=0

(6 c 3 +2 c 2)=0 (12 c 4 +3 c 3−1)=0 (n+2 )(n+1)c n+2 +(n+1)c n+1=0

2 c 2+ c1=0

c 2=

−1 c 2 1

(6 c 3 +2 c 2)=0 6 c 3=−2 c 2 c 3=

−1 c 3 2

(12 c 4 +3 c 3−1)=0 12 c 4=1−3 c3 c4 =

1−3 c3 12

(n+2 )(n+1)c n+2 +(n+1)c n+1=0 c n+2 =

−cn +1 (n+2)

Se despeja cada ecuación el coeficiente c que tenga el mayor índice

n=3,c 5

c 5=

obtener

los

expresión de recurrencia, hasta infinito

c 4 +1 (4+2)

c5 +1 (5+2)

−c 6 7

n=6,c 8 c 8=

a

−c 5 6

n=5,c 7 c 7=

empieza

demás coeficientes en base la

−c 4 5

n=4, c 6 c 6=

Se

c3 +1 (3+2)

c 6+1 (6+2)

−c 7 8

y =c0 + c1 x+ c 2 x 2+ c 3 x 3+ c 4 x3 + c5 x 5+ c 6 x 6 +.. .

Así se obtiene el resultado con base en l formula general:

1−3 c 3 4 c 4 5 c 5 6 c 6 7 1 1 2 x − x − x − x +.. y=c0 + c1 x− c 1 x − c 2 x3 + 2 6 5 12 7 3

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carmen Astrid Ordoñez

c. y '' −2 x =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Derivamos la sumatoria de y dos veces para adquirir la sumatoria de la segunda derivada.

∞

y= ∑ am xm m =2

∞

y´ ´ = ∑ m (m −1)am x m−2

Y se remplaza

m=2

Se remplaza ∞

∞

−2 x ∑ a m x m + ∑ m (m−1 ) am x

m−2

=0

m=2

m=0

∞

∞

−2 x ∑ a m x + ∑ m (m−1 ) am x m−2=0 m

m=2

m=0

∞

∞

m=0

m=2

− ∑ 2 am x m+1 + ∑ m(m−1 ) am x m−2=0 ∞

Se realiza la conversión del índice inicial 2 a0 ∞

∞

m=k

m=0

∑ f ( m) = ∑ f (m+k )

∞

2 a2 + ∑ m (m −1 ) am xm −2 ∑ 2 am x m=3

m+1

=0

m=0

∞

2 a2 ∑ ( m+3 ) ( m+2) a m+3 x

m +1

m =0

∞

− ∑ 2 am x m +1=0 m=0

∞

m +1 m+1 2 a2 ∑ ( m+ 3 ) ( m+2) a m+3 x −2 am x =0 m =0

(m +3 ) (m+2 ) [¿ am +3 x m +1−2 am ] x m+1=0 ∞

2 a2 ∑ ¿ m=0

2 a2=0 a2=0

( m+ 3) ( m+2 ) a m+3−2 a m=0

Se despeja el de mayor índice

am +3=

2 am 1 = 2a (m +3 ) (m+2 ) (m +3 ) (m +2 ) m

m=0 a 3=

1 1 2 a 0 = 2 a0 3∗2 3! 1=¿

m=1 a4 =

2 2 2 a1 = 2 a 1 4! 4∗3∗2 1 2a 4∗3 ¿ 1 2 a =0 5∗4 2

m=¿ 2 a5 =

( ) 2 1 1 2∗5 m=4 a 2 a )= 2a = 2a ( 7∗6 7! 7∗6 4 ! m=3 a6

4 1 1 1 2a = 2a 2a = 6∗5 3 6∗5 3 ! 0 6 ! 0

7

m=5 a 8=

4

1

1

1 2 a =0 8∗7 5 y Se escribe como serie de potencia expandida.

5 6 y =a0 + a1 x + a2 x 2 +a3 x 3+a4 x 4 + a5 x + a6 x …

y =a0 + a1 x +

(

y=a0 1+

4 2 2∗5 1 4 2 a1 x 7 … 2a 0 x 3 + 2 a1 x + 2 a0 x 6 + 4! 7! 3! 6!

a1

y a0

son constantes arbitrarias

)

1 3 4 2 4∗7 9 2∗ Se factoriza 2 x + 2 x6 + 2 x … + a1 (x + 2 x 4 + 7! 3! 9! 6! 4!

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: NINI YOVANA QUEVEDO ACEVEDO

A.

ℒ{� + cos3�}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA ∞

RAZÓN O EXPLICACIÓN

La expresión genérica de la transformada de Laplace es:

−St L { f (t ) } =F ( S )=∫ f ( t ) e dt 0

f ( t ) =π +cos ( 3 t )

Nuestra función en el dominio del tiempo es:

∞

Con lo que introduciéndola en la expresión queda:

F(S)=∫ (π +cos ( 3 t )) e−St dt 0 ∞

∞

F ( S) =∫ cos (3 t ) e−St dt +∫ πe

− St

0

La integral se puede desdoblar en dos integrales:

dt

0

∞

∞

F ( S) =∫ cos (3 t ) e−St dt + π ∫ e

−St

0

dt

0

cos (3 t )=

e j 3 t +e− j3 t 2

∞

j3t

−j3t

e +e F ( S) =∫ 2 0

El coseno se puede expresar en forma exponencial mediante la identidad de Euler: ∞

−St

e

dt+π ∫ e

−St

Con lo que ahora la integral queda:

dt

0

∞

∞

1 j 3t −j3t ) e−St dt +π ∫ e−St dt F ( S) = ∫ ( e +e 2 0 0 ∞

∞

∞

F ( S) =

− j3 t −St 1 1 e dt+ π ∫ e−St dt e j3 t e−St dt + ∫ e ∫ 20 2 0 0

F ( S) =

1 ∫ e−(−j 3 +S)t dt+21∫ e− ( j 3+ S )t dt + π ∫ e−St dt 2 0 0 0

∞

∞

∞

∞

∞

∞

1 1 − ( j 3+ S )t dt + π F ( S) = ∫ e−(−j 3 +S)t dt+ ∫ e ∫ e−St dt 2 0 20 0

[

] [

] [ ]

F ( S) =

− − j 3 +S) t − j 3+ S )t −St ∞ e( 1 e( ∞ e ∞ 2 −( − j3+ S ) 0+ 1 −( j 3+ S ) 0+ π −S 0 2

F ( S) =

1 1 π + + 2 (− j 3+S ) 2 ( j 3 +S) S

Empezamos a resolver:

F ( S) =

1 1 π + + 2 (− j 3+S ) 2 ( j 3 +S) S

F ( S) =

π S+ j3+ S− j 3 + 2 (− j 3+S ) ( j 3+ S ) S

Ahora resolvemos la operación entre números complejos conjugados

π S F ( S) = + 2 S S +9

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ARLINSO SANABRIA RAMIREZ B.

L { 2t +πe

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA at L { e }=

1 s−a

} RAZÓN O EXPLICACIÓN

Aplicamos formulas

l { t }=

1 2 s

L{2t + π e3 t } L

3t

{ {

Reemplazamos

}

2 +π L{e3 t } 2 s 1 2 +π 2 s−3 s

[

2 π1 + s2 s−3

]

} Producto final

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carmen Astrid Ordoñez

c. L { t2−sin πt }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

3. SOLUCION ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: NINI YOVANA QUEVEDO ACEVEDO

a. �′′ − 2�′ = �� sin�;(0) = 0,′(0) = 0.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA ∞

F ( S) =∫ e

−St

La transformada de Laplace de una función del tiempo es:

f ( t ) dt

0

L { y ´ }=SY ( S) − y (0)

Por otro lado la transformada de las derivadas de y son:

L { y ´ ´ }=S 2 Y ( S )− Sy (0 )− y ´ (0) ∞

S 2 Y ( S)−Sy ( 0) − y´ ( 0 ) −( SY ( S )− y ( 0) )=∫ e 0

∞

S Y ( S)−2 SY ( S ) =∫ e 2

0

− t (S − 1)

RAZÓN O EXPLICACIÓN

sint dt

−St t

e sint dt

Reemplazando en la ecuación queda:

Como

y (0)= y '(0)=0

queda:

∞

S 2 Y ( S)−2 SY ( S ) =∫ 0

e−t ( S−1) ( e jt −e− jt) dt 2j

Reemplazamos el seno por la identidad de Euler:

∞

S 2 Y ( S)−2 SY ( S ) =

1 ∫ e−t ( S−1− j) −e−t ( S−1 + j )dt 2j 0

S Y ( S)−2 SY ( S ) =

1 2 ( S−1 ) +1

2 S Y ( S)−2 SY ( S ) =

1 S −2 S +2

2

Y (S ) ( S 2−2 S )=

Resolviendo esa integral queda:

2

1 S −2 S +2

Ahora despejamos Y (S):

2

Y (S ) =

1 ( S −2 S )(S2 −2 S+2)

Y (S ) =

1 S ( S−2 ) (S− ( 1− j ) ) ( S− (1+ j) )

2

a ( S−2) ( S2 −2 S+2) + bS ( S2−2 S+2) +cS ( S−2 ) =1 3 2 3 2 2 a ( S −4 S +6 S−4) +b ( S −2 S −2 S )+ c ( S −2 S ) =1

a+b=0 −4 a−2 b+ c =0

Ahora si factorizamos el polinomio de grado 2 queda:

Ahora hay que separar en fracciones simples la expresión:

De aquí nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

6 a−2 b−2 c=0 − 4 a= 1

a=

−1 4

a+b=0 1−2 b+ c=0 −3 −2 b−2 c=0 2

De la cuarta ecuación queda;

Por lo que se reduce a:

b=−a=

1 4

1 1− +c=0 2

De la primera ecuación queda: Y se reduce a:

−3 1 + −2 c=0 2 2 c=

−1 2

Y (S ) =

1 1 −1 + − 4 S 4 ( S−2 ) 2 ( S 2−2 S+2)

Y (S ) =

−1 1 1 + − 4 S 4 ( S−2 ) 2 ( ( S−1 )2 +1)

y ( t) =

1 2t 1 t −1 u ( t ) + e − e sen (t ) 4 2 4

1 2t 1 t y ( t) = e − e sen ( t ); t 0 4 4 2

El primer término es conocido t como función escalón )y u¿ vale 0 para x< 0 y 1 para x> 1 , con lo que la función queda:

y ( t) =

−1 1 2 t 1 t + e − e sen( t ) 4 4 2

Como no tiene sentido el tiempo negativo queda:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ARLINSO SANABRIA RAMIREZ

B.

y '' + y ' +2 y=x; y ( 0) =2, y ' (0 )=2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA y ( 0 )=2 y ( 0 )=2 '

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Aplicamos la transformada a cada lado

L [ y ' ' + y+ 2 y ] =L[ x ]

Pasamos

a

separar

cada

transformada L [ y ' ' ]+ L [ y ' ]+ L[2 y ]= L[ x ]

Sacamos la constante

L [ y ]+ L [ y ]+ 2 L[ y ]= L[ x ]

Reemplazamos las derivadas de

''

'

las transformadas s 2 L [f ( t ) ]−5 f (0 ) −f ' ( 0 )+s L [ f ( t ) ]−f ( 0 )+ 2 L [f ( s 2 L−2 s −2+s L−2+2 L= s 2 L−2 s + s L−4+2 L=

1 2 s

1 s2

Remplazamos L[ f (t )] Resolvemos Sacamos factor común

1 s 2 L+s L+2 L= 2 +2 s +4 s 1 +2 s+4 s2 L¿

s 2 +s +2=

L=

1 2s 4 + 2 + 2 s +s +2 s (s +s +2) s + s + 2 2

L{ y }=

2

4 1 2s + + 2 2 s ( s + s+2) s +s +2 s + s+2 2

2

3

L{ y }=

2

2 s +4 s +1 2 2 s ( s + s +2)

Simplificamos

3 2 2 s + 4 s + 1 A B Cs + D = + + 2 2 2 s (s + s +2) s s 2 s + s +2

2 s 3+ 4 s2 +1= As ( s2 + s+2 ) + B ( s2 +s+2 )+(Cs+ D 3

2

3

2

Resolvemos a través d efracciones parciales Solucionamos

2

2 s + 4 s +1= A s + A s +2 As+ B s + Bs +2 B+ C

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carmen Astrid Ordoñez

c.

y '' + y ' =7 ; y ( 0)=1, y ' ( 0)=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Escriba aquí la ecuación .

5. ANALISIS Y EVALUACION DE LA SOLUCION DE UNA SITUACION PLANTEADA

Se reemplaza los valores t

di 1 3 −t 0,005 + i+ i ( t ) dt=50 [ t −e ] ∫ 0,02 0 dt Se divide por 0,005

t

di +20 i+10000 ∫ i ( t ) dt=10000 [ t3 −et ] dt 0 A cada termino se le halla la trasformada de Laplace sI (s ) +i ( 0 )+20 I ( s ) +10000

I (s ) 60000 10000 = 4 − s−1 s s

Se agrupan los términos I ( s)

(

[

)

2

s +20 s +10000 1 6 =10000 4 − s−1 s s

]

Despejamos I ( s )=

[

]

1 10000 s 6 − 2 4 ( s+100) s s−1

Sumando las fracciones I ( s )= 10000

[

−s 4 +6 s−6 2 3 s ( s−1 ) ( s +100 )

]

Realizando fracciones parciales I ( s )=

3 10000 1 6 1 − − + 3 − 2 2 s+100 ( s+100) s +1 25 s s

Aplicando transformada inversa −100t

i ( s)=e

−10000 t e−100 t−e−t −

3 t +6 t 2 25

TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS. EJERCICIOS LINK VIDEO EXPLICATIVO NOMBRE ESTUDIANT SUSTENTADOS E https://youtu.be/gLCnofqHiDo Nini Yovana 1 a Quevedo Acevedo

Arlinson Sanabria Ramirez

ht t ps : / / www. y out ube. c om/ wat c h?v =MZwAhwpVo5U

CONCLUSIONES -

Se lograron solucionar cada uno de los ejercicios propuestos en la guía a través del trabajo co...