12 - Sviluppi di Taylor e di Mc Laurin PDF

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Analisi Matematica I - 2019 – 2020 Esercitazione 14 – 15 - Sviluppi di Taylor e di McLaurin 1. Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine n centrato in x0 delle seguenti funzioni. a) f (x) = [x − sin(x)] log(1 + x)

(n = 6, x0 = 0)

b) f (x) = [cos(x)]sin(x) (n = 3, x0 = 0)   x−1 (n = 3, x0 = 1) c) f (x) = arctan x d) f (x) = esin(x)

(n = 3, x0 = 0)  π 3 e) f (x) = 1 − sin(x) + x3 − 2

(n = 3, x0 =

f) f (x) = −2(x − 1)2 + 4 sin(x − 1) − log(x4 )

π ) 2

(n = 3, x0 = 1)

2. Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine n delle seguenti funzioni e determinare il valore della derivata prima e seconda in x0 = 0. Descrivere il loro andamento in un intorno del punto x0 = 0. a) f (x) = [log(1 + sin x)]2 b) f (x) = sin(x)e−x

(n = 4)

(n = 3)

3. Utilizzando lo sviluppo di McLaurin della funzione f (x) = (ex − 1)2 − 2 sin(x) + 2 cos(x). Verificare che il punto x = 0 e` di flesso per f . 4.Utilizzando lo sviluppo di McLaurin della funzione f (x) = cos(2x) − log(1 + 3x2 ) + 5x2 − 3x. Verificare che e` convessa in x = 0. x 5. Utilizzando lo sviluppo di McLaurin della funzione f (x) = [cos(x) + log(1 + x)]1/2 − . 2 Verificare che ha un massimo in x = 0. 6. Discutere il segno, monotonia e convessit`a della funzione f (x) = ex + α sin(x) in un intorno del punto x = 0, al variare di α ∈ R. Fare lo stesso analisi per g(x) = ex + α cos(x). 7. Supponendo che una funzione f (x) ammetta il seguente sviluppo di McLaurin f (x) = 2 + x + 3x5 − 6x6 + o(x6 ). Determinare se x = 0 e` un punto di flesso. 8. Supponendo che una funzione f (x) ammetta il seguente sviluppo di Taylor f (x) = −5 + 16(x − 3)8 + (1/7!)(x − 3)9 + o((x − 3)9 ). Determinare se x = 3 e` un punto di massimo o minimo relativo. 9. Determinare un ordine n a cui arrestare lo sviluppo di McLaurin della funzione f (x) = sin(x) affinch´e approssimando f (1) con il polinomio di Taylor di grado n si abbia che le prime 10 cifre dopo la virgola siano corette. 1...