125 Ejercicios Resueltos DE Interes Simples PDF

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Este documento fue elaborado por los alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander durante el segundo semestre de 2018 y supervisado por el docente Ing. Antonio Vicente Granados Guerrero. Se agradecen las ob...

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AUTORES Fabián Duarte jaimes Andrea Moncada Zainy Torres Felipe Chávez Pedro Luis Suarez Jessica Ballesteros Naya López Ricardo Rangel Jefferson Mendoza Paola Carvajal Camilo Arroyo Camila Trujillo Brenda Mejía Jordan Vargas Jordy Vergel Walter Niño Angie Cuellar Camila Bustamante Adriana Guevara Alejandra Ortiz Neidy Gómez Natalia Guerrero Erikson Sánchez Yady Arias Camila Paez Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Ingeniería económica Universidad Francisco de Paula Santander Facultad de ingenierías Ingeniería Industrial San José de Cúcuta, N. de Santander 2018

PRÓLOGO En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación. Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander

CONCEPTOS BASICOS 

INTERES: La capacidad que tiene el dinero de producir más dinero con el paso del tiempo” y/o “La renta que hay que pagar por uso del dinero prestado”.



INTERÉS SIMPLE: Es el interés que causado y no cancelado no produce más intereses. El interés simple es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varia en forma proporcional al capital (P) y el tiempo (n).



PUNTO FOCAL: es el sitio de la línea de tiempo en dónde se igualan todos los pagos o flujos positivos como los negativos, con la particularidad de que, al resolver la ecuación de valor en ese punto focal, se obtiene el resultado de la incógnita despejada

FORMULAS UTILIZADAS EN EL PRESENTE F0RMULARIO 



I=P*i*n I: Interés generado P: Valor presente I: tasa de interés n: número de periodos F = P (1 + i * n) F: Valor futuro

TENER EN CUENTA: 1 Año = 2 semestre = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses = 24 quincenas = 48 semanas = 360 días

DESCUENTO COMERCIAL



 

VT = VF – D VT: Valor total VF: Valor final D: Descuento D = VF * id * n VT = VF – VF * id * n VT = VF * ( 1 - id * n)

EJERCICIO #1 Se desea duplicar un capital en tres años. ¿A qué tasa de interés quincenal debe invertirse?

PRIMER PASO: hacemos la gráfica con los datos que nos indica el problema

2x

0 x formulas a utilizar: f = p ( 1 + i × n) 𝑖𝑎𝑠 : 24 𝑖𝑞𝑠

𝑖𝑞𝑠 : ?

3 años

SEGUNDO PASO: sacamos los Datos F = 2x; p = x; n = 3 años TERCER PASO: después de haber sacado los datos se remplazan en la ecuación f = p ( 1 + i × n) y se despeja 𝑖𝑎𝑠 entonces queda así: 2x = x ( 1 + 𝑖𝑎𝑠 × 3) Se cancelan las x 2x = x ( 1 + 𝑖𝑎𝑠 × 3) 2 = ( 1 + 𝑖𝑎𝑠 × 3) Se ingresa la ecuación en la calculadora aplicamos shift solve en la calculadora para que nos dé el valor de 𝑖𝑎𝑠 𝑖𝑎𝑠 = 0.3333 la multiplicamos por 100 para hallar el porcentaje 𝑖𝑎𝑠 = 33.33% Como el ejercicio nos pide la tasa de interés quincenal 𝑖𝑎𝑠 : 24 𝑖𝑞𝑠 33.33 = 24 𝑖𝑞𝑠 𝑖𝑞𝑠 =

33.33 24

El resultado es 𝑖𝑞𝑠 = 1,38 %

aplicamos la formula

EJERCICIO #2 Una letra que vence en 145 días con un valor de $ 33.000.000 se descuenta, hoy por $23.814.000. ¿Encontrar la tasa de interés semanal del negocio?

PRIMER PASO: hacemos la gráfica con los datos que nos indica el problema 33000000

0

𝑖𝑠𝑒𝑠 : ?

145 días

23814000 formulas a utilizar: f = p ( 1 + i × n) 𝑖𝑠𝑒𝑠 : 7,5 𝑖𝑑𝑠 SEGUNDO PASO: sacamos los datos F: 33000000; p: 23814000; n: 145 días

TERCER PASO: remplazar los datos en la ecuación f = p ( 1 + i × n) y se remplaza 7,5 𝑖𝑑𝑠 en i, porque se necesita trabajar la tasa de interés en días Entonces que así: 33000000 = 23814000 ( 1 + 7,5 𝑖𝑑𝑠 × 145) Se ingresa la ecuación en la calculadora aplicamos shift solve en la calculadora para que nos dé el valor de 𝑖𝑑𝑠 𝑖𝑑𝑠 = 0,000354

la multiplicamos por 100 para hallar el porcentaje 𝑖𝑑𝑠 = 0,0354 %

Como el ejercicio nos pide la tasa de interés semanal y nosotros la utilizamos en días aplicamos la formula 𝑖𝑠𝑒𝑠 : 7,5 𝑖𝑑𝑠 𝑖𝑠𝑒𝑠 = 7,5 (0,0354) El resultado es 𝑖𝑠𝑒𝑠 = 0,2655 %

EJERCICIO #3 Una bicicleta tiene un valor de contado de $ 4.250.000. A plazos exigen una cuota inicial de $ 2.000.000 y el resto financiado para ser cancelado con tres cuotas de $ 1.000.000; $ 1.500.000 y $512.000, en los meses dos, cinco y nueve después de recibida la bicicleta. Encontrar el interés de financiación. Punto focal mes 9 PRIMER PASO: hacemos la gráfica con los datos que nos indica el problema y le hacemos un circulo en la cuota del mes 9 ya que nos indica que este va hacer nuestro punto focal, es decir a donde se va llevar el ejercicio

2000000

0 4250000

1000000

2

1500000

5 𝑖𝑚𝑠 : ?

512000

9 (meses)

formulas a utilizar: f = p ( 1 + i × n) SEGUNDO PASO: en este caso decimos todas las flechas hacia arriba son igual a las flechas hacia abajo para aplicar la formula f = p ( 1 + i × n) a tener en cuenta: 4250000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 9) : se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes nueve y como está en el hoy, por eso n=9 2000000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 9): se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes nueve y como está en el hoy, por eso n=9 1000000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 7): se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes nueve y está en el mes 2 entonces se resta 9-2 = 7, por eso n= 7 1500000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 4): se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes nueve y está en el mes 5 entonces se resta 9-5 = 4, por eso n= 4 512000: se coloca solo el valor porque está en el punto focal La ecuación planeada queda así: 4250000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 9) = 2000000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 9) + 1000000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 7) + 1500000 ( 1 + 𝑖𝑚𝑠 × 4) + 512000 Se ingresa la ecuación en la calculadora aplicamos shift solve en la calculadora para que nos dé el valor de 𝑖𝑚.𝑠 𝑖𝑚𝑠 = 0, 105 la multiplicamos por 100 para hallar el porcentaje 𝑖𝑚𝑠 = 10,5% El resultado es 𝑖𝑚𝑠 = 10,5%

EJERCICIO # Un socio de una empresa aportó $ 112.500.000, al finalizar el quinto año se retiró de la sociedad; llegando a un acuerdo con los demás socios le entregaron $ 132.000.000. ¿Qué rendimiento semestral simple obtuvo de su inversión en esa empresa?

PRIMER PASO: hacemos la gráfica con los datos que nos indica el problema 132000000

0 112500000 formulas a utilizar: f = p ( 1 + i × n) 𝑖𝑎𝑠 : 2 𝑖𝑠𝑠

𝑖𝑠.𝑠 : ?

5 años

SEGUNDO PASO sacamos los datos f: 132000000; p: 112500000; n=5 años TERCER PASO: después de haber sacado los datos se remplazan en la ecuación f = p ( 1 + i × n) y se despeja 𝑖𝑎𝑠 entonces queda así: 132000000 = 112500000 ( 1 + 𝑖𝑎𝑠 × 5) Se ingresa la ecuación en la calculadora aplicamos shift solve en la calculadora para que nos dé el valor de 𝑖𝑎𝑠 𝑖𝑎𝑠 = 0,0346 la multiplicamos por 100 para hallar el porcentaje 𝑖𝑎𝑠 = 3,46% Como el ejercicio nos pide la tasa de interés semestral aplicamos la formula 𝑖𝑎𝑠 : 2 𝑖𝑠𝑠 3,46 = 2 𝑖𝑠𝑠 𝑖𝑠𝑠 =

3,46 2

El resultado es 𝑖𝑠𝑠 = 1,73%

EJERCICIO #5 Se adquiere una máquina financiada y se pacta cubrir en tres pagos de $ 260.000, $480.000 y $ 600.000 en los meses 3, 5 y 22 meses, respectivamente. Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla una tasa de interés sobre saldo del 3,5% bimestral simple para los 6 primeros meses y del 6.8% trimestral simple de allí en adelante, punto focal mes 6.

260000

0 x

3

480000

600000

5 6 i: 3,5 % bs

22 (meses) i: 6,8% Ts

PRIMER PASO: hacemos la gráfica con los datos que nos indica el problema y le hacemos un circulo en la cuota del mes 6 ya que nos indica que este va hacer nuestro punto focal, es decir a donde se va llevar el ejercicio formulas a utilizar: f=p+I f = p + 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3

SEGUNDO PASO: transformamos las tasas de interés bimestral y trimestral a mensual, ya que es de vital importancia para resolver el ejercicio se divide en dos por en un bimestre hay dos Meses 3,5 % = 1,75%𝑖𝑚 , 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 100 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 0,0175 2 se divide en tres por en un trimestre hay 3 Meses 6,8 % = 2,26 %𝑖𝑚 , 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 100 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 0,0226 3 Después de haber transformados las tasas de interés se remplaza en la ecuación, en este caso se tiene en cuenta que todas las flechas hacia arriba son iguales a las flechas hacia abajo A tener en cuenta 𝑥( 1 + 0,0175 × 6) : se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes 6 y como está en el hoy, por eso n=6 600000 ( 1+0,0175×16)

: se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes

6 y como va de izquierda derecha se divide, como está en el mes 22 se hace 22-6= 16, por eso n=16 260000 ( 1 + 0,0175 × 3): se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes 6 y como está en el mes 3 se hace 6-3= 3, por eso n=3 480000 ( 1 + 0,0175 × 1): se coloca así porque hay que llevarlo al punto focal que es en el mes 6 y como está en el mes 5 se hace 6-5= 1, por eso n=1 La ecuación planteada queda así: 𝑥( 1 + 0,0175 × 6) =

600000 ( 1+0,0175×16)

+ 260000 ( 1 + 0,0175 × 3) + 480000 ( 1 +

0,0175 × 1) Se ingresa la ecuación en la calculadora aplicamos shift solve en la calculadora para que nos dé el valor de x Este es el valor de contado de la maquina es x = 1088423,57

EJERCICIO #6 Un capital de $117,250.000 que se presta con el 27.3% de interés simple anual genera $9,139.000. ¿En cuántas quincenas?

PRIMER PASO: Hacer una gráfica que represente el problema.

$9,139.000

𝑖 = 27.3% as

𝑛 =?

$117,250.000

SEGUNDO PASO: convertir la tasa de interés simple anual a interés simple quincenal, sabiendo que un año tiene 24 quincenas.

𝑖𝑞𝑠 =

27.3% = 1.14% 𝑞𝑢𝑖𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 24

Nos piden el número de quincenas, se utiliza la siguiente ecuación 𝐼 =𝑃×𝑖×𝑛 TERCER PASO: De la ecuación anterior, se despeja n y se sustituye

𝑛=

𝑛=

𝐼 𝑃×𝑖

9,139.000 117,250.000 × 0.0114

= 6.8 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠

EJERCICIO #7 Hoy existe en una cuenta $22.000.000, cuánto dinero se consignó hace 25 bimestres, si por los primeros 9 bimestres se reconoció una tasa de interés del 7% trimestral simple y del 12% semestral simple de ahí en adelante. Resuelva el problema en el punto focal hoy.

PRIMER PASO: Hacer una gráfica que represente el problema.

𝑖 = 12% Ss

𝑖 = 7% Ts P=?

0 -25

-9 $22.000.000

SEGUNDO PASO: Ubicar el punto focal en el hoy ($22.000.000) TERCER PASO: convertir las tasas de interés a bimestral simple. NOTA: un trimestre tiene 1.5 bimestres y un semestre tiene 3 bimestres.

𝑖𝑏𝑠 =

7% = 4.67% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 1.5

𝑖𝑏𝑠 =

12% = 4% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 3

Nos piden el valor presente, se utiliza la siguiente ecuación 𝐹 =𝑃+𝐼 Como son dos tasas de interés se deben sumar P más los intereses generados por los primeros 9 bimestres y por los siguientes 16 bimestres. La fórmula quedaría de la siguiente manera: 𝐹 = 𝑃 + 𝐼1 + 𝐼2

Sabiendo que: 𝐼 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛

Sustituimos los valores en la anterior ecuación. 22.000.000 = X + (X × 0.0467 × 9) + (X × 0.04 × 16) Con la calculadora usamos la función SHIFT SOLVE para despejar nuestra incógnita X. R/ En el bimestre 25 se consignó $10, 678,056.

EJERCICIO #8 Cuánto debe invertirse hoy al 13.3% simple semestral para disponer de $226.000, dentro de 22 bimestres? PRIMER PASO: Hacer una gráfica que represente el problema.

$226.000

0 𝑖 = 13.3%Ss

22

P=? SEGUNDO PASO: convertir la tasa de interés simple semestral a simple bimestral. Un semestre tiene 3 bimestres.

𝑖𝑏𝑠 =

13.3% = 4.43% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 3

Nos piden el valor presente, se utiliza la siguiente ecuación. 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 × 𝑛) Se sustituye los valores en la anterior ecuación y Con la calculadora usamos la función SHIFT SOLVE para despejar nuestra incógnita X. 226.000 = 𝑋(1 + 0.0443 × 22) X = 114,453

EJERCICIO #9 Hoy se consignan $7.000.000 en una entidad que reconoce una tasa de interés del 8% trimestral simple; 5 trimestre más tarde se retiran $2.000.000; cuánto dinero se debe consignar dentro de 10 trimestre para que en el trimestre 15 existan $15.000.000. Considere que la tasa de interés cambia en el trimestre 8 al 15% semestral simple. Punto Focal trimestre 12.

PRIMER PASO: Hacer una gráfica que represente el problema.

$15.000.000

$2.000.000 0

10 12

8

5

$7.000.000

15

𝑥 =?

𝑖 = 8% Ts

𝑖 = 15% Ss

SEGUNDO PASO: convertir la tasa de interés simple semestral a simple trimestral. Un semestre tiene 2 trimestres.

𝑖 𝑇𝑠 =

15% = 7.5% 𝑇𝑠 2

Se utiliza la siguiente ecuación y se sustituye 1. 𝐹 = 𝑃 + 𝐼 : esta ecuación se utiliza para cuando hay cambios de tasas de interés y se sabe que 𝐼 = 𝑃 × 𝑖 × 𝑛. 2. 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 × 𝑛): Esta ecuación se utiliza para cuando no hay cambio de tasa de interés. 7.000.000 + (7.000.000 × 0.08 × 8) + (7.000.000 × 0.075 × 4) + 𝑥(1 + 0.075 × 2) = 2.000.000 + (2.000.000 × 0.08 × 3) + (2.000.000 × 0.075 × 4) 15.000.000 + (1 + 0.075 × 3)

13.580.000 + 𝑥(1 + 0.075 × 2) = 3.080.000 +

15.000.000 (1 + 0.075 × 3)

Con la calculadora usamos la función SHIFT SOLVE para despejar nuestra incógnita X. X=1.517.302 R/ En el trimestre 10 se deben consignar 1.517.302

EJERCICIO #10 ¿Si hoy, 25 de septiembre de 2016 se invierten $452.000, con qué tasa de interés simple trimestral se tendrán $552.000, el 5 de julio de 2018? PRIMER PASO: Hacer una gráfica que represente el problema $552.000 25/09/16

𝑖 =? $452.000

648

05/07/18

SEGUNDO PASO: Se debe calcular los días que han transcurrido del 25/09/16 hasta 05/07/18. Esto se hace por medio de App “calculadora de días” que se encuentran en la play store.

Se utiliza la ecuación 𝐹 = 𝑃 (1 + 𝑖 × 𝑛) y se sustituye los valores 552.000 = 452.000(1 + 𝑖 × 648) Con la calculadora usamos la función SHIFT SOLVE para despejar nuestra incógnita (𝑖). 𝑖 = 0.000341 𝑜 0.0341% 𝑑𝑠 Tenemos las tasa de interés en días toca convertirla en simple trimestral. Donde un trimestre tiene 90 días. 𝒊𝑻𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟒𝟏% × 𝟗𝟎 = 3.069% Ts

EJERCICIO #11 ¿Qué cantidad de dinero se recibió en préstamo el día 13 de marzo 2015 si se liquidó con $126.000.000 el 25 de septiembre de 2017 siguiente? Suponga que los intereses son del 29.5% simple anual. PRIMER PASO: Ubicar los datos que nos indica el problema en una grafica

13/MAYO/2015

n=927 días

126’000.000

25/SEPTIEMBRE/2017

𝑖𝑎𝑠 = 29,5% X

X: Representa el valor del dinero recibido en préstamo el 13 de mayo del 2015 F: 126’000.000 Valor por el cual se liquidó el préstamo el 25 de septiembre del 2017 n: número de días que hay entre la fecha que se recibió el prestamos hasta la fecha que se liquido Nota: este número de días se calcula a través de la aplicación de play store para celulares CALCULADORA DE DIAS

SEGUNDO PASO: Convertir la tasa de interés de anual simple a diaria simple, pues n esta en días Para esto, se divide el interés anual en los días que hay en un año

𝑖𝑑𝑠 =

29,5% 360

= 0,082%

TERCER PASO: Aplicar las formulas correspondientes Como se necesita calcular el valor del préstamo el 13/05/15 es decir, el valor presente partimos de la fórmula de futuro y despejamos P

F = P ( 1 + i × n) P=

𝐹 ( 1+i×n)

=

126000000 ( 1+0.00082×927)

Nota: el interés se divide en 100

P= 71’581.214 es el valor del dinero que se recibió en préstamo

EJERCICIO #12 ¿Qué tasa de interés simple trimestral se está cargando en un crédito de $1.676,750 que 200 días después se paga con $1,799,110?

PRIMER PASO: Ubicar los datos que nos indica el problema en una grafica

n=200 días

1’799.110

𝑖 𝑇𝑠 =? 1’676.750

P: 1’676.750 Es el valor del crédito F: 1’799.110 el valor por el cual se paga el crédito n: 200 días SEGUNDO PASO: Aplicar la formula correspondiente

F = P (1 + i × n) Reemplazar valores

1’799.110 = 1’676.750 (1 + i × 200) = 0.000364 x 100 = 0.036% ds El valor de i se calcula a través de la a función shift solve de la calculadora

Como n esta en días, el interés calculado es diario simple pero el ejercicio lo solicita en trimestral simple

𝑖 𝑇𝑠 = 0.036% 𝑥 90 = 3.28% Nota: se multiplica el interés diario por el número de días que hay en un trimestre

EJERCICIO #13 Prestar un capital al 12.8% simple semestral es más redituable que invertirlo con el 0.15% simple semanal. PRIMER PASO: interpretar el ejercicio El ejercicio pide determinar cuál es la tasa de interés más redituable, es decir que genera más utilidad en cierto periodo de tiempo y es más rentable. Para poder determinar cuál es la más redituable se deben tener las dos tasas de interés en un mismo periodo de tiempo y realizar una comparación. SEGUNDO PASO: igualar las tasas de interés al mismo periodo Se selecciona la tasa que se desea convertir, es decir, semestral se puede llevar a semanal o viceversa En este caso, se convierte la semanal en semestral

𝑖𝑆𝑠 = 0.15% 𝑥 24 = 3.6% se multiplica la tasa por 24 ya que es el número de semanas que hay en un semestre

TERCER PASO: Comparar y seleccionar la más redituable 12.8% Vs 3.6% Se puede analizar que la tasa que genera más intereses para prestar un capital es la de 12.8% simple semestral, por lo tanto, es la tasa de interés más redituable.

EJERCICIO #14 El 15 de noviembre de 2015 un comerciante compró mercancía que canceló de la siguiente manera: un 35% de cuota inicial, un pago por $13.200.000, que corresponde al 40% el día 3 de marzo de 2016, y otro por el resto el día 22 de abril de 2017 (punto focal). Considerando cargos del 16.8% anual determinar: a) El valor de la mercancía el día de la compra. b) ...