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Lineare Funktionsgleichungen f(x) = mx + b
· Bestimmen von Geradengleichungen
· Parallele und senkrechte Geraden
· Nullstellen und Schnittpunkte...

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Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen_Grundlagen Lineare Funktionsgleichungen f(x) = mx + b Bestimmen von Geradengleichungen Parallele und senkrechte Geraden Nullstellen und Schnittpunkte

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Inhalt

Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen_Grundlagen Steigung Die einfachste Art von Funktionen, die Sie vielleicht kennen gelernt haben sind die linearen Funktionen Definition: Eine reelle Funktion f : x Funktion.

m x

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, die die y-Achse im Punkt (0; b) schneidet. Der Faktor m heißt Steigung der Geraden. Die Zahl b heißt y-Achsenabschnitt der Geraden. Falls b = 0 ist, geht die Gerade durch den Koordinatenursprung (Ursprungsgerade). Das Bild zeigt als Beispiele für Ursprungsgeraden den Graphen der identischen Funktion x x und den Graphen einer linearen Funktion mit negativer Steigung. Eine lineare Funktion mit der Steigung 0 heißt konstante Funktion. Ihr Graph ist eine Parallele zur x-Achse. Im Bild sind die Graphen der konstanten 2 als Funktionen f 1 : x 3 und f 2 : x Beispiele gezeichnet. Die Steigung m einer linearen Funktion f lässt sich mit einem Steigungsdreieck veranschaulichen f ( x2 ) f ( x1) x2 x1 Ist m > 0, so steigt die Gerade. Ist m < 0, so fällt die Gerade m

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b; x IR mit m, b IR heißt lineare

Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen_Grundlagen Steigung In der Gleichung zur Berechnung der Steigung erkennt man: Die Steigung wird berechnet als Quotient von Gegenkathete und Ankathete im rechtwinkligen Steigungsdreieck. Hieraus folgt unmittelbar: m tan

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Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen Bestimmen von Geradengleichungen Entsprechend den Möglichkeiten eine Gerade zu zeichnen, gibt es zwei Fälle zur Bestimmung von Geradengleichungen: Entweder sind ein Punkt und die Steigung bekannt oder zwei Punkte sind gegeben.

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Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen Parallele und senkrechte Geraden Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Wie sieht es bei Geraden aus, die senkrecht zueinander stehen? Gibt es auch hier einen Zusammenhang bei den Steigungen?

Aus den Zeichnungen lesen wir ab: Die Steigung m2 der gedrehten Geraden hat entgegengesetztes Vorzeichen, und auf | m1 | Einheiten nach oben bzw, unten 1 nach oben gehen. Das heißt aber: Auf eine Einheit nach rechts geht man | m1| bzw. unten. Für beide Fälle gilt also: Satz: Steht eine Gerade mit der Steigung m2 senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung m1, so gilt: 1 m2 m1

3 x 5, x IR 7 Alle Geraden, die zu der gegebenen Geraden senkrecht verlaufen, haben die 7 Steigung . 3

Beispiel: f (x )

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Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen Nullstellen und Schnittpunkte Von früher ist Ihnen vielleicht noch bekannt: Definition: Eine Stelle x0 heißt Nullstelle einer Funktion f, wenn der Funktionswert an dieser Stelle 0 ist, d.h. wenn f(x0) = 0 gilt.

Nullstellen sind also Schnittstellen des Graphen einer Funktion mit der x-Achse. Beispiel:

f :x

Wie lautet die Nullstelle der Funktion

3,5 x 10,5 x IR 3,5x 10,5 0

Also gilt x = -3. f hat die Nullstelle –3, der Graph schneidet also die x-Achse im Punkt N ( -3; 0).

Wir legen fest: Definition (Schnittstelle, Schnittpunkt): Eine Stelle x heißt Schnittstelle zweier Funktionen f und g, wenn für sie die Funktionswerte beider Funktionen gleich sind, d.h. wenn f(x) = g(x) gilt.

Der zu einer Schnittstelle x von f und g gehörige gemeinsame Punkt beider Graphen heißt Schnittpunkt der Graphen von f und g. Seine Koordinaten sind (x; f(x)) bzw. (x; g(x)). Anwendungsbeispiele für die Berechnung von Schnittpunkten: ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 2-1-1_Lineare Funktionen_Grundlagen

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Lineare Funktionen / Lineare Gleichungen Nullstellen und Schnittpunkte - Beispielaufgabe

Das Elektroversorgungsunternehmen einer Stadt bietet seinen Kunden folgende Tarife an: Tarif I Arbeitspreis 0,18 € / kWh Grundpreis pro Jahr für die 104,80 € ersten 2 Räume Für jeden weiteren Raum 19,20 € Zählergebühr pro Jahr 36,00 €

Tarif II 0,15 € / kWh 184,80 €

Kleinverbrauchstarif 0,54 € / kWh —

39,00 € 36,00 €

— 36,00 €

a) Welche jährlichen Stromkosten hat ein Mieter einer Wohnung mit 5 Räumen in Tarif I zu bezahlen, wenn er einen Jahresverbrauch von 4500kWh hat? b) Zeigen Sie, dass bei 5 Räumen die Strompreisfunktion PI (Strompreis im Tarif I) als lineare Funktion des Verbrauchs x durch PI (X)= — 0,18x + 198 dargestellt wird. (Auf Einheiten ist hierbei verzichtet worden.) c) Stellen Sie - wie in b) - die Strompreisfunktion PI für den Tarif II (PK für den Kleinverbrauchstarif) bei 5 (2, 4, 7) Räumen auf. In Aufgabe c) erhält man als Funktionsgleichung im Kleinverbrauchstarif bei 5 Räumen PK(x) = 0,54x + 36. Im Bild sind die Graphen der beiden Funktionen PI und PK (jeweils für 5 Räume; vgl. Aufgabe b)) gemeinsam dargestellt. Bei einem geringen Stromverbrauch sind die Funktionswerte der Funktionen PK kleiner als die Funktionswerte von PI; in diesem Fall ist also der Kleinverbrauchstarif günstiger als der Tarif I. Um herauszubekommen, bis zu welchem Verbrauch der Kleinverbrauchstarif günstiger ist, müssen wir die Stelle berechnen, wo sich die beiden Graphen schneiden. Für die Schnittstelle x der beiden Graphen gilt: PI(x) = PK(x) Einsetzen der Funktionsterme ergibt 0,18x + 198 = 0,54x + 36. Man formt um 162 = 0,36x 450 = x. Bei einem Verbrauch von 450 kWh ist bei 5 Räumen der Strompreis im Tarif I und im Kleinverbrauchstarif gleich hoch. Für einen geringeren Verbrauch ist der Kleinverbrauchstarif, für einen höheren Verbrauch der Tarif I günstiger. 2-1-1_Lineare Funktionen_Grundlagen

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