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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICA Asignatura: Cálculo II (22137) Mg. Erwin Maury Mancilla. Integración con condiciones iniciales. 

Si conocemos la derivada f ’de la función f, entonces la función f misma es una antiderivada de f ’. Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ’y la más general es denotada por la integral indefinida.

y





En la figura de la izquierda tenemos varias graficas de las antiderivadas de 2x. Es decir:



f ’(x) = 2x, entonces: 

f ( x ) =∫ f ' ( x ) =∫ 2 xdx =x 2 + C

(1)



f(x)= x2 +1

(1,2) 











Debido a la constante de integración, no conocemos f(x) específicamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor para un valor particular de x, podemos determinar el valor de C y conocer concretamente a f(x). Por ejemplo, si f (1) = 2, de la ecuación (1) se tiene:

f (1) = (1)2 + C 2= 1+C 2–1=C C=1 Por lo tanto como f(x) = x2 + C, entonces f(x) = x2 + 1 Ahora ya conocemos la función particular f(x) = x2 + 1 para la cual f ’(x) = 2x y f (1) = 2. La condición f(1) = 2, que da un valor de f para un valor específico de x, se llama condición inicial (o valor en la frontera).

NOTA: Observe que para hallar la función f nos dan f ’(x), si usamos la notación de Leibniz (cociente de diferenciales) para representar la derivada de una función tendríamos: dy =2 x dx La ecuación anterior sería una ecuación diferencial, la cual contiene derivadas de una función desconocida. Lo importante de la notación anterior es que podemos despejar dy: dy =2 xdx Aplicando integrales en ambos miembros:

∫ dy =∫ 2 xdx 2

y = x +C

Aplicaciones de la integral con condiciones iniciales a problemas de movimiento rectilíneo. Si s = f(t) es la funci6n de posición de un objeto que se mueve en línea recta entonces sabemos que: v ( t )=

ds ' dv =s ( t ) a ( t )= =v '(t) dt dt

Como una consecuencia inmediata de la definici6n de la antiderivada, las cantidades s y v pueden escribirse como integrales indefinidas: s ( t ) =∫ v ( t ) dt y v ( t )=∫ a ( t ) dt(1) Si se conocen la posición inicial s(0) y la velocidad inicial v(0), es posible encontrar valores específicos de las constantes de integraci6n usadas en (1).

Recuerde que cuando el cuerpo se mueve horizontal mente sobre una recta, la dirección positiva es hacia la derecha. Para movimiento en una recta vertical, tomamos la dirección positiva hacia arriba. Si una flecha se dispara hacia arriba desde el nivel del suelo, entonces las condiciones iniciales son s (0) = 0, v (0) > 0, mientras que si la flecha se dispara hacia abajo desde una altura inicial, por ejemplo h metros del suelo, entonces las condiciones iniciales son s (0) = h, v (0) < O. Sobre un cuerpo que se mueve en una recta vertical cerca de la superficie terrestre, como la flecha disparada hacia arriba, actúa la fuerza de gravedad. Esta fuerza provoca la aceleración de los cuerpos. Cerca de la superficie terrestre se supone que esta aceleración, a (t) = -g, es una constante. La magnitud g de esta aceleración es aproximadamente:

32 pies/s2,

9.8 m/s2

o bien,

980 cm/s2

.

Ejemplo 1: Una pelota de tenis se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 54 pies con una velocidad inicial de 8 pies/seg. ¿Cuál es la velocidad de impacto si la pelota golpea en la cabeza a una persona de 6 pies de estatura? Solución: a (t) = –32; s(0) = 54; v(0) = – 8. v ( t )=∫ (−32 ) dt=−32 t+C 1 Como v(0) = – 8, entonces: – 8 = −32(0)+C1 C1 =−8 Por tanto, v ( t )=−32 t−8 Ahora, tenemos que: 2 s ( t ) =∫ (−32t−8 ) dt=−16 t −8 t+C 2 Sabemos que s(0) = 54, entonces: 2 54=−16 ( 0) −8(0)+C2

C 2 =54

Entonces,

En consecuencia: s ( t ) =−16 t 2 −8 t+54 Podemos calcular t cuando s = 6: 2

6=−16 t −8 t+54 0=−16 t2−8 t+48 2 0=−2t −t +6 2t 2 +t−6=0 4 t2 +1(2 t)−12=0

(2 t+4 )(2 t−3)=0 t=

3 2

Entonces la velocidad de la pelota al golpear la cabeza es: v

( 32 ) =−32 ( 32 ) −8= −56segpies .

Ejemplo 2: Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 49 m/s. ¿Cuál es la velocidad en t = 2 s? ¿Cuál es la altura máxima que

alcanza el proyectil? ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el proyectil? ¿Cuál es la velocidad de impacto? Solución: a (t) = −9.8 ; v(0) = 49. v ( t )=∫−9.8 dt=−9.8 t+C 1 ` Como v(0) = 49, entonces: 49 = −9.8(0)+C 1 C 1 =49 Por tanto, v ( t )=−9.8 t +49 En consecuencia: v ( 2 )=− 9.8(2 )+ 49 v ( 2 )=−19.6 + 49

s(0) = 0

v ( 2) =29.4 m /seg 

2 s ( t ) =∫ (−9.8 t+49 )dt=−4.9 t + 49 t+C 2

Sabemos que s(0) = 0, entonces: 0=−4.9 ( 0 )2 +49(0)+C2 Entonces,

C2 =0

En consecuencia: s ( t ) =−4.9 t 2+ 49 t Cuando el objeto alcanza la altura máxima, v(t) = 0, entonces: −9.8 t+ 49=0 −9.8 t+ 49=0 t=5 Entonces:

s ( 5) =−4.9 (5 ) 2+ 49( 5) s ( 5) =−122.5+245=122.5 metros

Para calcular el tiempo que tarda en el aire, solamente multiplicamos el tiempo que tarda en subir (5 seg) por dos, por lo tanto, el tiempo es de 10 seg.  Finalmente, la velocidad de impacto contra el suelo es: v ( 10 )=− 9.8(10 )+ 49 v ( 10 )=− 98+49

v ( 10 )=

−49 m . seg EJERCICIOS

Encuentre f sujeta a las condiciones dadas: 1. f ’(x) = 3x – 4; f(–1) = 13/2

2. f ’(x) = x2 – x –; f(3) = 19/2

3. f ’(x) = 12x2 – 6x + 1; f (1) = 5

4. f ’(x) = 9x2 + x – 8; f(–1) = 1

5. f ’’(x) = 4x –1; f ’(2) = –2; f (1) = 3

6. f ’’’ (x) = 6x; f ’’(0) = 2; f ’(0) = –1; f (0) = 4

En los siguientes problemas f satisface las condiciones dadas, encuentre f(x) para el valor dado de x. ' 1. f ( x )=

4 ; f (4) = 10; x = 9 √x

2. f ’(x) = –x2 + 2x, f (2) = 1; x = 1

En los problemas 1-4, un cuerpo se mueve en línea recta con velocidad v(t). Encuentre la función posición s(t). 1. v(t) = 6; s = 5 cuando t = 2

2. v(t) = 2t + 1; s = 0, cuando t = 1

3. v(t) = t2 – 4t; s = 6 cuando t = 3

4.

v ( t )= √ 4 t +5 ; s = 2, cuando t = 1

En los problemas 1-4, un cuerpo se mueve en línea recta con aceleración a(t). Encuentre la s(t) y v(t). 1. a(t) = – 5; v = 4 y s = 2 cuando t = 1

2. a(t) = 6t; v = 0 y s = – 5 cuando t = 2

3. a(t) = 3t2 – 4t +5; v = –4 y s = 10 cuando t = 0

4. a(t) = (t – 1)2 ; v = 4 y s = 6 cuando t = 1

Resolver los siguientes problemas: 1. El conductor de un autom6vil que se desplaza en línea recta a velocidad constante de 60 mi/h aparta por 2 s la vista de la carretera. ¿Cuantos pies recorre el automóvil en este instante? (una milla equivale a 5208 pies)

2. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo largo de una línea recta con una aceleración al tiempo t dada por a(t) = 12t – 4 pie/seg 2. En el tiempo t = 0 la lancha tenía una velocidad de 8 pies/seg. y se encontraba a 15 pie del muelle. Calcular su distancia s(t) al embarcadero al cabo de t segundos.

3. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde una altura de 144 pie sobre el suelo con una velocidad inicial de 96 pie/seg. Despreciando la resistencia del aire, determinar su altura desde el suelo a los t segundos. ¿Durante que intervalo de tiempo la piedra sube? ¿En qué momento y con qué velocidad choca la piedra contra el suelo al descender?

4. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 1600 pie/seg. Despreciando la resistencia del aire, calcule su altura o distancia desde el suelo s(t) al tiempo t. ¿Cuál es su altura máxima?

5. El volumen V un globo camba con respecto al tiempo con una rapidez dada por: dV 1 3 =3 √ t + t pies /seg 4 dt Al tiempo t = 4, el volumen es 20 pie3. Exprese V como una función de t....