Ejemplos Doble Integracion CON Macaulay PDF

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apuntes uso de Macaulay para resolución de vigas...

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN DOBLE INTEGRACION CON MACAULAY EJEMPLO 3.1 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 3. Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas.

40

12

28 7

3

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos

M ( x )  12x  40 x  7

Primera integración

EI

Segunda integración

EIv  2 x 3  6.667 x  7  C1x  C2

dv 2  6x 2  20 x  7  C1 dx 3

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Condición de Frontera

Sustitución

Constantes

x0 v0

EI  0  2  0  6.667 0  7  C1  0  C2

C2  0

x  10 v  0

EI 0   2 10   6.667 3   C1 10 

C1  182

3

3

3

3

3. Ecuaciones Finales

EI

dv  6 x2  20 x  7 dx

4. Valores de giro y deflexión en x=3 2

dv 2 2  6  3   20 3  7  182  128 dx dv  128  dx EI

182

EI

3

EIv  2 x3  6.667 x  7 182 x

EIv  2  3  6.667 3  7  182 3    492 3

v 1

492 EI

3

EJEMPLO 3.2 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 3.5 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 1500

2571.429

3428.571

2

4

1

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración 2

Ecuación de momentos

M ( x)  2571.429 x  750 x  2  750 x  6

Primera integración

EI

2

dv 3 3 1285.714 x2  250 x  2  250 x  6  C1 dx 4 4 EIv  428.571x 3  62.5 x  2  62.5 x  6  C1 x  C2

Segunda integración

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Sustitución

Constantes

x0 v0

EI  0  428.571 0  C2

x7 v0

EI  0  428.571 7   62.5  5  62.5 1  C1  7 

C2  0

3

3

4

4

C1  15428.571

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 1285.714 x2  250 x  2 dx

3

3

 250 x  6 15428.571

4

4

EIv  428.571x3  62.5 x  2  62.5 x  6  15428.571x 4. Valores de giro y deflexión en x=3.5

EI

dv 2 3 1285.714 3.5  250 1.5  15428.571 dx

EIv  428.571 3.5   62.5 1.5   15428.571 3.5  3

4

2

dv 522.321  dx EI v

35941.406 EI

EJEMPLO 3.3 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 4.5 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 360

216

324

1

3

1

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración 3

Ecuación de momentos

M  x   216 x  20 x 1 180 x 4

Primera integración

EI

2

20 x 4

3

dv 4 3 4 108 x 2  5 x 1  60 x  4  5 x  4  C1 dx 5 4 5 EIv  36 x3 1 x 1  15 x  4  1 x  4  C1 x  C2

Segunda integración

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Sustitución

Constantes

x0 v0

EI  0  36  0  C1  0  C2

x5 v0

EI  0  36  5 1 4  15 1 11  C1  5

C2  0

3

3

5

4

5

C1  698.4

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 4 3 4 108 x 2  5 x 1  60 x  4  5 x  4  698.4 dx 5

4

5

EIv  36 x3 1 x  1  15 x  4  1 x  4  698.4 x 4. Valores de giro y deflexión en x=4.5

EI

dv 4 3 4 108 x2  5 3.5   60 0.5   5 0.5  698.4 dx

EIv  36x 3  1 3.5   15 0.5   1 0.5   698.4 4.5  5

4

5

3

dv 746.1  dx EI v

386.55 EI

EJEMPLO 3.4 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 8 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 6

10

4

340 60

3

5

3

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración Ecuación de momentos

M( x)  340  60 x  2 x2  6 x  3 10 x  8

Primera integración

EI

dv 2 2  340x  30x2  0.667x3  3 x  3  5 x  8  C1 dx 3 3 EIv  170 x2  10x3  0.167 x4  1 x  3  1.667 x  8  C1 x  C2

Segunda integración

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Constantes

x  0 v'  0

C1  0

x0 v0

C2  0

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 2  340 x  30 x2  0.667 x3  3 x  3  5 x  8 dx 3

2

EIv  170 x2  10 x3  0.167x4  1 x  3  1.667 x  8

3

4. Valores de giro y deflexión en x=8

EI

2 3 2 dv  340  8  30  8  0.667 8   3 5  dx

EIv   170  8  10  8  0.167 8   15  2

3

4

3

4

dv 1216.333  dx EI v

6567.667 EI

EJEMPLO 3.5 Calcule giro y deflexión de la siguiente viga en x = 7 Método de la doble integración y ecuaciones de momentos con funciones discontinuas. 500

300

515

435

1

3

2

4

1. Ecuación de momentos con funciones singulares y doble integración

3

2

3

M ( x)  515x 16.667 x 1  150 x  4  16.667 x  4  500 x  6

EI

dv 4 3 4 2  257.5x 2  4.167 x  1  50 x  4  4.167 x  4  250 x  6  C1 dx 5

4

5

3

EIv  85.333x3  0.833 x  1  12.5 x  4  0.833 x  4  83.333 x  6  C1 x  C2

2. Condiciones de frontera y constantes de integración Cond. de Frontera

Constantes

x0 v0

C2  0

x  10 v  0

C1  5397.25

3. Ecuaciones Finales

EI

dv 4 3 4 2  257.5 x2  4.167 x 1  50 x  4  4.167 x  4  250 x  6  5397.25 dx 5

4

5

3

EIv  85.333 x3  0.833 x  1  12.5 x  4  0.833 x  4  83.333 x  6  5397.25x

4. Valores de giro y deflexión en x=7

dv 3257.75  dx EI

v

13688.25 EI

5

EJEMPLO 3.6 En la siguiente viga obtenga mediante el método de doble integración y utilizando funciones discontinuas la grafica de deflexión. 200

300

100

375

1275

4

3

1

2

5

1. Ecuación de Momentos con funciones discontinuas y doble integración

2

M  x   50x 2  375 x  4  50 x  7  200 x  9  1275 x 10  10 x10 EI

3

dv 2 3 2 2  16.667x3  187.5 x  4  16.667 x  7  100 x  9  637.5 x  10  dx 4

2.5 x 10  C1 3

4

3

3

EIv   4.167x 4  62.5 x  4  4.167 x  7  33.333 x  9  212.5 x  10  5

0.5 x 10  C1x  C 2

2. Condiciones de Frontera x4 v0 x  10 v  0

 EI  0   4.167  4   C 1 4   C 2 4

 EI 0   4.167 10  62.5 6   4.167 3  33.333 1   C1 10   C 2 4

3

3. Ecuaciones simultáneas

 4 1 C1  1066.667 10 1 C    27862.5     2   6

4

3

4. Constantes de Integración

C1   4465.972      C2  16797.222 

5. Ecuaciones finales

2 3 2 2 dv  16.667 x3  187.5 x  4  16.667 x  7  100 x  9  637.5 x  10  dx 4 2.5 x  10  4465.972

EI

3

4

3

3

EIv  4.167 x 4  62.5 x  4  4.167 x  7  33.333 x  9  212.5 x  10  5

0.5 x  10  4465.972x  16797.222

6. Valores de deformación en ambos extremos

 EI dv   dx 4465.972  x 0  EIv  16797.222  

EI dv   9788.194  dx  x  15   EIv  42690.972  

7. Ubicación de tangentes horizontales a. Suponiendo v '  0 en 0  x  4  x1  3.2235  5.5832i 50 3  0  x  4465.972  x2   3.2235 5.5832 i 3  x3  6.4470  Nota: dos complejas y la otra fuera de rango, ninguna es útil.

7

b. Suponiendo v '  0 en 4  x  7

50 3 2 x  187.5 x  4  4465.972 0  3

 x1  1.9665  7.5733i   x2  1.9665 7.5733i  x3  7.3169 

Nota: dos complejas y la otra fuera de rango, ninguna es útil.

c. Suponiendo v '  0 en 7  x  9

0

50 3 50 2 3 x  187.5 x  4   x  7  4465.972 3 3

 x1  7.3173   x2  1.4712

Nota: el valor de x1 es correcto (dentro del rango supuesto)

d. Suponiendo v '  0 en 9  x  10

0 

 x1  7.0394   x2  3.4368

2 3 2 50 3 50 x  187.5 x  4   x  7  100 x  9  4465.972 3 3

Nota: las dos raíces fuera de rango, ninguna es útil.

e. Suponiendo v '  0 en 10  x  15 0

50 3

x 3  187.5  x  4   2

50 3

x  7 

3

 100  x  9  637.5 x  10 2

2.5  x  10  4465.972 4

x 1  18.0561 4.5753i x 2  18.0561  4.5753i x3  8.3572 x4   4.4695 Nota: dos raíces complejas y dos fuera de rango, ninguna es útil.

8

2



8. Valor(es) de desplazamiento en donde hay tangentes horizontales

a. Sólo se tiene un punto con tangente horizontal en x=7.3173

x  7.3173

EIv  6218.083

9. Gráfico de deflexiones

300 200 100

4.00

3.00

2.00

1.00

375

5.00

1275 (7.3173,6218.083)

10000

0

- 10000

(0,-16797.222) - 20000

- 30000

- 40000

(15,-42690.972) 0

4

7.3173

9

9

10

15...