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21 Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Encontrar el movimiento rectilíneo uniformemente variado, acelerado o retardado, (MRUV) en su día a día es bastante común. Por ejemplo, si deja caer una moneda al suelo (caída libre), esta realizará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV.). Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, su movimiento es complejo y difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento unidimensional, es aquel en el que la aceleración es constante.

Movimiento con aceleración variada

Movimiento con aceleración constante 2

Mo Movim vim vimient ient iento o rrec ec ectilíne tilíne tilíneo o un uniform iform iformem em emente ente varia variado do El movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) es el movimiento de una partícula o cuerpo por una línea recta con una aceleración constante. Es decir: ￮

La partícula se desplaza por el eje de coordenadas. 3

￮

La velocidad aumenta (o disminuye) de manera lineal respecto al tiempo. Es decir, la aceleración es constante.

En este ejemplo se puede observar como el objeto va aumentando su velocidad uniformemente conforme va pasando el tiempo y avanza por su trayectoria. 4

Un cuerpo realiza un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) cuando su trayectoria es una línea recta y su aceleración es constante. Esto implica que la velocidad aumenta o disminuye su módulo de manera uniforme. 5

Ec Ecuac uac uacion ion iones es y grá gráfica fica ficas sd del el M MRUV RUV En el caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), la aceleración promedio 𝑎!,# en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea 𝑎! en cualquier instante dentro del intervalo, y la velocidad cambia con la misma proporción a lo largo del movimiento. Esta situación ocurre con suficiente frecuencia como para que se le identifique como un modelo de análisis: la partícula bajo aceleración constante. A continuación, se generan varias ecuaciones que describen el movimiento de una partícula para este modelo. 6

Si en la ecuación:

𝑎!,# =

∆𝑣

𝑣!$ 𝑡$ − 𝑡𝑣%!%

= ∆𝑡 Se sustituye 𝑎!,# con 𝑎!, y se toma 𝑡% = 0 y 𝑡$ como cualquier tiempo 𝑡 posterior, se encuentra que: 𝑣!$ − 𝑣!% 𝑎! = 𝑡−0

O

𝑣!$ = 𝑣!% + 𝑎! 𝑡

Esta expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier tiempo 𝑡, si se conoce la velocidad inicial 𝑣!% del objeto y su aceleración 𝑎! (constante).

7

En la figura (b) se muestra una gráfica velocidad-tiempo para este movimiento con aceleración constante. La gráfica es una línea recta, cuya pendiente es la aceleración 𝑎! ; la pendiente (constante) es positiva, lo que indica una aceleración positiva. Si la aceleración fuese negativa, la pendiente de la línea en la figura (b) sería negativa. Cuando la aceleración es constante, la gráfica de aceleración en función del tiempo (figura c) es una línea recta que tiene una pendiente cero. 8

Puesto que la velocidad con aceleración constante varía linealmente en el tiempo, de acuerdo con la ecuación: 𝑣!$ = 𝑣!% + 𝑎! 𝑡

Se expresa la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial 𝑣!% y la velocidad final 𝑣!$ : 𝑣!% + 𝑣!$ 𝑣!,# = 2 Se debe notar que esta expresión para la velocidad promedio sólo aplica en situaciones en que la aceleración 𝑎! es constante.

9

Si se conoce que:

∆𝑥 = 𝑥$ − 𝑥%

∆𝑥 𝑣!,# = ∆𝑡 Junto con la ecuación: 𝑣!% + 𝑣!$ 𝑣!,# = 2 Se puede obtener la posición de un objeto como función del tiempo, al recordar que: ∆𝑡 = 𝑡$ − 𝑡%

donde 𝑡$ = 𝑡, 𝑡% = 0.

10

Se encuentra que

1 𝑥$ − 𝑥% = 𝑣!,# 𝑡 = 2 𝑣!% + 𝑣!$ 𝑡 1 → 𝑥$ = 𝑥% + 2 𝑣!% + 𝑣!$ 𝑡

Para 𝑎! constante.

Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el tiempo 𝑡 en términos de las velocidades inicial y final. Otra expresión útil para la posición de una partícula bajo aceleración constante se obtiene al recordar que: 𝑣!$ = 𝑣!% + 𝑎! 𝑡

11

Por lo tanto:

1 𝑥$ = 𝑥% + 2 𝑣!% + 𝑣!% + 𝑎! 𝑡 𝑡 1 & → 𝑥$ = 𝑥% + 𝑣!% 𝑡 + 2 𝑎! 𝑡 Para 𝑎! constante.

Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el tiempo 𝑡 en términos de la velocidad inicial y la aceleración constante. La gráfica posición-tiempo para movimiento con aceleración constante (positiva) que se muestra en la figura (a) se obtiene de esta ecuación.

12

Se debe notar que la curva es una parábola. La pendiente de la línea tangente a esta curva en 𝑡 = 0 es igual a la velocidad inicial 𝑣!% , y la pendiente de la línea tangente en cualquier tiempo posterior 𝑡 es igual a la velocidad 𝑣!$ en dicho tiempo. Por último, es posible obtener una expresión para la velocidad final que no contenga tiempo como variable al sustituir el valor de 𝑡 de la ecuación: 𝑣!$ = 𝑣!% + 𝑎! 𝑡 𝑣!$ − 𝑣!% →𝑡= 𝑎!

13

en la ecuación:

1 𝑥$ = 𝑥% + 2 𝑣!% + 𝑣!$ 𝑡

Por lo tanto:

𝑣!$ − 𝑣!% 𝑎! 𝑣!% & − 𝑣!$ & 𝑥$ = 𝑥% + 2𝑎!

𝑥$ = 𝑥% +

1 𝑣 + 𝑣!$ 2 !%

→ 𝑣!$ & = 𝑣!% & + 2𝑎! 𝑥$ − 𝑥%

Para 𝑎! constante.

14

Esta ecuación proporciona la velocidad final en términos de la velocidad inicial, la aceleración constante y la posición de la partícula. Para movimiento con aceleración cero, se ve de las ecuaciones: Y:

Que:

𝑣!$ = 𝑣!% + 𝑎! 𝑡

1 𝑥$ = 𝑥% + 𝑣!% 𝑡 + 𝑎! 𝑡 & 2

𝑣!$ = 𝑣!% = 𝑣! 𝑥$ = 𝑥% + 𝑣! 𝑡 . 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎! = 0

15

Estas ecuaciones son ecuaciones cinemáticas útiles para resolver cualquier problema que involucre una partícula bajo aceleración constante en una dimensión. La elección de cuál de ellas usar en una situación dada depende de los datos proporcionados.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (𝑎! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) No. 1 2 3 4

Ecuación 𝑣!" = 𝑣!# + 𝑎! 𝑡 1 𝑣 + 𝑣!" 𝑡 2 !# 1 𝑥" = 𝑥# + 𝑣!# 𝑡 + 𝑎! 𝑡 $ 2

𝑥" = 𝑥# +

𝑣!" $ = 𝑣!# $ + 2𝑎! 𝑥" − 𝑥#

Información que se conoce por la ecuación Velocidad como función del tiempo Posición como función de velocidad y tiempo Posición como función del tiempo Velocidad como función de la posición

Nótese que el movimiento es a lo largo del eje 𝑋.

16

Se debe reconocer que las cantidades que varían durante el movimiento son la posición 𝑥$ , la velocidad 𝑣!$ y el tiempo 𝑡.

Se debe recordar que estas ecuaciones no se pueden usar en una situación en que la aceleración varía con el tiempo. Son útiles sólo cuando la acel aceleraci eraci eración ón es constant constante e.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (𝑎! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) No. 1 2 3 4

Ecuación 𝑣!" = 𝑣!# + 𝑎! 𝑡 1 𝑣 + 𝑣!" 𝑡 2 !# 1 𝑥" = 𝑥# + 𝑣!# 𝑡 + 𝑎! 𝑡 $ 2

𝑥" = 𝑥# +

𝑣!" $ = 𝑣!# $ + 2𝑎! 𝑥" − 𝑥#

Información que se conoce por la ecuación Velocidad como función del tiempo Posición como función de velocidad y tiempo Posición como función del tiempo Velocidad como función de la posición

Nótese que el movimiento es a lo largo del eje 𝑋.

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Ejerci Ejercicio: cio:

Un jet aterriza en un portaaviones a 140 #%⁄' ~63 #⁄( . a)

b)

¿Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2 𝑠 debido a un cable de arresto que traba al jet y lo deja en reposo?

Si el jet toca al portaaviones en la posición 𝑥% = 0, ¿cuál es su posición final?

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Soluci Solución: ón: a)

Puesto que la aceleración del jet se supone constante, se le representa como una partícula bajo MRUV. El eje 𝑋 se define como la dirección de movimiento del jet. De acuerdo a la información del problema se tiene que: 𝑣!% = 63 𝑚⁄𝑠 𝑣!$ = 0

Si se conoce que:

𝑡 = 2𝑠

𝑣!$ = 𝑣!% + 𝑎! 𝑡 𝑣!$ − 𝑣!% 0 − 63 𝑚⁄𝑠 = → 𝑎! = = −31.5𝑚 >𝑠 & 𝑡 2𝑠

19

b)

Se conoce que:

𝑥$ = 𝑥% +

1 𝑣 + 𝑣!$ 𝑡 2 !%

1 63 + 0 2𝑠 = 63𝑚 2 Si el jet recorre más allá de 63 m, puede caer al océano. La idea de usar cables de arresto para frenar a la aeronave que aterriza y permitirle aterrizar con seguridad en los barcos surgió en la primera Guerra Mundial. Los cables todavía son una parte vital de la operación de los modernos portaaviones. → 𝑥$ = 0𝑚 +

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¿Qué pasar pasaría ía si si? ?

Suponga que el jet aterriza en la cubierta del portaaviones con una rapidez mayor que 63 #⁄( pero tiene la misma aceleración debida al cable calculada en el literal (a). ¿Cómo cambiará esto la respuesta del literal (b)? Respu Respuest est esta: a:

Se tiene que:

Si:

𝑥$ = 𝑥% +

1 𝑣 + 𝑣!$ 𝑡 2 !%

𝑣!% > 63 𝑚⁄ 𝑠 → 𝑥$ > 63𝑚

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Ejerci Ejercicio: cio:

Un automóvil que viaja con una rapidez constante de 45 #⁄( pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su escondite para detener al automóvil, que acelera con una relación constante de 3 #⁄(0. ¿Cuánto tiempo tarda en dar alcance al automóvil?

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Soluci Solución: ón:

Se conoce que el automóvil viaja con rapidez constante, es decir: 𝑣!) = 45 𝑚⁄𝑠 𝑎!) = 0 El patrullero empieza a moverse 1 𝑠 después que el auto pasa por le punto A y su movimiento es MRUV, es decir: 𝑎!* = 3 𝑚>𝑠 & Por conveniencia se considera el origen de coordenadas en el punto B.

𝐴

𝐵 𝑡=0

𝐶

23

Analizando los hechos entre la posición A y la posición B se puede ver que el auto ha recorrido: 𝑥%) = 𝑣!) 𝑡 = 45 𝑚⁄𝑠 1𝑠 = 45𝑚

𝐴

𝐵 𝑡=0

𝐶

Por lo tanto la posición final del auto viene dada por la ecuación: 𝑥$) = 𝑥%) + 𝑣!) 𝑡

→ 𝑥$) = 45 + 45𝑡

Por otro lado la posición del patrullero se puede determinar a partir de la ecuación: 24

1 & 𝑥$* = 𝑥%* + 𝑣!%* + 2 𝑎!* 𝑡 1 & → 𝑥$* = 2 3 𝑡 La posición del auto y del patrullero en el punto C deben ser las mismas, por lo tanto:

𝐴

𝐵 𝑡=0

𝐶

𝑥$) = 𝑥$*

𝑡=

45 + 45𝑡 = 1.5𝑡 & → 𝑡 & − 30𝑡 − 30 = 0

− −30 ±

−30 2

&

− 4 1 −30 25

30 ± 31.94 𝑡= 2 𝑡 = 30.97𝑠 →B + 𝑡& = −0.97𝑠

𝐴

𝐵 𝑡=0

𝐶

El tiempo no puede ser negativo, por lo tanto: 𝑡 = 30.97𝑠 26

Caíd aída a libre libre:: Es bien sabido que, en ausencia de resistencia del aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad de la Tierra. No fue sino hasta alrededor de 1600 que se aceptó esta conclusión. Antes de esta época, las enseñanzas del filósofo griego Aristóteles sostenían que los objetos más pesados caían más rápido que los ligeros. El italiano Galileo Galilei originó las ideas actuales acerca de los objetos que caen. Galileo realizó muchos experimentos sobre objetos en movimiento en planos inclinados.

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En sus experimentos hacía rodar bolas por un plano ligeramente inclinado y medía las distancias que recorrían en intervalos de tiempo sucesivos. El propósito del plano inclinado era reducir la aceleración, lo que hizo posible que tomara mediciones precisas de los intervalos de tiempo. Al aumentar gradualmente la pendiente del plano, al final fue capaz de extraer conclusiones acerca de los objetos en caída libre, porque una bola en caída libre es equivalente a una bola que se mueve por un plano inclinado vertical. 28

Se puede intentar el siguiente experimento. Suelte simultáneamente, desde la misma altura, una pelota y un trozo de papel arrugado. Si los efectos de la resistencia del aire son despreciables, ambos tendrán el mismo movimiento y golpearán el suelo al mismo tiempo. En el caso idealizado, en el que la resistencia del aire está ausente, a tal movimiento se le refiere como movimiento en caída libre. Si este mismo experimento se pudiese realizar en un vacío, en el que la resistencia del aire realmente es despreciable, el papel y la pelota caerían con la misma aceleración aun cuando el papel no esté arrugado.

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Cuando se usa la expresión objeto en caída libre no necesariamente se hace referencia a un objeto que se suelta desde el reposo. Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos que se lanzan hacia arriba o abajo y los que se liberan desde el reposo están todos en caída libre una vez que se liberan. Cualquier objeto en caída libre experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, sin importar su movimiento inicial.

30

La magnitud de la aceleración de caída libre se denota mediante el símbolo 𝑔. El valor de 𝑔 cerca de la superficie de la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. Además, ocurren ligeras variaciones en 𝑔 con cambios en latitud.

En la superficie de la Tierra, el valor de 𝑔 es aproximadamente 9.8# ⁄(0. A menos que se establezca de otro modo, se usa este valor para 𝑔 cuando se realizan cálculos. Para hacer estimaciones rápidas, se suele usar 𝑔 = 10 #⁄(0.

31

Si se ignora la resistencia del aire y se supone que la aceleración de caída libre no varía con la altitud en distancias verticales cortas, el movimiento de un objeto en caída libre que se mueve verticalmente es equivalente al movimiento de una partícula en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado o movimiento rectilíneo uniformemente variado y por tanto están regidos por las mismas ecuaciones y gráficas, teniendo en cuenta que: ￮

Se suele considerar el eje 𝑌, eje vertical, en lugar del 𝑋.

𝑌 𝑣"! = 0 𝑚⁄𝑠 𝑎" = −10 𝑚0 # 𝑠

𝑦!

ℎ

𝑋

32

￮

￮

￮

La aceleración, en la superficie de la Tierra, tiene un valor de 9.8# ⁄(0 aunque en ocasiones se aproxima a 10 #⁄(0. Se trata de la aceleración de la gravedad que suele designarse por la letra 𝑔. La posición inicial del cuerpo, 𝑦% , coincide con el valor de la altura ℎ. El cuerpo parte del reposo y por tanto la velocidad inicial del cuerpo 𝑣,% se considera cero.

𝑌 𝑣"! = 0 𝑚⁄𝑠 𝑎" = −10 𝑚0 # 𝑠

𝑦!

ℎ

𝑋

33

Ecuaciones cinemáticas para una partícula en caída libre (𝑎% = 𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) No.

Las ecuaciones para este movimiento son las que se muestran en la tabla

1

Ecuación 𝑣%" = 𝑣%# + 𝑎% 𝑡

Información que se conoce por la ecuación Velocidad como función del tiempo

2

𝑦" = 𝑦# +

1 𝑣 + 𝑣%" 𝑡 2 %#

Posición como función de velocidad y tiempo

3

1 𝑦" = 𝑦# + 𝑣%# 𝑡 + 𝑎% 𝑡 $ 2

Posición como función del tiempo

4

𝑣%" $ = 𝑣%# $ + 2𝑎% 𝑦" − 𝑦#

Velocidad como función de la posición

Nótese que el movimiento es a lo largo del eje 𝑌.

34

Ejerci Ejercicio: cio:

A una piedra que se lanza desde lo alto de un edificio (A) se le da una velocidad inicial de 𝑣,% = 20 #⁄ ( directo hacia arriba. El edificio tiene 50 𝑚 de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la figura. a)

b)

Si a 𝑡 = 0 la piedra deja la mano del lanzador en la posición A, determine el tiempo en el que la piedra llega a su altura máxima.

Encuentre la altura máxima de la piedra. 35

c)

Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se lanzó.

d)

Encuentre la velocidad y posición de la piedra en 𝑡 = 5 𝑠.

36

Soluci Solución: ón: a)

Se analiza el movimiento entre A y B, se conoce que en A: 𝑣,% = +20 𝑚⁄ 𝑠 𝑡- = 0𝑠 → I 𝑎, = −10 𝑚> 𝑠 &

𝑌 𝑋

Se conoce que en B:

𝑣,$ = 0 𝑚⁄ 𝑠 𝑡. =? → I 𝑎, = −10 𝑚> 𝑠 &

Por lo tanto entre A y B se tiene que: 𝑣,$ = 𝑣,% + 𝑎, 𝑡.

37

𝑚 − 20 𝑚⁄ 𝑠 𝑠 = 2𝑠 ⁄ −10 0 𝑚> → 𝑡. = & = 𝑠 𝑎, b) Para encontrar la altura máxima alcanzada por la piedra se tiene que: 1 𝑦$ = 𝑦#)! = 𝑦% + 𝑣,% 𝑡 + 𝑎, 𝑡 & 2 1 → 𝑦#)! = 0 + 20 𝑚⁄𝑠 2𝑠 + −10 𝑚> & 2𝑠 𝑠 2 𝑦#)! = 20𝑚 𝑣,$ − 𝑣,%

b)

𝑌 𝑋

&

Se analiza el movimiento entre B y C, se tiene que en C: 38

𝑚 𝑠 ⁄> & =0 𝑚 𝑎, 𝑣=,% −10 𝑠 𝑡. = 2𝑠 → 𝑦% = 20𝑚 𝑎, = −10 𝑚> 𝑠 & 𝑡/ = 4𝑠 → K 𝑦$ = 0𝑚

𝑌 𝑋

Por lo tanto:

𝑣,$ & = 𝑣,% & + 2𝑎, 𝑦$ − 𝑦%

→ 𝑣,$ & = 0 + 2 −10 𝑚> 𝑠 & 𝑣,$ = −20 𝑚⁄ 𝑠

0 − 20𝑚 39

Cuando se saca la raíz cuadrada, se elige entre una raíz positiva o una negativa. Se elige la raíz negativa porque se sabe que la piedra se mueve hacia abajo al punto C. Se debe notar que la velocidad de la piedra cuando llega de vuelta a su altura original es igual en magnitud a su velocidad inicial pero es opuesta en dirección. d)

Se analiza el movimiento entre C y D, se conoce que: 𝑣,% = −20 𝑚⁄ 𝑠 𝑡/ = 4𝑠 → 𝑎, = −10 𝑚> 𝑠 & 𝑦% = 0𝑚

𝑌 𝑋

40

𝑡0 = 5𝑠 → L𝑎, = −10 𝑚> & 𝑠

Por lo tanto:

𝑣,$ = 𝑣,% + 𝑎, 𝑡

𝑣,$ = −20 𝑚⁄ 𝑠 + −10 𝑚> & 1𝑠 = −30 𝑚⁄𝑠 𝑠 Por otro lado se conoce que: 1 𝑦$ = 𝑦% + 𝑣,% 𝑡 + 𝑎, 𝑡 & 2 1 𝑚 ⁄ −10 𝑚> & 1𝑠 & 1𝑠 + 𝑦$ = 0 + −20 𝑠 𝑠 2 𝑦$ = −25𝑚

𝑌 𝑋

41

Ejerci Ejercicio: cio:

Un niño pide un deseo delante de un pozo y lanza una moneda a su interior. Después de 3 s escucha como choca contra el agua. Sabiendo que se trata de un movimiento de caída libre y despreciando el tiempo en que el sonido tarda en llegar a los oídos del niño, ¿podría responder a las siguientes preguntas? a)

¿Con que velocidad llegó la moneda al agua?

b)

¿Cuál es la profundidad del pozo?

𝑌 𝑋

ℎ

42

Soluci Solución: ón:

Se conoce que:

a)

𝑣,% = 0 𝑎, = −10 𝑚> 𝑠 & 𝑡 = 3𝑠

𝑋

De acuerdo al movimiento de caída libre se conoce que: 𝑣,$ = 𝑣,% + 𝑎, 𝑡

b)

𝑌

𝑣,$ = 0 + −10 3 → 𝑣,$ = −30 𝑚⁄ 𝑠

Se conoce también que:

ℎ

43

1 𝑦$ = 𝑦% + 𝑣,% 𝑡 + 𝑎, 𝑡 & 2 1 −ℎ = 0 + 0 + −10 3 2 → ℎ = 45𝑚

𝑌 𝑋

&

ℎ

44...