26 - Breve riassunto, dinamica relativistica PDF

Preview

Summary

Breve riassunto, dinamica relativistica...

Description

Dinamica Relativistica Dal fattore di Lorentz alla relazione massa energia

Costanza della velocità della luce La formula precedente (*) esprime la velocità di un oggetto nel sistema S’ che si muove con velocità v0 rispetto al sistema S. Dal che risulta che se l’oggetto nel sistema S si muove con velocità v = c avremo ancora v’ = c per qualunque valore di v0.

c − v0 c − v0 v' = =c =c v0c c − v0 1− 2 c La velocità della luce è uguale in ogni sistema di riferimento inerziale

Le traformazioni di Lorentz sono compatibili con entrambi i postulati della relatività ristretta

Fattore di Lorentz x’ = x – vt x = x’ +vt

Galileo

Lorentz

x’ = γ (x – vt) x = γ (x’ +vt’)

Le trasformazioni di Lorentz dovranno permettere alla velocità della luce c di essere uguale per entrambi i sistemi di riferimento S e S’. Se l’evento E1 (generazione di un lampo) avviene quando i sistemi coincidono, quindi x = x’ = 0 e t = t’ = 0; allora l’osservazione del lampo (evento E2) avviene nel punto x = ct in S, e nel punto x’= ct’ in S’. In formule: ct’ = γ(ct-vt) = γt(c-v)

ct = γ(ct’+vt’) = γ t’(c+v)

c 2tt' = γ 2tt' ( c − v)( c + v) c 2 = γ 2 (c 2 − v 2 )

γ=

1 1−v2 / c2

=

1 1− β 2

Trasformazioni di Lorentz per moti in qualunque direzione v dx dt dy vy = dt dz vz = dt vx =

Le

derivate

dx' vx − v0 = , dt v02 1− 2 c

dx' dx' dt ' = ( ) /( ) dt ' dt dt dy' dy' dt ' = ( ) /( ) v' y' = dt ' dt dt dz' dz ' dt ' = ( ) /( ) v'z ' = dt ' dt dt v' x' =

delle

trasformazioni

dy' dy = = vy , dt dt

v x − v0 v' x ' = , 1 − v0vx / c 2

di

Lorentz

dz ' dz = = vz , dt dt

v y 1 − v02 / c 2 v ' y' = , 1− v0v x / c 2

dt ' 1 − v0vx / c 2 = dt v02 1− 2 c v' z ' =

vz 1 − v02 / c 2 1 − v0v x / c 2

quindi

Non$invarianza$dell’accelerazione/ Dalle equazioni di trasformazione delle velocità si derivano le equazioni di trasformazione delle eccelerazioni: ax = dvx/dt

a ' x' = a x

a’x’ = dv’x’/dt’

3

(1 − v / c ) (1 − v v / c ) 2 0

2

2

2 3

0 x

Quindi contrariamente a quello che si osserva nelle trasformazioni galileiane l’accelerazione non è invariante, per sistemi di riferimento inerziali, ma dipende dal sistema di riferimento e deve quindi essere modificata per soddisfare il principio di relatività

Dilatazione del Tempo •  Supponiamo di avere una scatola, il sistema S’, di lunghezza l con uno specchio e una sorgente di luce situati ai lati opposti. •  Il lampo di luce che parte dalla sorgente per arrivare allo specchio e tornare indietro ci impiega un tempo proprio pari a: Δ t0 = 2l/c. •  Misurando il tempo da un sistema di riferimento S in moto inerziale con velocità v0 noteremo che il tempo impiegato, dal lampo di luce, deve tener conto dello spazio v0Δt che la scatola ha percorso e pertanto sarà maggiore quanto maggiore è v0.

Δt =

2 l + (vΔt / 2 ) c

c (Δt ) = 4l + v (Δt ) 2

2

Si noti che sia per Δt0 che per Δt si è fatto il rapporto fra lunghezze e velocità c, rispettando la costanza di c. Secondo principio della relatività

2

2

2

2

2

(Δt )

2

฀฀ 4l 2 4l 2 ฀฀ 1 ฀฀ = 2 2 = 2 ฀฀ 2 2 ฀฀ c −v c ฀฀ v c − 1 ฀฀ ฀฀

Δt = Δt0 / 1 − β 2

Sfasamento di due orologi Supponendo di avere due orologi in due punti diversi dello spazio S: uno in xA e il secondo in xB, che segnano lo stesso tempo. Per un osservatore in S’ gli orologi saranno sfasati:

t'A =

t − v0 xA / c 1−β 2

e il secondo orologgio t 'B =

t − v0 xB / c 1− β 2

E lo sfasamento temporale è dato da:

Δt ' = t ' B −t ' A =

xA − xB v0 2 1− β 2 c

Due eventi contemporanei, posti in punti diversi di un sistema S, sono sfasati nel tempo se misurati nel sistema S’ che si muova con velocità costante v0 rispetto ad S (conferma dell’esempio del vagone per il calcolo della simultaneità)

Contrazione dello spazio •  Un regolo, in quiete nel sistema S’, avrà le sue estremità nei punti x’A e x’B e la sua lunghezza propria sarà l0 = x’A – x’B. •  Nel sistema S la lunghezza sarà l = xA – xB, ma se S’ si muove con velocita’ v0 rispetto a S per determinare la sua lunghezza bisognerà usare le trasformazione di Lorentz. •  La lunghezza del regolo, che in S’ vale l0, misurata da un osservatore in S sarà:

x A − xB =

x' A −v0 t' 1− β 2

−

x'B −v0t ' 1− β 2

l = l0 1− β 2 =

= l0

γ

x 'A − x 'B 1− β 2

Lo spazio-tempo di Minkowski Lo#spazio#di#Minkowski#ovvero#il# quadrive4ore#spazio5tempo#è#formato#da# qua4ro#dimensioni#e#il#tempo#è#complesso#(x,# y,#z,#ict).## La quantità (x2+y2+z2-c2t2) è la lunghezza di un intervallo spazio-tempo ed è invariante per qualunque trasformazione di Lorentz. L’equazione x2+y2+z2=c2t2 è il luogo geometrico dei punti di una sfera nello spazio quadridimensionale. Come una rotazione del vettore posizione modifica le componenti dello spazio reale, ma lascia invariato il modulo; cosi le trasformazioni di Lorentz, modificano le componenti del quadrivettore, ma lasciano invariato l’intervallo spazio-tempo

Componenti della velocità §฀ ##La#dilatazione#dei#tempi#e#le#contrazioni#delle#lunghezze#porterebbero# a#dei#paradossi#se#non#ci#si#affre4asse#a#ridefinire#i#conceF#di#m,#mv#ed#E# che#sono#alla#base#della#dinamica#classica.# §฀ ##Abbiamo#visto#che#per#effe4o#della#costanza#della#velocità#della#luce,#e# la#conseguente#mescolanza#dello#spazio#e#del#tempo,#anche#le# componenI#perpendicolari#a#vx,#cioè#vy#e#vz#subiscono#delle#variazioni# nelle#trasformazioni.# §฀ ##Abbiamo#concluso#che#le#trasformazioni#di#Lorentz#sono#quelle# corre4e#che#comprendono#le#trasformazioni#galileiane#come#caso#limite# per#velocità#lontano#da#c.# §฀ #Ci#resta#di#trovare#le#nuove#relazioni#che#generalizzando#le#leggi# classiche#di#Newton#sono#anche#covarianI#so4o#trasformazioni#di# Lorentz.#(principio#di#corrispondenza)#

Dinamica$rela2vis2ca/ • Analizzeremo in qualche dettaglio: la quantità di moto, la massa e l’energia partendo dalle trasformazioni delle componenti della velocità nel caso relativistico viste precedentemente. Ricordando γ = vx =

v ' x ' + v0 , 2 v v c 1+ 'x ' 0 /

1 1 −β

2

vy =

si avrà : v' y '

γ (1 + v' x ' v0 / c 2 )

,

vz =

v 'z ' γ (1 + v' x' v0 / c2 )

“Conservazione della quantità di moto” in un urto frontale •  Nel sistema S consideriamo una particella m che viaggi con velocità 3V e colpisca un particella ferma 2m. Sistema S Sistema S’ •  Dopo l’urto (centrale) le particelle avranno una velocità -V e 2V. •  Se si considera il sistema del centro di massa S’, prima dello urto, m avrà velocità 2V e 2m avrà velocità –V. •  Dopo l’urto, nel sistema S’ le particelle, m e 2m, avranno rispettivamente velocità -2V e V. •  Ritornando al sistema di osservazione solidale con la massa 2m applicando la trasformazione relativistica avremo che la conservazione della quantità di moto dovrà essere ridefinita. Seguiamone i calcoli:

Trasformazioni della quantità di moto, p secondo Lorentz Supponiamo di dover descrivere la conservazione della quantità di moto p, dopo un urto, in sistemi di riferimento diversi S e S’ avremo Trasformiamo le velocità nel sistema S applicando, invece della trasformazione Galileiana v = v’ + V, le trasformazioni di Lorentz e avremo: u1 =

3V u' 1 + v c v '1 +vc V , e v = = = − 1 1 + u '1 v c / c 2 1+ 2 β 2 1 + v'1 v c / c 2 1 − 2β 2

u2 =

2V u '2 +v c v ' 2 +v c = = = 0 , e v 2 1+ u '2 v c / c 2 1 + v'2 v c / c 2 1 + 2 β 2

per la meccanica classica pi = p f mu 1 = mv 1 + 2mv 2 ovvero

3mV 4mV mV + =− 2 2 1+ 2 β 1− 2β 1+ 2 β 2

Una nuova definizione della “quantità di moto” mV 3mV 4mV = − + 1+ 2β 2 1 − 2β 2 1 + 2β 2 β

0,1

0,2

0,3

0,4

pi

2,94

2,78

2,54

2.27

pf

2,90

2,76

2,45

1.98

Per garantire la validità della conservazione della quantità di moto serve una nuova definizione di p che valga anche per velocità relativistiche.

•  Questa relazione è verificata solo per

casi in cui β è piccolo, cioè per basse velocità relative. •  La tabella mostra che già per β < 0,3 (velocità 0,5 0,6 inferiori al 20% di c) le 2.00 1.74 quantità di moto iniziale e finale hanno una 1.20 -.63 discrepanza del 3.6%.

! p=

! m0 v

1 − v2 c2

! = γ v m0 v

La dilatazione temporale: significato di γv Il fattore γ è il fattore di dilatazione temporale ottenuto facendo il rapporto, dt/dτ, fra il tempo dell’osservatore dt (sistema S) e il tempo proprio dτ. Il tempo proprio è il tempo misurato nel sistema S’ che si muove con il punto materiale alla velocità v. Quindi il momento sarà p = γv m0dr/dt = m0 dr/dτ

1

dt γv = = 2 dτ 1-β 2 v dove β 2 = 2 c La curva confronta le espressioni della quantità di moto per il caso classico e relativistico

Massa relativistica ! p=

! mu

!

= γmu •  Perché è impossibile far viaggiare un 2 2 1− v c corpo alla velocità della luce.? Perché, dall’equazione della quantità di m0 moto relativistica abbiamo: p = γ mu m= 2 Ovvero p è il prodotto della velocità v per la 2 − 1 v c massa relativistica: •  Per velocità v crescenti, v à฀ c, il denominatore della frazione tende a 0 ovvero la massa relativistica tende all’infinito. •  Il lavoro fatto dalla forza applicata al corpo di massa m non imprimerà una accelerazione continua, piuttosto parte dell’energia applicata verrà utilizzata per aumentarne la massa

Gedankenexperiment/ •  Nel caso classico fornendo continuamente lavoro ad un corpo si aumenta la sua energia. •  Nel caso relativistico, quando la velocità tende a c, l’energia non va più ad aumentare la velocità, ma … aumenta la massa. Facciamo un esperimento mentale •  In una scatola, di lunghezza L e massa M, un lampo lascia una parete e si dirige verso la parete opposta. •  La luce di energia E ha una quantità di moto pari a p = E/c. •  Per conservare la sua quantità di moto la scatola rincula con una velocità u, tale che Mu = E/c

segue$Gedankenexperiment/ •  Per la conservazione di p sarà u = E/cM •  Inoltre la luce si propagherà nella scatola impiegando un tempo che al massimo sarà Δt = L/c. EL Δx = uΔt = •  Siccome u...