28 limite de funciones ok PDF

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Límites.) 1) Matemáticas)(A.)Cristina)Ruiz)García))

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN en un punto a es el valor al que se acerca la imagen (variable y) cuando la x se acerca a un valor dado (a):

lim f (x) x→a

Límite lateral por la derecha de la función f en el punto a es el valor al que se acerca la imagen (variable y) cuando la x se acerca al valor a por su derecha: lim f x →a +

Límite lateral por la izquierda de la función f en el punto a es el valor al que se acerca la imagen (variable y) cuando la x se acerca al valor a por su izquierda: lim f x →a −

Teorema de existencia de límite: una función f tiene límite en el punto a si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden: lim f (x) = lim f = lim f x→a

x →a +

x →a −

Cálculo de límites si me dan la expresión matemática de la función: sustituyo en la función el valor de x que me dan. En algunas ocasiones, al intentar calcular los límites pueden aparecer expresiones de la forma k/0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0.∞, 1∞, … Tendremos que utilizar otros recursos para calcular estas indeterminaciones. NOTA: lim f (x ) = lim f (−x ) x →−∞ x →∞ Resolución de indeterminaciones: 1. TIPO k/0, con k≠0 Dará como solución ∞, -∞ ó no existe límite. Se calcula hallando los límites laterales. 2. TIPO 0/0 • Cuando la función es fraccionaria: se factoriza numerador y denominador (sacar factor común, productos notables o Ruffini), se simplifica y se vuelve a sustituir el valor. • Cuando la función contiene raíces cuadradas: se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión que contiene raíces, se opera, se simplifica y se sustituye de nuevo el valor. 3. TIPO ± ∞/∞ • Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, la solución es ∞ o -∞ (“depende del signo del coeficiente de la variable independiente de mayor grado TANTO DEL NUMERADOR COMO DEL DENOMINADOR”). • Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la solución es 0.

2) Límites.) Matemáticas)(A.)Cristina)Ruiz)García))

• Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador, la solución es el cociente de los coeficientes que acompañan al mayor grado. 4. TIPO ∞-∞ • Cuando la función es una diferencia de funciones racionales: se opera para que nos quede una sola fracción (haciendo mcm de los denominadores – para ello hay que factorizarlos previamente) , se simplifica y se vuelve a sustituir el valor. • Cuando la función contiene raíces cuadradas: se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que contiene raíces, se opera, se simplifica y se sustituye de nuevo el valor. 5. TIPO 1∞ Hay que calcular

lim f

g

=

e

[ f −1]g lim x→ a

(ver nota a pie de página para ejemplos de este tipo)

x→a

6. TIPO 0.∞ se opera, se simplifica y se sustituye de nuevo el valor. CONTINUIDAD una función f(x) es continua en el punto x=a si cumple lim f = lim f = f ( a) x→ a+

x→ a−

Tipos de discontinuidades: • DISCONTINUIDAD EVITABLE en x=a si se cumple lim f = lim f ≠ f ( a) x→ a+

x→ a −

• DISCONTINUIDAD DE 1ª ESPECIE en x=a: a) Salto finito: cuando los límites laterales existen pero no coinciden

lim f ≠ lim f , x→ a+

x→a −

siendo ambos límites números reales. Tamaño del salto = / lim f − lim f / x →a +

x →a −

b) Salto infinito: cuando los límites laterales existen pero no coinciden

lim f ≠ lim f , x→ a+

x→a −

siendo alguno de ellos infinitos. • DISCONTINUIDAD DE 2ª ESPECIE en x=a: alguno de los límites laterales no existe.

DERIVABILIDAD una función f(x) es derivable en el punto x=a si cumple lim f = lim f = f ( a) y x→ a+

´

lim f = lim f x→a+

x→a−

´

´

= f (a) , es decir si es continua f y f´ en x=a

x→ a −...