2.ELT Elementi Circuitali PDF

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ELEMENTI CIRCUITALI Gli elementi circuitali più semplici sono quelli dotati di 2 terminali, conosciuti come bipoli (in inglese one-port). Generatore di tensione ideale

è in grado di fornire quantità di energia infinita.

Generatore di corrente ideale La potenza di un componente è calcolata come Le leggi di Kirchhoff non considerano I componenti del circuito, in particolare i materiali di cui sono costituiti. Essi manifestano, in misura maggiore o minore la proprietà di opporsi al flusso di cariche, detta resistenza. La resistenza di un materiale di lunghezza l e sezione A è:

dove ρ è la resistività. L’elemento circuitale usato per rappresentare il fenomeno della resistenza è il resistore. La legge di Ohm afferma che la tensione v su un resistore è direttamente proporzionale alla corrente i che scorre nel resistore.

Un corto circuito è un elemento la cui resistenza tende a 0. Un circuito aperto è un elemento la cui resistenza tende all’infinito. Un corto circuito può anche essere visto come un generatore di tensione nello e un circuito aperto come un generatore di corrente nullo. L’inverso della resistenza è la conduttanza, cioè la capacità di un elemento di condurre corrente elettrica. La potenza dissipata da un resistore può essere espressa in termini di R e G:

- la potenza dissipata in un resistore è una funzione non lineare della corrente o della tensione. - poichè R e G sono quantità positive, la potenza dissipata da un resistore è sempre positiva. Un resistore assorbe quindi sempre potenza dal circuito. Ciò conferma l’idea del resistore come elemento passivo, incapace di erogare energia.

Resistori in serie I due resistori sono percorsi dalla stessa corrente i. Applichiamo ad ognuno la legge di Ohm:

Applicando la KVL alla maglia (senso orario) si ha:

In generale quindi: Resistori in parallelo Applichiamo la KCL

I resistori collegati in parallelo avranno la stessa tensione Legge di Ohm:

In generale

Generatori di tensione in serie Applicando la KVL si può ottenere la tensione totale. Essa è la somma algebrica delle tensioni dei singoli generatori.

Se i due generatori di tensione avessero verso opposto si annullerebbero. Generatori di corrente in parallelo Applicando la KCL si trova la corrente complessiva

Per quanto riguarda la tensione

Generatore di tensione in parallelo con resistore

Il collegamento in parallelo di un generatore di tensione ideale indipendente con qualsiasi altro bipolo equivale, ai morsetti esterni, al solo generatore di tensione. Questo vale per qualsiasi bipolo Generatore di corrente in serie con resistore

Per dualità, rispetto al caso sopra, ai morsetti esterni questo sistema equivarrà a un generatore di corrente. Questo vale per qualsiasi bipolo

Un generatore ideale dipendente (o pilotato) è un elemento attivo la cui tensione o corrente è controllata da un’altra tensione o corrente. Esistono quattro tipi di generatore dipendente: 1.

VCVS

2.

CCVS

3. G

4.

e VCCS

CCCS

Esempio Calcolare la potenza assorbita da ciascuno degli elementi del circuito.

A Un biporta (2-port) è una rete elettrica avente due porte diverse, una di ingresso e l’altra di uscita. Rappresentazione implicita dei biporta I biporta, se ben posti, sono descritti da due relazioni linearmente indipendenti:

Ciò può essere scritto in forma matriciale: Dove: Rappresentazione esplicita dei biporta La rappresentazione solidità lega tra loro due variabili di porta alle altre sue. Sono possibili sei diverse rappresentazioni esplicite. Un biporta può venire pilotato in tensione o in corrente. É possible scrivere una relazione fra i favori delle tensioni ai terminali e i fasori delle correnti nella forma

Scriviamola in forma matriciale

parametri resistenza, si ottengono ponendo in circuito aperto la porta di ingresso o quella di uscita. In particolare: - r₁₁ = resistenza d’ingresso a circuito aperto - r₁₂ = resistenza di trasferimento a circuito aperto dalla porta 2 alla porta 1 - r₂₁ = resistenza di trasferimento a circuito aperto dalla porta 1 alla porta 2 - r₂₂ = resistenza di uscita a circuito aperto r₁₁ e r₂₂ sono dette autoresistenze, cioè resistenze d’ingresso di un dispositivo a due terminali. r₁₂ e r₂₂ sono dette transresistenze. Un biporta che ha r₁₁=r₂₂ e r₁₂=r₂₂ è detto simmetrico (è possibile trovare una linea che divide il circuito in due parti). Invece un biporta che ha le transresistenze uguali è detto reciproco (scambiando un generatore di tensione e un amperometro si ha la stessa lettura di corrente). Per alcuni biporta I parametri R non esistono, come per il convertitore di potenza ideale, per il quale non è possibile esprimere le tensioni in termini delle correnti, o viceversa.

Esempio Determinare i parametri R del circuito Il circuito in figura è un biporta. I parametri da trovare sono r₁₁, r₁₂, r₂₁ e r₂₂. Per determinare r₁₁ e r₂₁ è necessario porre un generatore di tensione sulla porta 1, lasciando il circuito aperto sulla porta 2:

Per determinare r₂₂ e r₂₁ è necessario porre un generatore di tensione sulla porta 2, lasciando il circuito aperto sulla porta 1:

Quindi:

Parametri conduttanza Un altro tipo di parametri sono quelli che si ottengono esprimenti le correnti alle due porte in funzione delle tensioni ai terminali delle porte:

In forma matriciale:

I parametri conduttanza sono ottenuti mettendo in corto circuito la porta d’ingresso o quella d’uscita. In particolare sono: - g₁₁ = conduttanza d’ingresso in corto circuito - g₁₂ = conduttanza di trasferimento in corto circuito dalla porta 2 alla porta 1 - g₂₁ = conduttanza di trasferimento in corto circuito dalla porta 1 alla porta 2 - g₂₂ = conduttanza di uscita in corto circuito Esempio Determinare i parametri G per il biporta. I parametri da determinare sono g₁₁, g₁₂, g₂₁ e g₂₂. Per g₁₁ e g₂₁ cortocircuitiamo la porta 2 e inseriamo un generatore di corrente nella porta 1:

Per g₂₂ e g₁₁ cortocircuitiamo la porta 1 e inseriamo un generatore di corrente nella porta 2:

i Non è sempre possibile determinare i parametri R e G di un biporta. Introduciamo un terzo insieme che considera v₁ e i₂ come variabili dipendenti:

In forma matriciale:

I termini h sono detti parametri ibridi, essi si determinano come:

Essi rappresentano: - h₁₁ = resistenza di ingresso in corto circuito - h₁₂ = guadagno di tensione in verso in circuito aperto - h₂₁ = guadagno di corrente diretto in corto circuito - h₂₂ = conduttanza di uscita in circuito aperto Per determinare questi parametri si pone a una porta un generatore di tensione o di corrente e si pone l’altra in corto circuito o circuito aperto. Un insieme di parametri strettamente legato ai parametri H sono i parametri H’ (parametri ibridi inversi), dalle relazioni:

I parametri ibridi inversi hanno le denominazioni: - h₁₁’ = conduttanza di ingresso in circuito aperto - h₁₂’ = guadagno di corrente inverso in corto circuito - h₂₁’ = guadagno di tensione diretto in circuito aperto - h₂₂’ = resistenza in uscita in corto circuito ! Simbologia alternativa Esempio Determinare i parametri ibridi per il biporta in figura

e Un altro tipo di insieme di parametri mette in relazione le variabili alla porta di ingresso con quelle alla porta di uscita:

I parametri di trasmissione assumono le seguenti denominazioni: - t₁₁ = rapporto di tensioni in circuito aperto - t₁₂ = resistenza di trasferimento negativa in corto circuito - t₂₁ = conduttanza di trasferimento in circuito aperto - t₂₂ = rapporto di correnti negativo in corto circuito Un insieme di parametri strettamente collegato a questo è quello dei parametri di trasmissione inversi T’:

I parametri di trasmissione inversi assumono le seguenti denominazioni: - t₁₁’ = guadagno in tensione in circuito aperto - t₁₂’ = resistenza di trasferimento negativa di corto circuito - t₂₁’ = conduttanza di trasferimento in circuito aperto - t₂₂’ = guadagno di corrente negativo di corto circuito Esempio Determinare i parametri di trasmissione per il biporta in figura.

Determiniamo t₁₁ e t₂₁ lasciando in circuito aperto la porta d’uscita e inserendo un generatore di tensione nella porta d’ingresso.

Determiniamo t₂₂ e t₁₂ si pone in corto circuito la porta d’uscita e si collega un generatore di tensione alla porta d’ingresso.

Legame tra rappresentazione implicita ed esplicita Riconsideriamo la rappresentazione implicita:

Sappiamo che:

Riscriviamo la forma implicita:

A Passività Affinchè un n-porta sia passivo devo avere

La potenza è Consideriamo un bipolo

Chiamo la matrice considerata A e i due vettori intensità e tensione x e y:

Vediamo delle proprietà della forma quadratica

Semplicemente passivo quando P>0 Unidirezionalità Consideriamo un bipolo generico:

Se r₁₂=0 oppure r₂₁=0 il bipolo si dice unidirezionale. L’ unidirezionalità è quindi data da matrici R, G, H’, H’’ triangolari.

Reciprocità

Se R corrisponde a un biporta simmetrico allora è anche reciproco.

Teorema di reciprocità Qualsiasi doppio bipolo costituito solo con bipoli è reciproco. I biporta possono essere considerati come blocchi costruttivi di un circuito complesso. Essi possono essere collegati tra di loro con collegamenti in serie, in parallelo o in cascata. Per biporta collegati in serie (1) i parametri R risultanti sono dati dalla somma dei parametri delle due matrici R. Per i biporta collegati in parallelo (2) i parametri G risultanti sono dati dalla somma dei parametri G dei due biporta. Per i biporta collegati in cascata (3) i parametri T’ risultanti sono dati dal prodotto dei parametri T’ dei due biporta.

Analizziamo ora i “collegamenti misti”:...