2.längerfristige aufgabe PDF

Preview

Summary

2. längerfristige Hausaufgabe zu den Lernumgebungen ...

Description

2. Längerfristige Hausaufgabe WiSe 2018/19

Arithmetik in der Grundschule I

Übungsstunde bei

Lehramt GS, Mathematik DF Inhaltsverzeichnis 1. Prüfung zweier Lernumgebungen nach Hirt und Wälti 1.1. Lernumgebung Logik 1.2. Lernumgebung Eiskaufen

2. Vorstellung selbst erarbeiteter Lernumgebungen 2.1. Vorstellung der Lernumgebung Logik 2.2. Vorstellung der Lernumgebung Eiskaufen

3. Beurteilung zweier fremd vorgestellter Lernumgebungen 3.1. Lernumgebung Quadratzahlen 3.2. Lernumgebung größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches (ggT und kgV)

4. Unterrichtsentwürfe zweier Lernumgebungen 4.1. Unterrichtsstunde zur Lernumgebung Eiskaufen 4.2. Unterrichtsstunde zur Lernumgebung größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches (ggT und kgV)

5. Anhang: Plakate 5.1. Vorstellungsplakat zur Lernumgebung Logik 5.2. Vorstellungsplakat zur Lernumgebung

1. Prüfung zweier Lernumgebungen nach Hirt / Wälti Im folgenden Kapitel sollen die Lernumgebungen Logik und Eiskaufen nach Ihrer Eignung für Studierende im analogen Sinn nach den aufgestellten Kriterien von Hirt und Wälti geprüft werden.

1.1. Lernumgebung Logik

A) Mathematische Substanz mit sichtbar verwendeten Strukturen und Mustern (=Fachliche Rahmung) Die Strukturen lassen sich an der ersten Aufgabe gut sichtbar machen. Nacheinander werden Fragen, die mit Bedingungen verknüpft sind, gestellt. Diese knüpfen aneinander an bzw. bauen aufeinander auf. Wenn man diesen Schritt für Schritt abarbeitet und löst, gelangt man kleinschrittig an die Lösung der Aufgabe. B) Orientierung an zentralen Inhalten Auch bei diesem Kriterium kann man erneut die erste Aufgabe als Beispiel heranziehen. Besonders in der Grundschule lernen die Kinder, mit der Uhr umzugehen und diese lesen und einstellen zu können. Mit der Uhrenaufgabe aus der Lernumgebung Logik wird ihnen damit eine Möglichkeit geboten dieses Wissen zu vertiefen und praktisch anzuwenden. Da die Anwendung und das damit verbundene logische Denken jedoch schon auf relativ abstrakter Ebene erfordert bzw. praktiziert wird, würde ich diese Aufgabe eher in der 3. / 4. Jahr-gangsstufe ansetzen. C) Hohes Kognitives Aktivierungspotential Da es sich um eine Logikaufgabe handelt, ist das kognitive Potential im gehobeneren Bereich. Die Kinder müssen sehr viel überlegen und meta- und kognitive Strategien finden, um die Aufgabe erfolgreich zu bewältigen. Insofern ist dieses Kriterium durch Logikaufgaben erfüllt. D) Orientierung der Tätigkeiten an mathematischen Inhalten und Prozessen Der Zusammenhang zwischen den aktuellen mathematischen Lerninhalten der Schüler und Schülerinnen ist dadurch gegeben, das diese am Beispiel der Uhrenaufgabe rechnen und mit den Uhrzeiten umgehen müssen können. E) Initiierung von Eigentätigkeiten aller Lernenden Das Kriterium wird dann erfüllt, wenn die SuS in kleinen Gruppen oder alleine an den Aufgaben arbeiten und dadurch alle Beteiligten dazu angeregt werden, mitzuarbeiten.

F) Förderung individueller Denk- und Lernwege sowie eigener Darstellungsformen Die Kinder werden bei diesem Kriterium dazu angeregt auf verschiedenen Denkwegen zu einem Ergebnis zu kommen. Da es bei Logikaufgaben nicht immer nur eine eindeutige Lösung geben muss, können die Schüler und Schülerinnen durch unterschiedliche Lösungsansätze zu einem oder mehreren Ergebnissen kommen, die alle oder zum Teil richtig sein können. G) Zugänglichkeit für alle Wenn man die richtige Jahrgangsstufe und die dazu angemessene Aufgabe wählt, kann man das Thema Logik durchaus für alle Schüler und Schülerinnen zugänglich machen. H) Herausforderung für schnell Lernende mit anspruchsvollen Aufgaben Da es sich bei dieser Lernumgebung um logisches Denken handelt, kann man den Schwierigkeitsgrad so setzen wie man es als Lehrer für angemessen hält und teilweise auch für einzelne Kinder variieren, sodass dieses Kriterium erfüllt wird. I) Ermöglichung des sozialen Austauschs und Kommunizierens über Mathematik Logikaufgaben können sowohl in kleinen Gruppen, wie auch in Partner- und Einzelarbeit gelöst werden, weswegen immer dir Möglichkeit besteht, sozialen Austausch und Kommunikation bzw. Interaktion zwischen den Kindern zu ermöglichen. Wenn die Lösung vorgestellt wird, kann man als Lehrkraft die verschiedenen Lösungsund Denkwege erfragen. Allein bei der Bearbeitung haben die Kinder schon die Möglichkeit sich über mathematische Inhalte und Strategien auszutauschen, sofern der Lehrer das zulässt und die Kinder nicht zur Stillarbeit veranlasst.

1.2. Lernumgebung Eiskaufen A) Mathematische Substanz mit sichtbar verwendeten Strukturen und Mustern (=Fachliche Rahmung) Durch ihren stochastischen Charakter lässt sich gut mit Rechenbäumen arbeiten, die eine klare Struktur darstellen. Auch dadurch, dass immer eine Option weniger zur Verfügung steht, wenn man eine Kugel verwendet hat, hängt das mathematische Rechenmuster zusammen und ist erkennbar. B) Orientierung an zentralen Inhalten Die Orientierung an zentralen Inhalten wird dadurch gegeben, dass die Kinder durch das Kombinieren verschiedener Möglichkeiten der Eistüten stochastische Inhalte und Methoden erlernen und praktizieren. C) Hohes Kognitives Aktivierungspotential Das kognitive Aktivierungspotential ist dadurch gegeben, dass die Kinder verschiedene Strategien entwickeln müssen, um zu prüfen, auf wie viele verschiedene Wege man die Eiskugeln anordnen könnte. Allerdings würde ich das Potential als eher niedrig und für die zweite Jahrgangsstufe ansetzen, da es sich nur um drei Sorten handelt und sie dadurch nur im kleinen Bereich operieren müssen. D) Orientierung der Tätigkeiten an mathematischen Inhalten und Prozessen Das Kriterium wird dadurch erfüllt, dass die Schüler und Schülerinnen mathematisch und strategisch clever kombinieren und stochastisch operieren müssen. Rein rechnerisch wird allerdings nur mit kleinen Beträgen jongliert, sodass die Eiskaufen Aufgabe hauptsächlich auf die stochastischen Fähigkeiten und E) Initiierung von Eigentätigkeiten aller Lernenden Die Lernumgebung Eiskaufen ist optimal dafür geeignet, die Kinder in Gruppen zusammen arbeiten zu lassen, sodass sich jeder Schüler beteiligen sollte. Man könnte den Kindern als Abwandlungsaufgabe eine Schnur mit drei verschiedenen Perlen bekommt und diese auf möglichst verschiedene Arten anordnen soll. So müsste jedes Kind aktiv Lösungsstrategien entwickeln und der (finanzielle) Aufwand der Lehrkraft wäre nicht zu hoch. F) Förderung individueller Denk- und Lernwege sowie eigener Darstellungsformen Dieses Kriterium ist bei dieser Lernumgebung erfüllt, da die Schüler und Schülerinnen erfahrungsgemäß verschiedene Strategien und Lösungsansätze finden. So ist es für manche Kinder das gleiche, ob zuerst Vanille und dann Schoko oder erst Schoko und dann Vanille auf die Waffel geschichtet wurde und für manche Kinder ist es ein Unterschied.

G) Zugänglichkeit für alle Das Kriterium der Zugänglichkeit ist besonders in der Grundschule definitiv gegeben, da wahrscheinlich jedes Kind bereits einmal Eis essen war und dies auch sehr gerne tut. So könnten die Schüler die besprochene Aufgabe im echten Leben sogar einmal nachmachen und sich vorher eine Reihenfolge ihrer Eistüte aussuchen und diese dann auch bestellen können. Die Lernumgebung passt folglich perfekt zur direkten Lebenswelt der Heranwachsenden. H) Herausforderung für schnell Lernende mit anspruchsvollen Aufgaben Die Aufgabe des Eiskaufens kann für überdurchschnittliche und auch unterdurchschnittliche Schüler gut abgewandelt auf das entsprechende Niveau umgemünzt werden. So kann man die Eistüte beispielsweise auf vier oder sogar fünf Sorten ergänzen oder auf nur zwei Sorten abschwächen. I) Ermöglichung des sozialen Austauschs und Kommunizierens über Mathematik Da sich die Eiskaufen-Aufgabe wie vorhin schon erwähnt optimal dafür eignet, sie als Gruppenaufgabe durchzuführen, steht dem sozialen Austausch über verschiedene Lösungsvorgänge und der interaktiven Komponente nichts mehr im Wege.

2. Vorstellung selbst erarbeiteter Lernumgebungen Auf den nachfolgenden Seiten sollen die selbsterarbeiteten Lernumgebungen vorgestellt werden. In meinem Fall handelt es sich hierbei um die Lernumgebung Logik bzw. Eiskaufen.

2.1. Lernumgebung Logik Zur Bearbeitung der Lernumgebung Logik haben wir uns in den Übungsstunden in zwei Gruppen aufgeteilt und gearbeitet. Die erste im Skript aufgeführte Aufgabe dreht sich um vier verschiedene Aufgaben, denen es verschiedene Eigenschaften zuzuordnen gilt. Darunter sind z.B. die Farben schwarz, rot, gelb und blau, sowie die Preise 30€, 45€, 50€ und 60€. Hinzu kommen die Uhrzeiten 3 Uhr, 6 Uhr, 7 Uhr und 11 Uhr. Hierzu stehen verschiedene Konditionssätze zur Verfügung, mit denen sich die Zuordnung Schritt für Schritt bewerkstelligen lässt. Zuerst sollte man sich hier alle Konditionen sorgfältig durchlesen und diese aufgrund von logisch erschlossenen Begründungen in eine bestimmte Reihenfolge bringen. Erst im nächsten Schritt kann man die verschiedenen Eigenschaften den entsprechenden Uhren zuteilen. Im Folgenden die korrekten Antworten:  Die erste Uhr ist rot, kostet 30€ und steht auf drei Uhr. Die zweite Uhr ist blau, kostet 60€ und ist auf sieben Uhr eingestellt. Die dritte Uhr ist gelb, kostet 45€ und steht auf sechs Uhr. Die vierte Uhr ist schwarz, kostet 50€ und ist auf elf Uhr eingestellt.

Aussage A Aussage B Aussage C B. hat es gestohlen. Ich war es nicht. Ich bin nicht der Dieb. Die zweite Aufgabe aus dem Skript dreht sich um einen Fahrraddiebstahl und wie man den Täter ausfindig machen kann. Hierzu stehen sich die Aussagen dreier Tatverdächtiger gegenüber unter der Bedingung, dass zwei der Aussagen gelogen sind und nur eine der Wahrheit entspricht.

Zur Lösung der Aufgabe wendet man das Ausschlusskriterium an. Geht man jede der drei Aussagen durch, erkennt man Widersprüche und folgert die dadurch richtige Lösung. Im Fall der oben geschilderten Aufgabe würde man also zu dem Entschluss kommen, dass Aussage A gelogen ist, da es sonst zwei Diebe gäbe (B und C) und

auch C lügt, da es sonst keinen einzigen Dieb gäbe. Somit wäre diesem Gedankengang zu Folge die richtige Lösung, dass B die Wahrheit sagt. Allerdings lässt die Frage viel Interpretationsspielraum, sodass auch Schüler und Schülerinnen zu verschiedenen Lösungsansätzen und Endergebnissen kommen würden. So ist der eben vorgestellte Fall meiner Meinung nach ein perfektes Beispiel für eine Logikaufgabe, die mehrere Lösungen und Ansätze zu lässt. Unter dieser Annahme lässt sich ein erstes Lernziel für die Schüler und Schülerinnen formulieren. Diese sollen lernen, dass nicht jeder Aufgabe ein systematisches „Frage-Rechnung-Lösung“ Format zu Grunde liegt und auch in der realen Lebenswelt der Kinder nicht immer ein konkretes Ergebnis zu erzielen ist. Jedoch kommt man dem Ziel der Problemlösung durch logisches Denken näher kommt und kann dieses oder eine andere Sachlage dadurch besser verstehen kann. Die Heranwachsenden sollen merken und verstehen, dass sie auf verschiedenen Wegen zum richtigen Ergebnis kommen können und, dass auch andere Lösungswege in Betracht zu ziehen sind. Die kognitiven und meta-kognitiven Fähigkeiten können durch Logik Aufgaben aktiv gefördert werden, sowie die geistigen Kompetenzen der Kinder. Grundlegend halte ich Logik-Aufgaben für jede Jahrgangsstufe der Grundschule geeignet, unter der Bedingung, dass das Anforderungsniveau an den entsprechenden Entwicklungs- und Lernstand der Schüler und Schülerinnen angepasst wird. Die eben vorgestellten Aufgaben würde ich dementsprechend erst in der 3. Oder 4. Jahrgangsstufe rechnen lassen. Aus eigener Erfahrung weiß ich, dass es den Lernenden ähnlich zu Knobelaufgaben wahnsinnigen Spaß macht hin und her zu überlegen, wie sie auf logisch begründbaren Wegen zu einer Lösung kommen können und ihre teils verschiedenen Ergebnisse zu verteidigen. Allerdings kann es auch schnell zu frustrierenden Reaktionen kommen, wenn die Schüler und Schülerinnen immer wieder zu falschen oder abwegigen Ergebnissen kommen, die sich gänzlich von denen ihrer Mitschüler unterschieden. Oftmals verkopfen sich die Kinder dann zu sehr in eine Sachlage und geraten an persönliche Grenzen oder strapazieren diese über. Deswegen ist es besonders wichtig den Schwierigkeitsgrad sorgfältig zu wählen. Ich persönlich habe bereits bei der Uhrenaufgabe große Schwierigkeiten bemerkt, da ich große Probleme damit hate, die zugehörigen Aussagen in eine sinnvolle Reihenfolge zu bringen und diese auch noch zu zu ordnen. Aus diesem Grund haben wir uns abschließend noch eine einfachere Logikaufgabe ausgedacht, an der auch ersichtlich wird, wie variabel und unterschiedlich Logikaufgaben bzgl. Ihres Anforderungsniveaus sein können. Bei dieser Aufgabe versetzt man sich auf eine Gruppe Personen, die in einem Raum eingeschlossen ist und zwei Knöpfe zur Auswahl hat. Man weiß, dass nur einer dieser Knöpfe die Wahrheit sagt und das schwere eiserne Tor vor Ihnen öffnen kann. Linker Knopf: Ich bringe euch in die Freiheit. Der andere Knopf führt in ewigen Tod. Rechter Knopf: Nur einer von uns beiden führt in die Freiheit.

Nach gründlichem Lesen der beiden Aussagen kommt man zu dem Beschluss, dass der rechte Knopf die Wahrheit sagt, weil er verspricht, dass einer der beiden Knöpfe in die Freiheit führt. Da es nur diese zwei Optionen gibt und einer richtig sein muss, ist der rechte Knopf also der richtige.

2.2. Lernumgebung Eiskaufen Die Lernumgebung Eiskaufen hat mich von Anfang an sehr begeistert. Wie schon im ersten Kapitel ausgeführt erfüllt sie nahezu alle Kriterien nach Hirt und Wälti. Ein besonderer Pluspunkt ist für mich der direkte Zusammenhang mit der Lebenswelt der Schüler und Schülerinnen und die damit verbundene Zugänglichkeit. Da wohl jedes Kind schon einmal in der Situation war, sich für bestimmt Eissorten zu entscheiden, können sie sich optimal in die Lage hinein versetzen oder den Sachverhalt beim nächsten Besuch der Eisdiele ausprobieren und nach voll ziehen. Auch die Variabilität der Aufgabe ist sehr einfach. So kann man diese bei besonders leistungsstarken- oder schwachen Lernenden ohne großen Aufwand auch spontan gut variieren und um einen oder mehrere Komponenten erweitern oder kürzen. Hinzu kommt, dass das Format der Aufgabenstellung leicht auf andere Sachverhalte zu übertragen ist. So kann man die Kombination von verschiedenen Kleidungsstücken oder Farben verwenden. Um es ohne große finanziellen und zeitlichen Aufwand der Lehrkraft anschaulicher zu gestalten, können auch (wie im letzten Kapitel bereits ausgeführt) Schnüre mit verschiedenen Perlen verteilt werden, deren Kombinationsmöglichkeiten die Schüler und Schülerinnen praktisch erproben können. Generell sind die Aspekte der Aufgabe leicht zu veranschaulichen und aufzuzeichnen und sogar durch Baumdiagramme zu erweitern bzw. zu verdeutlichen. Sinn der Eiskaufen-Lernumgebung ist es, dass die Kinder sich teils unter verschiedenen Bedingungen (Mit und ohne Beachtung der Reihenfolge) an der Kombinatorik ausprobieren und sich diese bildhaft machen und vorstellen können. Sie gewinnen so auch einen Einblick in die Stochastik und lernen diese spielerisch und vereinfacht kennen. Zusammenfassend ist die eben dargestellte Lernumgebung für mich also in der Grundschule sehr gut praktizierbar und das durch die großen Abwandlungsspielräume auch in allen Klassenstufen. Im Nachkommenden soll die im Skript niedergeschriebene Aufgabenstellung der Lernumgebung Eiskaufen ausgeführt und erklärt werden. Die Sachlage ist die, dass es in einer Eisdiele drei Eissorten gibt: Erdbeere, Vanille und Schokolade. Das Kind darf sich zwei der genannten Sorten aussuchen und diese frei zusammenstellen. Nun geht es um die Anzahl und Möglichkeiten der Zusammenstellung. Diese Aufgabe ist anfangs - und vor Allem bei Neueinführung kombinatorischer und stochastischer Inhalte – durch Ausprobieren zu lösen.

Es gibt nun zwei Varianten der Aufgabenstellung: 1. Zusammenstellung ohne Betrachtung der Reihenfolge 2. Zusammenstellung mit Betrachtung der Reihenfolge

1. Schokolade + Schokolade, Vanille + Vanille, Erdbeere + Erdbeere, Schokolade + Vanille, Schokolade + Erdbeere, Vanille + Erdbeere  Das sind insgesamt 6 denkbare Möglichkeiten

2. Vanille + Vanille, Vanille + Erdbeere, Vanille + Schokolade, Schokolade + Schokolade, Schokolade + Erdbeere, Schokolade + Vanille, Erdbeere + Erdbeere, Erdbeere + Schokolade, Erdbeere + Vanille  Das sind insgesamt 9 verschiedene Möglichkeiten (ohne „Doppler“ 6)

Um die Aufgabe anschließend schwieriger zu gestalten, darf sich das Kind nun nicht nur zwei, sondern drei Kugeln aussuchen. Die Eissorten und Varianten bleiben dieselben, wie die oben genannten.

1. Schokolade + Schokolade + Schokolade, Vanille + Vanille + Vanille, Erdbeere + Erdbeere + Erdbeere, Schokolade + Schokolade + Vanille, Schokolade + Schokolade + Erdbeere, Erdbeere + Erdbeere + Schokolade, Erdbeere + Erdbeere + Vanille, Vanille + Vanille + Schokolade, Vanille + Vanille + Erdbeere, Schokolade + Erdbeere + Vanille  Das sind insgesamt 10 Möglichkeiten der Anordnung

(Im Folgenden wurden aus Gründen der Platzersparnis und Einfachheit entsprechende Kürzel zu den Eissorten verwendet) 2. S+S+S, S+S+E, S+E+S, E+S+S, S+S+V, S+V+S, V+S+S, V+V+V, V+V+S, V+S+V, S+V+V, V+V+E, V+E+V, E+V+V, E+E+E, E+E+V, E+V+E, V+E+E, E+E+S, S+E+E, E+S+E, E+E+V, E+V+E, V+E+E, V+E+S, E+V+S, V+S+E, E+S+V, S+E+V, S+V+E  Das ergibt 27 verschiedene Möglichkeiten (ohne „Doppler“ 16)

Wie oben bereits erläutert lässt sich der Sachverhalt, besonders bei Erhöhung der Komponenten gut durch ein Baumdiagramm veranschaulichen oder gar errechnen, wobei die Rechenregeln für die Äste eines Baumdiagramms meines Erachtens erst ab der 3. / 4. Jahrgangsstufe eingeführt werden sollten.

Abschließend gilt es die ausgesprochen gute Schuleignung der Lernumgebung Eiskaufen aufgrund der oben geschilderten Faktoren noch einmal zu betonen.

3. Beurteilung zweier fremd vorgestellter Lernumgebungen Im folgenden dritten Kapitel sollen zwei Lernumgebungen, die von Kommilitoninnen vorgestellt worden sind, kurz vorgestellt werden. Meine Wahl ist in diesem Fall auf die Quadratzahlen und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) & kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) gefallen.

3.1. Lernumgebung Quadratzahlen Die Lernumgebung der Quadratzahlen ist auch in der Grundschule von Bedeutung, da sie zum einen auf dem reinen Zahlenverständnis der Schüler und Schülerinnen aufbaut und diese zudem stärkt und fördert. Eben weil diese ein gewisses Zahlverständnis erfordern würde ich die Thematik der Quadratzahlen zwar erst ab der dritten Klasse vertieft behandeln, sie jedoch in den früheren Jahrgangsstufen bereits in Kombination mit der 1x1 Tafel einführen, da diese dort eine komplette diagonale Reihe einnehmen. Zum Einstieg wird den Schülerinnen und Schülern eine einfache Aufgabe vorgelegt werden. Die Kinder sollen die Ergebnisse von 1², 2², 3² etc. ausrechnen und aufschreiben und dazu eine Entdeckung machen. Wenn sie das machen, schreiben sie die Ergebnisse 1, 4, 9, 16, 25 etc. auf und kommen im Optimalfall darauf, dass die Zwischenschritte, also der Schritt von einer Zahl zur Nächsten, insofern auffallen, dass sie immer einen Abstand von 2 haben und stets ungerade Zahlen sind.

Im Folgenden lässt sich entdecken, dass die letzte Ziffer bei den aufgeführten Zahlen, deren Einerstelle auch vor der Multiplikation bereits gleich ist, auch danach noch immer derselben entspricht: 1,

4,

9, 25, 36, 49, 64, 81, 100

121, 144, 169, 225, 256, 289, 324, 361, 400

Außerdem ist beispielsweise auffällig, dass das Produkt zweier Quadratzahlen stets wieder eine Quadratzahl ergibt. Hinzu kommt, dass aus einer geraden Zahl im Quadrat auch eine gerade Quadratzahl und aus zwei ungeraden Quadratzahlen wiederum eine ungerade Quadratzahl resultiert. Würde man dieses Format so weiterführen, ließen sich noch viele weitere Phänomene und Zusammenhänge erkennen, die auch mir bis dato noch unbekannt

waren. Jedoch würde ich diese in der Grundschule nicht so tiefgehend behandeln, da selbst ich mich...