2teor. Poynting dominio tempo PDF

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appunti del corso di fondamenti di onde elettromagnetiche...

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TEOTEMA DI POYNTING E BILANCI ENERGETICI Come sappiamo il campo elettrico rappresenta la forza esercitata su una carica unitaria tenuta ferma (forza di Coulomb), mentre se una carica si muove con velocità v questa forza si modifica diventando F =q(e+v ×b)

(1)

dove alla forza di Coulomb q e è sommata la correzione dovuta al moto (forza di Lorentz) q v × b . Riferendosi poi alle densità di carica ρ possiamo valutare la forza esercitata dal campo elettromagnetico sulla carica contenuta in un volumetto δ w F =ρ δ w (e+v×b)

e da questa la densità volumetrica di forza f =ρ (e+v ×b)

(2)

considerando che, per definizione, ρ v= j

(3)

f =ρ e+ j×b

(4)

la (2) o la (4) rappresentano la forza esercitata dal campo elettromagnetico su un volume unitario di densità di carica ρ che si muove con velocità v indipendentemente dalle cause che tengono in moto la carica. La forza esercitata dal campo elettromagnetico su una carica elettrica in moto con velocità v nell’intervallo di tempo d t compie il lavoro

d L=F⋅v d t=ρ δ w (e+v×b)⋅v d t

(5)

essendo poi

v×b⋅v=0 in quanto v×b è ortogonale a v e a b si ha

d L=F⋅v Δ t=ρ δ w e⋅v dt

(6)

considerato anche che j=ρ v

d L=δ w e⋅j d t che rappresenta il lavoro compiuto, nell’intervallo di tempo d t , dal campo elettromagnetico sulla densità di corrente j presente nel volume δ w . Per un volume unitario

d L=e⋅j d t dividendo per d t otteniamo

dL =e⋅j dt

(7)

che rappresenta il lavoro compiuto, nell'unità di tempo, dal campo elettromagnetico sulla densità di carica contenuta nell'unità di volume. Possiamo a questo punto analizzare due casi diversi. Il primo è quello in cui j è una corrente di conduzione. In un buon conduttore come, ad esempio, i metalli j= jC =σ e e quindi la (7) diviene

dL 2 =e⋅jC =σ |e| dt

(8)

questo lavoro è positivo e rappresenta la potenza fornita dal campo alle cariche, gli elettroni, del metallo per mantenerle in moto, tale potenza attraverso gli urti degli elettroni con gli atomi del metallo viene trasformata in calore (effetto Joule). Il secondo caso è quello in cui le cariche sono mantenute in moto da forze esterne, in questo caso parliamo di densità di corrente impressa j= j 0 , in tal caso la (7) rappresenta sempre il lavoro compiuto dal campo elettromagnetico sulle cariche in moto (la densità di corrente) e quindi affinché le cariche continuino il loro moto hanno bisogno che le forze esterne compiano un lavoro uguale e opposto rispetto a quello compiuto dai campi. In altre parole la potenza che forniscono i generatori è l'opposta di quella calcolata dalla (7)

p G (t )=

−d L =−e⋅j 0 dt

(9)

Teorema di Poynting nel dominio del tempo Consideriamo ora le equazioni di Maxwell in un mezzo lineare, isotropo, omogeneo nel tempo e non dispersivo con sorgenti impresse j0 ∂h ∂t ∂e ∇× h=ε +σ e + j0 ∂t ∇⋅ε e =ρ ∇⋅μ h=0 ∇× e =−μ

(10)

costruiamo il vettore, che prende il nome di vettore di Poynting, s=e×h

(11)

e calcoliamone la divergenza ∇⋅s=∇⋅( e×h )=h⋅∇ ×e−e⋅∇×h

(12)

sostituiamo ora nella (12) i rotori presi dalle equazioni di Maxwell ∂e ∂h )−e⋅(ε +σ e+ j 0 )= ∂t ∂t ∂e ∂h −μ h⋅ −ε e⋅ −σ |e|2 −e⋅j0 ∂t ∂t ∇⋅s=h⋅(−μ

(13)

ricordando ora la regola della derivata di un prodotto, possiamo scrivere ∂|h|2 ∂(h⋅h) ∂h ∂h ∂h = =h⋅ +h⋅ =2 h⋅ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t

(14)

analogamente 2

∂|e| ∂e =2 e⋅ ∂t ∂t

(15)

e sostituendo nella (13) 2 2 1 ∂|h| 1 ∂|e| 2 ∇⋅s=− μ − ε −σ |e| −e⋅j 0 2 ∂t 2 ∂t

(16)

integriamo ora la (16) in un volume

∫V ∇⋅s dV =∫∂ V s⋅in dS= 2 2 1 2 1 − ∂ ∫V μ|h| + ε |e| dV −∫V σ|e| dV −∫V e⋅j0 dV 2 2 ∂t

(17)

questa relazione prende il nome di teorema di Poynting nel dominio del tempo, rilevante è la sua interpretazione in termini di

bilancio energetico. In effetti all’interno di un volume,nell’unità di tempo, può essere generata energia (ovvero quella energia che viene fornita dai generatori per sostenere il moto delle cariche delle densità di corrente impressa), si può dissipare energia (ad esempio nei fenomeni di conduzione si trasforma in calore durante il moto delle cariche), dell’energia può anche essere scambiata coll’esterno, infine l’energia può aumentare o diminuire all’interno del volume. Queste energie non si creano dal nulla né si distruggono, deve valere il principio di conservazione dell’energia, per cui la potenza generata meno la potenza dissipata meno la potenza che si scambia con l’esterno deve uguagliare la variazione, nell’unità di tempo, dell’energia interna al volume. In formula, detta p G la potenza fornita dai generatori, p D la potenza dissipata, Φ P la potenza scambiata con l’esterno e dW la variazione, per unità di

dt

tempo, di energia all’interno del volume otteniamo

p G − p D −Φ P =

dW dt

Il teorema di Poynting ci permette di effettuare tale bilancio utilizzando solo grandezze elettromagnetiche. Con riferimento all’equazione (17) notiamo che gli ultimi due integrali, da quello che abbiamo visto all'inizio della lezione, rappresentano la potenza dissipata p D nel volume e la potenza fornita dai generatori interni al volume pG p D =∫V σ|e| dV 2

p G =−∫V e⋅j0 dV

(18).

Per poter dare una interpretazione agli altri termini applichiamo il teorema a tutto lo spazio, evidentemente in tal modo non c’è

scambio di potenza con l’esterno, inoltre l'integrale di superficie è nullo perché in condizioni dinamiche i campi all'infinito sono necessariamente nulli: considerando la velocità finita con cui qualunque perturbazione fisica si può spostare (sempre inferiore alla velocità della luce), in qualunque istante sono state attivate le sorgenti, tutte necessariamente al finito, ci sarà sempre una distanza oltre la quale il campo non è ancora arrivato e quindi possiamo concludere che il campo è nullo all’infinito. Applicando quindi il teorema di Poynting a tutto lo spazio otteniamo 1 2 1 2 2 − ∂ ∫V μ |h| + ε|e| dV −∫V σ |e| dV −∫V e⋅j0 dV =0 2 2 ∂t 





−∫V e⋅j 0 dV −∫V σ|e| dV = p G− p D = 1 dW 2 2 ∂ | | | | +ε μ dV = h e ∫ dt ∂t V 2 2







(19). Questa applicazione del teorema di Poynting interpretare 2 1 2 1 ∂ | | | | μ ε dV h e + ∫ 2 ∂t V 2

ci permette di

(20)



come variazione dell'energia interna nell'unità di tempo e ci mostra che tale energia si esprime in funzione dei soli campi elettromagnetici ed è quindi lecito chiamarla energia

1 2

2 elettromagnetica coerentemente w e= ε |e| è la densità di

1 2

2 energia elettrica e w m = μ |h| è la densità di energia magnetica.

A questo punto consideriamo il teorema di Poynting applicato ad un generico volume

1 1 |h|2 + ε|e|2 dV −∫V σ |e|2 dV −∫V e⋅j0 dV = −∂ μ ∫ 2 (21) ∂t V 2 ∂ − ∫V w e +w m dv−P D + P G=∫∂ V s⋅i n dS=Φ P ∂t

e quindi il flusso del vettore di Poynting attraverso la frontiera del volume V, essendo uguale alla differenza tra la potenza generata la potenza dissipata e la variazione di energia interna al volume V ∂ ∫ w +w dv nell’unità di tempo, è lo scambio di potenza V e m

∂t

con l’esterno Φ P ovvero il flusso netto di potenza, positivo se la potenza che esce dal volume è maggiore di quella che entra, negativo se quella che entra è minora di quella che esce. Quindi possiamo associare al vettore di Poynting il significato di densita di potenza che attraversa una superficie nel senso che il modulo di s rappresenta la densita di potenza che attraversa una superficie unitaria posta ortogonalmente alla direzione di s e nel suo verso....