3 - Conductividad Termica del Hierro updt PDF

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guia de laboratorio de una onda de calor periodica...

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Conductividad T´ ermica del Hierro Laboratorio de F´ısica intermedia

1.

Fundamento Te´ orico

La ecuaci´on de Fourier para la transmisi´on de calor establece, que la cantidad de calor, J¯ que se transmite por unidad de a´rea y por unidad de tiempo a trav´es de un material es proporcional a la gradiente de temperatura T dentro del material: J¯ = −K∇T

(1)

donde K es una constate de proporcionalidad caracter´ıstica del material, denominado coeficiente de conductividad t´ ermica. La cantidad de calor Q por unidad de volumen que se debe suministrar a un material, cuyo calor especifico es c y de densidad ρ para aumentar su temperatura a raz´on de un grado por segundo es: dT dQ = ρc dt dt

(2)

t = tiempo Adem´as, la ecuaci´on de continuidad establece que: ∂Q =0 (3) ∇J¯ + ∂t De (1), (2) y (3) y utilizando el teorema de la divergencia obtenemos la ecuaci´on diferencial que gobierna la transmisi´on de calor en un material: ∇2 T =

ρc ∂T · K ∂t

(4)

Si definimos el coeficiente de difusi´ on t´ermica D = para un problema unidimensional se convierte en:

K , ρc

la ecuaci´on de difusi´on

∂ 2T 1 ∂T (5) = 2 D ∂t ∂x Vamos a considerar el problema de calentar peri´odicamente el extremo de una barra de longitud infinita (y de radio infinito) en x = 0. La temperatura T (0, t) sera: T (0, t) = T0 + T1 cos 1

2πt τ

(6)

τ es el periodo de calentamiento. Buscamos entonces una soluci´on general de (5) que satisfaga la condici´on de contorno (6). Suponiendo, T (x, t) = Θ(x) · Φ(t), (separaci´on de variables), la ecuaci´on (5) se convierte en: ∂Φ 1 ∂ 2Θ D · = · (7) 2 ∂x Θ ∂t Φ El lado izquierdo de (7) depende de x, el lado derecho solamente de t. Para que ambas sean id´enticas para todos valores de x √ y t, es necesario que ambos sean iguales · Φ1 = iw es: a una constante, que vamos a llamar iw (i = −1). La soluci´on de ∂Φ ∂t La soluci´on de

∂2Θ ∂x2

·

D Θ

Φ(t) = Φ0 eiwt

(8)

√ iw √ iw Θ(x) = Ae− D x + Be+ D x

(9)

= iw es:

Como la temperatura de la barra no puede aumentar con la distancia x, es necesario que B = 0. Planteando como soluci´on particular de (5): T1 = bx + c

√

(10) 1+i √ ); 2

La soluci´on de nuestro problema es entonces: ( i = √w √w T (x, t) = ae− 2D x ei(wt− 2D x) + bx + c

(11)

Esta soluci´on representa una onda amortiguada que se transmite con una velocidad de fase: √ w (12) v = q w = 2Dw 2D

De (6) y (11) se obtiene: c = T0

;

a = T1

y

w=

2π τ

(13)

(13) con (12) da: D= y

v2τ 4π

(14)

ρcv 2 τ (15) 4π De las formulas (14) y (15), mediante la medici´ on de la velocidad v y el periodo se puede calcular las constantes D y K. K=

2

2.

Aparatos Utilizados - Una barra de fierro, 22mm de di´ametro, 420mm de largo, parcialmente envuelto en asbesto, con dos termocuplas de fierro-constant´an - Dos volt´ımetros, los cuales estar´an conectados a las termocuplas. - Un mechero Bunsen y un bal´on de gas, para calentar un extremo de la barra de fierro. - Un cronometro.

3.

Procedimiento - Calentar el extremo de la barra de fierro con el mechero Bunsen. - Establecer el siguiente montaje:

- 50 minutos despu´es de haber comenzado a calentar, se apaga la llama, sin mover el mechero, por 5 minutos, luego se calienta otra vez por 5 minutos, se vuelve a apagar por 5 minutos, etc... Repita esta operaci´on hasta que haya transcurrido 4 ciclos completos (40 min) de enfriamiento y calentamiento. - Continu´e con este calentamiento y enfriamiento c´ıclico hasta el fin del experimento anotando los valores indicados en los volt´ımetros V1 y V2 cada minuto(para mejor comodidad con un desfasaje de 30 segundos) durante 50 minutos. Es muy importante que se realicen las medidas con mucha precisi´on. 3

4.

Resultados a obtener 1. Haga un gr´afico superpuesto de los voltajes obtenidos en funci´on del tiempo para cada termocupla. 2. Del gr´afico determine 10 valores de ∆t. ∆t = desfasaje entre las picos de temperatura de A y B. 3. Calcule D y K. Para el calculo de K utilice ρ = 7,8g/cm3 y C = 0,12 gcal oC 4. Compare su valor de K con el de alguna referencia.

5.

Preguntas 1. Grafique la distribuci´on de la temperatura en la barra de fierro seg´un la formula (11). 2. ¿Como varia la precisi´on de la medida de la velocidad de transmisi´on de calor cuando aumentamos el periodo de flujo? ¿Como varia cuando acercamos la segunda termocupla a la primera? 3. Con su dato experimental de D calcule las relaciones de las amplitudes de la onda de temperatura en las posiciones de las termocuplas y el extremo fri´o de la barra.

4...